从一道错题看章节起始课对数学运算核心素养的影响

☉广东省中山市华侨中学　陈春涛

从一道错题看章节起始课对数学运算核心素养的影响

☉广东省中山市华侨中学陈春涛

数学运算核心素养是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的思维过程.它主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果［1］.它是在“运算能力”基础上的进一步发展.教育部考试中心（1999）指出：运算能力包括理解运算，会根据法则、公式和运算律正确地进行运算，能根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径，运算熟练、准确、迅速［2］.数学运算核心素养应该是运用运算能力解决问题的思维过程.它是六大数学核心素养之一，是开展其他数学学习的基础.

下面以一道题目的常见错误为例，谈一谈章节起始课教学对数学运算核心素养的影响.

一、题目与解答

二、错误解答展示

（X）第⑧步：不考虑字母a的取值情况，取到了+2或±3这些数，导致原式无意义.

除此以外，还有少部分学生未能理解运算，未化简分式，直接将后面的a值代入计算.这类错误暂未列入研究.

三、错因思考

综合分析会发现学生主要有五大类错误.（1）符号不清.如第V、VII、VIII类错误.（2）算理不明.如第II、III类错误.（3）概念不透.如第IX类错误.（4）技巧不熟.如第I、VI类错误.（5）综合不够.如第IV、X类错误.这五类错误就像五个关口一样，制约着学生数学运算素养的形成.而且，五类错误分别对应了数学运算核心素养培养的六大方面：理解运算对象（符号关、概念关）、掌握运算法则（算理关）、探究运算方向（综合关）、选择运算方法（技巧关）、设计运算程序（综合关）、求得运算结果，只有“过好五关”、斩得“六将（数学运算核心素养六大方面）”，才可以让学生的数学运算核心素养得到有效培养.

这些错误绝非一朝一夕可以形成的，它与每节课四基目标落实不够有关系，特别是与对每章节的第一节课（以下简称起始课）的学习不够扎实有关系.

四、追根溯源

1.过好符号关：以有理数、整式的加减章节起始课为例

有理数一节的起始课中有这样一段归纳“如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们”.这句话明确地告诉我们：初中的数（运算对象）由两部分构成，即符号和“数值（即绝对值）”，小学时的所有运算只是“数值”的运算，初中则必须先考虑符号.后续的教学内容也体现了这一点：有理数的分类可从符号与绝对值两个角度分类；数轴要确定原点，分出左负右正；加减计算时注意符号不同的数可以互相抵消一部分（或全部）；乘除运算先确定符号“同号得正，异号得负”；乘方只有符号法则；加减混合算式要看作代数和形式……可以说，整个有理数学习的过程就是不断强化这一认识的过程.

在整式加减这一章，“符号与它后面的数字是一个整体”这一认识得到了更进一步的加强.在起始课中有这样一句话“字母和数一样可以参与计算”，单项式的概念中，系数都是包含前面的符号的，多项式中有关“项”的概念也特别举例说明“v-2.5中常数项是-2.5”.总之，两个章节的起始课在讲述相关概念时，最核心的认识都是“理解运算对象”，让学生理解“符号与它后面的数字（或式子）是一个整体”，只有深刻认识这个特点，在计算中牢记“先确定符号、后确定绝对值”，才会避免符号出错.

例如：化简-2（a-2）这个式子，有两种不同的理解：

-2（a-2）=-2·a-2×（-2）=-2a+4；…①

-2（a-2）=-2·a-（-2）×2=-2a-（-4）.…②

第①种变形理解为-2与-2的乘积，将括号中的-2理解为“负2”，运算时符号很清晰，可以直接判断积的符号.而第②种运算则将括号中的-2理解为“减2”，运算中增添了新的符号，整个计算显得更复杂.

2.过好概念关：以实数章节起始课为例

初中学段的起始课，绝大部分是概念课，在学生的试卷中，常常发现因为学生对概念的理解不够深入而引起的“弱智”错误，这也从侧面反映了章节起始课的教学缺位.

概念类起始课的任务有三：经历本章知识的生成与建构过程，整体把握知识间的逻辑结构；了解一些自然生成的数学对象和基本概念；感受概念的简单应用［3］.

对于算术平方根这一节课而言，除了学习算术平方根这一概念，还要对平方根概念的掌握起到“先行组织者”的作用.本内容的难点是什么呢？一是对根号的理解.根号只是一种运算符号，学生却常理解为它是平方根（或算术平方根）.二是对符号的确定.学生常犯这样的错误：或者“16的平方根是4”.这些错误也是因为学生正确“理解运算对象”时，没能养成先确定符号（偶次方根看根号前面的符号）、后确定绝对值（乘方的逆运算）的习惯.

为了减少这些错误，教材在编排这一内容时，颇具心思地分成两步走，首先介绍算术平方根，主要解决“确定绝对值”的问题；再介绍平方根，解决“确定符号”的问题.可惜的是，课本在编排算术平方根这一内容的过程中，只编写了“求的值”，却缺少“求的值”这种类型的题目，即重视了求绝对值，忽略了符号.教师在教学平方根的起始课时，如果能先让学生分辨清“的含义，明确它们的符号属性，再学习平方根的内容时，出现符号错误的机率应当会更小一些.前面例题中学生将“a为3与它的算术平方根之差”理解为，正是没能分清平方根与算术平方根两个概念的符号属性.

除此以外，分式的章节起始课中注意分母不为零，二次根式的起始课中注意被开方数为非负数，这些概念中的关键点只有在章节起始课中得到很好的掌握，后面的学习才能少出错.

3.过好算理关：以有理数起始课和整式的加减为例

准确计算的基础是算理要明确.在实际教学中，我们常常发现学生边做题边念念有词地背诵法则，结果求出来的结果还是错的.主要问题就是没有真正明白算理.

以有理数的加法为例，异号两数的加法是学生很容易出错的，如果按照加法法则，计算-7+5时，学生需要经历以下的思维过程：判断同号还是异号→算出两个数的绝对值→判断绝对值的大小→取绝对值较大数的符号→转化为较大减较小的减法形式→注意括号书写→计算结果.我们认为很简单的一个加减计算，如果死扣住法则来开展计算，居然需要七个环节全部正确，才能得到正确答案.

如果结合有理数的起始课，理解正负数是具有相反意义的量，可以互相抵销，应用“抵消”的观点，可以比较容易地理解算理：判断-7与+5异号可以抵销→抵销+5→计算剩下没有抵销的部分→得出结果.这种方法很明显所需环节要少一些，学生更容易理解.

而整式加减运算主要有两个步骤，分别是去括号和合并同类项，去括号的实质是分配律，合并同类项的实质则是分配律的逆运算，两者的算理都是分配律.明白了算理，对于下列计算：都可以用相同的方法去解决.对于多项式的乘法及乘法公式，其算理实质上也可以还原为分配律.算理明白，公式忘记了也可以自己推导，而算理不明，即使运算准确也是知其然而不知其所以然.

4.过好技巧关：以整式乘除与因式分解起始课为例

数学运算应用哪些技巧可以使运算简化？运用运算律、整体思想、逆用公式等思考方法都能达到这一目的.而这些却是要渗透在每一节课堂中的.下面以整式乘除与因式分解为例.

《整式乘除与因式分解》一章分为四大部分：幂的运算、整式乘法、乘法公式、因式分解.其中因式分解是整个初中代数的“拐点”，凡初三代数学习有困难的学生，大部分都是因式分解没有学好，高中生运算不过关，许多也与此有关系.

那么因式分解应该怎样学习才比较容易深化为一种技能呢？因式分解实质上就是整式乘法的逆运算，公式学习往往是“正运算”比“逆运算”容易，因此，在学习前面的幂的运算、整式乘法、乘法公式时，如果时时注意挖掘公式的逆用，是可以降低学生学习因式分解的难度的.

例如章起始课“同底数幂的乘法”，先要从算理上让学生理解公式的实质是乘方的意义与乘法交换律、结合律的综合应用，这是本课的重点.接下来的练习中可以设置如下的拓展题目：

（1）运用整体思想计算（a-1）2·（1-a）3；

（2）已知am=3，an=2，则am+n=_______，a2m+n=_______.

解决第（1）小题的关键是将（a-1）看作一个整体，并将（1-a）转化为-（a-1），后续知识中许多运算也需要这项技能.

例如：提公因式x（x-y）2-xy（y-x）3=________；化简

这两道小题的解决都有赖于“将多项式按降幂排列的习惯”，也得益于整体思想，前面引例中的第VI种错误正是明证.

第（2）小题则是公式的逆用，特别是a2m+n=am·am·an这一变化更是将乘法运算都回归到了加法，这也正是对数学“基本思想”的体现.

以上两个小题将“整体思想、逆用公式”等方法都涉及了，如果在本章前三个小节的学习中每节课都有适当涉及，相信对因式分解的学习会起到正迁移的效果.

如在幂的运算教学中用好这些题目：比较3100与560的大小；计算根据10x=mn，10y=m，求103x-2y的值.

这些题目设计的用意与起始课中一样，都是为了让学生感知和习惯“整体思想、公式逆用”的好处，当真正学习因式分解时，学生会发现每一内容都是前面所学知识的逆用，就不会觉得很困难.同时，这也是对运算技巧的最好训练！而这一切，却都要在起始课中就让学生能体会到！

5.过好综合关：以各章章引言的教学为例

一道计算题，它所考查的往往是许多知识的综合应用，例如前面引例中，要想正确化简，需要养成三个习惯：（1）分子分母及时因式分解；（2）多项式按降幂排列，最高次项化为正；（3）将整式部分看作一个整体.除此外，给出的两个已知条件，也非常容易出错.解决这样综合性很强的题目，需要学生对这一模块的知识融会贯通，也就是说正确计算，除了以上的基础四关外，还要过好综合关.

数学教材每章节最前面一页都是本章章引言，它也是章节起始课的重要组成部分，章引言一般由三部分内容构成：本章知识的引例、本章的主要学习内容、本章知识与前后知识的联系.数与式这个模块共有六个章节，其中有三章的章引言中提到了“类比……”，有两章的章引言提到“为后续……的学习打下基础”.可以说，章引言是对前面知识的回顾，对本章知识的脉络梳理，和对后续知识的展望，是知识融会贯通的重要载体.所以，在起始课的教学中，利用章引言，回顾知识、梳理脉络、加强知识的综合是非常重要的.

数与式这一模块的章引言我们可以这样利用：利用有理数一节的章引言中，回顾小学的负数的认识，认清有理数的“符号+绝对值”的结构；利用实数一节类比有理数，强化对“符号+绝对值”的结构的认识，回顾有理数运算先确实符号，后确定绝对值的习惯；利用整式加减一节回顾小学所学的字母表示数的知识，认清字母由数字部分和字母部分的结构，将符号与数学部分捆绑认识；在整式乘除与因式分解一节回顾实数运算与整式加减运算的算理；在分式一节中回顾代数式的概念与分类，回顾分数分母不为零的认识.

二次根式一节是数与式模块的最后一部分，它的章引言是这样写的：“……我们学过整式的运算、分式的运算.如何进行二次根式的运算呢？……通过本章学习，可以为后面的勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础”.也就是说在这里我们可以通过回顾代数式的概念及分类，将分式分母不为零、负数没有平方根等内容进行强化，可以通过对分式运算的复习对分式运算习惯进行回顾……也就是说，数学运算中需要的概念、算理、习惯等都可以在这里作一个简短的小结，也就是综合回顾.

有了这样的认识作基础，经过五次的强化与回顾，数学运算的基础已经打得非常扎实，欠缺的只是技巧的熟练运用，只要在后续教学中有意识地安排一些综合训练，就能强化学生的数学运算素养.在分式一节中，前面的原题就是一道进行综合演练的好题，二次根式中也可以用下面的例子来综合训练：

本题既有整式中的因式分解，又有分式的化简求值，还有二次根式的化简，也有对实数运算的考查，同时还对二次根式的概念作了考查，即要注意a-1<0这一隐含条件，所以.很明显，这是一道综合训练数学运算素养的好题.训练与检测是不同的，训练是为了加强知识的融通，而考查则是对学生学习效果的评判，所以训练时综合度较高的题目更利于培养学生的数学素养.

从前面的例子可以看出，如果各章节起始课的教学不能落到实处，则最终综合反映出来的情况就是负迁移，而且是无法逆转的负迁移，因为没有哪个老师会有时间把计算重新地进行梳理和训练.

所以，数学运算核心素养的培养要想落实在课堂，应当从上好每一节起始课开始，过五关、斩六将，强基础，练综合，最终让运算成为学生数学学习的最牢固基石！

1.彭翕成.例说数学核心素养［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2015（5）.

2.教育部考试中心.能力考试的研究与实践［M］.北京：中国人民大学出版社，1999.

3.林年生.初中数学章起始课教学课例与反思［J］.中小学教学研究，2015（5）.Z