理解考题结构，跟进教学思考——以2016年江苏常州中考第28题为例

☉江苏省苏州工业园区青剑湖学校　王友峰

理解考题结构，跟进教学思考——以2016年江苏常州中考第28题为例

☉江苏省苏州工业园区青剑湖学校王友峰

近读《中学数学》（下），围绕2016年中考试题的文章不仅关注解法，而且注意在反思回顾阶段揭示问题的多解与问题的深层结构，并且有不少文章围绕考题开展“一题一课”的教学微设计，这种着眼于教学的考题研究取向值得点赞.受到启发，本文以一道考题为例，先给出思路突破与解后反思，并跟进教学思考，供研讨.

一、考题的思路突破与解后反思

考题（2016年江苏常州，第28题）如图1，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），直线AP与对角线BD及射线DC分别交于F、Q.

（2）若点P在线段BC上，过点F作FG⊥CD，垂足为G.当△FGC≌△QCP时，求PC的长.

（3）以PQ为直径作⊙M.

①判断FC和⊙M的位置关系，并说明理由；

②当直线BD与⊙M相切时，直接写出PC的长.

图1　

图2　

1.思路突破

（1）正方形ABCD的边长为1，∠ABP=90°，BP=在Rt△ABP中，即∠BAP=30°.

（2）如图2，过点F作FG⊥DQ于点G，连接FC.

设CP为x，由正方形ABCD的边长为1，且∠FDG= 45°，结合FG⊥CD，得∠DFG=45°，可得FG=GD.由于△FGC≌△QCP，所以GC=CP=x，CQ=FG=DG=1-x，∠CFG=∠CQP.又∠CGF=∠CGF，所以△GFC～△QGF，所以可得关于x的方程：（1-x）2=1·x，解得x1=（大于正方形边长1，舍去）.即PC的长为

（3）①首先猜想它们的位置关系是相切.结合两种可能的图形进行证明，如图3和图4.

图3　

图4　

情况1：如图3，当点P在边BC上时，连接MC.因为M是PQ的中点，∠PCQ=90°，所以CM=PM=MQ，所以点C在⊙M上，且∠MPC=∠MCP.在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABF=∠CBF，BF=BF，可得△ABF≌△CBF，则∠BAF=∠BCF.又因为∠BAF+∠APB=90°，∠APB=∠MPC，所以∠PCF+∠MCP=90°，所以∠FCM=90°.结合点C在⊙M上，可得FC和⊙M相切.上述思路属于“连半径，证垂直”的切线证明路径.

情况2：如图4，当点P在边BC的延长线上时，由上面的“情况1”可得∠BAF=∠BCF，所以∠DAF=∠DCF，其余与“情况1”相同，仍然是“连半径，证垂直”的切线证明路径.

综上，FC与⊙M相切.

②需要分两种可能的情况讨论，如图5和图6.

情况1：如图5，当点P在边BC上时，设直线BD与⊙M相切于E点，有ME⊥BD.由之前的讨论知道FC与⊙M相切，所以图形具备“切线长定理”的基本图形，可得∠MEF=∠MCF=90°，ME=MC，MF=MF，证得Rt△MEF≌Rt△MCF，得∠MEF=∠MFC.设∠MQC=α，则∠MCQ=α，所以∠MFE=45°+α=∠MFC，∠FCD=90°-α，所以∠EFC= 90°-2α，∠EFC=90°-α+45°，得方程90°+2α=90°-α+45°，解得α=15°，即∠BAF=15°.

图5　

图6　

接下来，让我们把问题简化，如图7，边长为1的正方形ABCD中，点P是边BC上一点，且∠BAP=15度.求PC的长.

图7　

图8　

可以利用如图8所示的构造方法，实现求解，连接AC，作PH⊥AC于H点，将△APC分割为两个特殊直角三角形，设PH=y，则由得，解得即

情况2：当点P在边BC的延长线上时，如图6，同理可得∠APB=15°，用类似的方法解得

2.解后反思

我们主要针对第（3）问，选择几个关键点进行反思.

关键点之一：注意分类讨论，即点P在边BC上、点P在边BC的延长线上.

第（3）题的两个小问都需要针对点P的不同位置进行构图分析，不然都会漏解，或解释不清.随着点P的位置的变化，需要注意构造出符合要求的草图.

关键点之二：发现特殊图形并善于利用基本图形获取思路.

最后一问的两种图形都需要利用“切线长”基本图形及其性质获得思路.再如在最后一问确认出15度角之后，及时分离简化图形到图7，再构造出图8，转化为特殊的直角三角形实现求解.

二、关于解题教学的思考

以下围绕该题的解题教学阐释几点思考.

1.理解问题的深层结构，弄清问题主要难点

中考试题都是命题组专家的集中智慧，是研究打磨的成果，特别是试卷关键位置上的把关题，更是凝聚着专家组的智慧.作为研习者，不能只是满足于贯通思路，还要在贯通思路之后反思问题的主要难点，问题的深层结构是什么，问题考查的立意是什么，问题还有哪些不同的解题路径，哪种路径更自然，问题与教材上哪类例、习题有关联，如何实现转化，等等，这些问题都是解题教学时教者需要深入思考的话题.

2.精心设计铺垫式问题，引导学生思维参与

选择这类把关题作为例题开展讲评时，要注意精心预设铺垫式问题，特别是开课阶段引导更多学生的思维参与，避免开课阶段就只有一些优秀学生参与思考，而数学水平偏弱的学生从一开始就放弃思维参与.作为必要的实践跟进，以下我们给出该题的开课引入的教学设计.

教学环节（一）开课阶段，特例引入

引例如图9，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），连接AP，交对角线于点E.求∠BAP的度数；

图9　

（3）当点P恰为BC的中点时，求BE的长；

（4）当∠BAP=15°时，求PC的长；

（5）当∠APB=15°时，求PC的长.

设计意图：通过问题变式研究，熟悉相关基本图形和求解经验，为后续问题拓展提供必要的辅助思考.

（1）连接CE，求证CE=AE；

（2）若

3.开展讲评后变式检测，重视教学效果反馈

近一段时间以来，《中学数学》（下）刊载了不少课例文章倡导开展“听课检测”，笔者深受教益，在自己的教学实践中也经常开展，取得较好的教学反馈效果，特别是往往能校正、审视自己的解题教学实效，有时事与愿违，一些较难试题经过自己多角度、较长时间讲评之后，效果反而不如让学生先说，各自表达自己的解法，然后喊其他学生上台复述，再讲一遍之后，再检测时，效果反而会更好.最后我们也围绕“考题”提供一道变式检测题.

变式检测题：如图1，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），直线AP与对角线BD及射线DC分别交于F、Q.

（1）当∠BAP=30°时，求AP的长.

（2）取PQ的中点N，连接CN，求证CN⊥CF.

（3）当点P在BC的延长线上时，作出△PCQ的外接圆⊙M，并判断该外接圆⊙M与CF的位置关系，说明理由.

（4）在（3）的条件下，⊙M与直线BD能否相切？如果能，求出此时∠APB的度数.

（5）当∠BAP=15°时，取PQ的中点N，求点N到直线BD的距离.

1.钟启泉.“教会提问”的教学［J］.基础教育课程，2014（9）.

2.郑毓信.善于提问［J］.人民教育，2008（19）.

3.郑毓信.善于优化［J］.人民教育，2008（20）.

4.【美】波利亚，著.怎样解题［M］.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.Z