从概念理解的角度审视图形的变换教学

2016-11-18江苏省无锡市金星中学潘小娟

中学数学杂志 2016年20期

☉江苏省无锡市金星中学　潘小娟

从概念理解的角度审视图形的变换教学

☉江苏省无锡市金星中学潘小娟

数学概念教学，目的是让学生领会数学内在的思想方法，使学生从中掌握关于数学思想方法方面的相关知识，并使这些知识逐步内化成为自身学习体系的一部分.对于初中几何而言，图形变换问题是绕不开的一个重要知识点，学生只有掌握好了相应的知识，才能在几何学习中进退自如、游刃有余.作为对全等变换的深入理解和有效实践，下面就从概念理解的角度，诠释一下笔者是如何进行这样的理解与把握的.

一、关联概念，关注知识内容的联系

在知识的内部，始终呈现出一种结构化的特点.在教学中，教师应当把握好这样的特点，把握好知识点之间的内在关联，下面先来看这样的一个实例：

问题1：如图1，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B.若反比例函数的图像恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，求k的值.

图1　

分析：先根据S△ABO=4，tan∠BAO=2，求出AO、BO的长度，再根据C为斜边A′B的中点，求出点C的坐标，点C的横纵坐标之积即为k值.

解：设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D，因为tan∠BAO=2，所以因为S所以AO=2，BO=4.因为△ABO≌△A′O′B，所以AO=A′O′=2，BO=BO′=4.因为C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，所以所以x=BO-CD=4-1=3，y= BD=2，所以k=x·y=3·2=6.

这一问题从本质上来看是图形的全等变换，背景借助了反比例函数的几何性质，通过基本的旋转变化来完成，可以说是课堂教学中一个不错的研究实例.下面不妨再来从一个纯概念类问题进行剖析：

概念变式：下面四个手机应用图标（图2）中是轴对称图形的是（）.

图2　

分析：这一变式可以通过轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析，A图是微信图标，它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；选项B是中心对称图形；C图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；D是轴对称图形.通过一组概念辨析，很容易就可以得到正确的结果.

从客观上来说，教材内容及教师的教学过程都是由浅入深、循序渐进的，任何新知识的学习过程都是伴随着原有知识的学习过程逐渐深化和拓展的.因此，教师需要不断思考的是，如何将新知识与原有学习的旧知识联系起来，推陈出新，以期收到良好的效果.

二、把握节奏，加深知识方法的理解

在实际教学中，教师往往希望学生的认识一开始就能定格在正确、合理的格局上.殊不知，学生对知识的理解是一个循序渐进的过程，需要经历不断的升华和理解，才能做到逐步领悟与提高.如果忽视学生的这一认识规律，在教学中很容易造成种种失“度”的现象发生，这样对于学生知识的掌握和提升显然是不利的.

问题2：如图3，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）.

A.115°B.120°C.130°D.140°

图3　

分析：根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE=∠EFB′，∠B′=∠B=90°，根据三角形内角和定理求出∠CFB′=50°，进而解答即可.

解：把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，所以∠BFE=∠EFB′，∠B′=∠B=90°.因为∠2=40°，所以∠CFB′=50°，所以∠1+∠EFB′-∠CFB′=180°，即∠1+∠1-50°=180°，所以∠1=115°.

学生在学习过程中，对于翻折类问题的本质的把握往往是不到位的，尤其是在考查角度问题的时候，更容易引起中等学生的恐慌.那么，教师应当如何帮助学生度过难关呢？节奏的有效把握是关键，对方法的理解是重点.问题2中，对应角的寻找无疑是一个关键之处，把握翻折前后对应角相等也成为解决此类问题的核心.教师在教学中，不妨注意问题的方法的反复巩固，可以适当地进行一组变式问题的再练习，提升方法的熟练度和掌握程度.

变式1：如图4，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A，B的坐标分别为把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为_________.

图4　

图5　

变式2：如图5，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_______.分析：从翻折到旋转的变化，本质是不变的.

图6　

分析：扇形面积的计算，用到的也是图形旋转的不变性.

三、注重感悟，构建整体内容的脉络

人教社章建跃博士说过：“教之道在于度，学之道在于悟.”对于具体概念而言，有时候学生会局限在自己原有的生活经验之中，在认识水平上存在一定的局限，学生的问题往往就会在领悟方面存在误区.此时，教师更应该把握好教学的度，帮助学生处理好常见的易错点和难点，实现教学中的飞跃.

问题3：将抛物线y=-x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为________.

解析：抛物线y=-x2先向下平移2个点位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y=-（x-3）2-2，化简得y=-x2+6x-11.

变式1：将点A（1，-3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为________.

解析：点A（1，-3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到点A′，所以点A′的横坐标为1-3=-2，纵坐标为-3+5=2，所以A′的坐标为（-2，2）.故答案为：（-2，2）.

变式2：如图7，一段抛物线：y=-x（x-2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_______.

图7　

四、挖掘深化，不断拓展数学思维

从教学过程到教学形式，教师都需要进行细致把握，无论是模式识别、方法调整到最后的反思小结，都是一个自然的教学过程的，教师在其中应当把这种合情合理的、符合思维规律的解决问题的方法分析给学生，让学生能够真正地领悟与思考，从思考中有所悟，有所得.

图形的变换，本质在于图形结构的不变性，几何性质的稳定性，而对于解题的教学也应该把握这一“根本”，在理解概念的前提下，灵活地进行教学与研究.

问题4：如图8，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图.（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；（3）求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积.

图8　

图9　

解析：（1）、（2）作图，如图9所示；下面具体来剖析一下（3）的解答过程，B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图9，因为B2（0，1），C2（2，3），B1（1，0），A1（2，5），A2（5，0），所以直线A2B2为y=5x-5，直线B2C2为 y=x+1，直线A2B2为由解得以点由解得所以点所以故△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为