从解题赏析走向教学研究——以2016年无锡卷第27题为例

☉江苏省无锡市新区第一实验学校　许　燕

从解题赏析走向教学研究——以2016年无锡卷第27题为例

☉江苏省无锡市新区第一实验学校许燕

近读《中学数学》2016年8月初中版，江苏省中学数学特级教师姜鸿雁老师对2016年无锡卷第27题的赏析文章（详见文1），浅入深出，以小见大，颇具诗情画意.特别是文1后半段提出两个“追求”：追求自然生长的课堂教学、追求提示本质的课堂教学.笔者深受教益，实践跟进，在班级上以该题作为一题一课的选题素材，开展了解题教学，取得较好的教学效果.本文记录该课的教学设计，并给出教后反思，供研讨.

一、考题与思路简述

考题（2016江苏无锡，第27题）如图1，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D.

（1）若m=3，试求四边形CC1B1B的面积S的最大值.

（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值.

图1　

图2　

思路简述：（1）由于平行四边形的四个顶点坐标是变量，故想清楚四个顶点的位置特点是关键.当m=3时，边AB的长可以用含n的式子表示为3-n，即CD=3-n；再在Rt△AOD中，由勾股定理可得接下来是分析四边形CC1B1B的形状.因为四边形ABCD是平行四边形，则BC平行且等于AD.同理B1C1平行且等于AD.由四边形CC1B1B为平行四边形，再结合点C与C1、B与B1关于直线AD对称，所以AD垂直平分CC1、BB1.又BC∥AD，所以∠BCC1=90°.即四边形CC1B1B为矩形.该矩形的面积由CC1·CB决定是CH的两倍（如图2，设CC1与AD相交于H）.

这样在Rt△CDH中思考，根据相似三角形性质或锐角三角函数可得于是四边形CC1B1B的面积可以表示为：即所以时，四边形CC1B1B的面积S取得最大值9.

另解：如图3，确认四边形CC1B1B为矩形之后，S矩形BCB1C1=2（S梯形BCEA+S△BAF）=2（S梯形BCEA+S△CDE）=2S平行四边形ABCD= 2（m-n）·2n.当m=3时，即当时，S矩形BCB1C1取得最大值9.

图3　

（2）当点B1恰好落在y轴上时，结合A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n），可得OB=m，OA=n，OD=2n，AB=m-n.由（1）可知，则n）.再证出△BOB1～△DOA，所以有，解得

另解思考：由（1）得，四边形BCB1C1是矩形，S矩形BCB1C1= 2S平行四边形ABCD=BC×BB1.因为BC=AD，且又m＞n＞0，所以8（m-n）=5m，即

二、“一题一课”教学微设计

教学环节（一）：开课阶段，特例引路

例1如图4，已知▱ABCD的三个顶点A（1，0）、B（3，0）、D（0，2）.

图4　

（1）直接写出顶点C的坐标；

（2）求▱ABCD的面积；

（3）设AC、BD相交于点E，求点E的坐标；

（4）作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB′C′D，求点B所对应的点B′的坐标.

设计意图：从常数出发，让学生训练坐标系下各个顶点坐标、平行四边形的面积，以及轴对称的性质.教学时，还可追问学生点C′的坐标.

教学环节（二）：引入参数，感受变化

例2如图4，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（3，0）、D（0，2n）.

（1）写出顶点C的坐标（用含n的式子表示）；

（2）求▱ABCD的周长和面积（用含n的式子表示）；

（3）求点C到直线AD的距离（用含n的式子表示）；

（4）作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB′C′D，求四边形CC′B′B的面积S的最大值.

设计意图：引入一个参数后，安排系列探究，主要是用含n的式子表示顶点C的坐标、平行四边形的周长与面积，以及分析对称变换之后得到矩形CC′B′B的面积的最大值.最后一问对应着原考题的第（1）问.

教学环节（三）：两个变量，深入探究

例3如图4，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（n＞0）.

（1）用含n的式子表示边BC的长.

（2）用含m、n的式子表示▱ABCD的面积.

（3）如图1，作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB′C′D.

①猜想四边形CC′B′B的形状，并说明理由.

设计意图：通过增设前两个小问，引导学生在两个参数的背景下表示四边形的边、面积，为探究原考题的第（2）问提供铺垫.

教学环节（四）：变式再练，检测反馈

变式再练：如图5，已知▱OABC的三个顶点A（m，0）、C（n，2n）（m

图5　

（1）用含m、n的式子表示顶点B的坐标.

（2）当m=-3时，用含n的式子表示▱OABC的面积.

（3）作▱OABC关于直线OC的对称图形OA′B′C.（点A、B分别对应点A′、B′）

①求证：四边形OA′B′C是矩形.

②当m=-3时，分析四边形OA′B′C的面积的最大值.

设计意图：将平行四边形变式到第二象限，主要考查方向仍然与原考题类似，以此反馈学生的听课效果.

三、教后反思

1.精选本地优秀考题，设计“一题一课”

毕业年级的中考复习时间紧、任务重，选题的针对性十分重要.就目前全国各地中考试题的命题风格来看，各个地区往往都有较为稳定（甚至个性化、“八股化”）的命题取向，这时认真研究本地区近五年或者近三年的中考试题的特点，然后在此基础上精选出优秀考题，将其开发成“一题一课”，使围绕本地区经典考题的复习课的效益达到最大化.强调所谓“一题一课”也是想让解题教学的目标更加聚焦，更有针对性，让学生通过对本地区一道典型考题加深理解，也可达到做一题、会一类、通一片的教学效果.

2.加强引例铺垫引入，追求“渐次生长”

由于开展的一题一课，我们建议要重视引例的预设，这需要必要的命题能力作为保证.即在深刻理解考题的基础上，将考题的系列问题“加密”，铺陈系列铺垫问题，吸引更多学生的思维参与，特别是数学基础偏弱的考生，要让他们在开课阶段也能顺利进入问题探究，然后渐次生长，让数学层次较高的学生向上攀登、迎接挑战.

3.重视反馈教学效果，开展“听课检测”

一年来，我们在《中学数学》（下）读到不少倡导“听课检测”的课例文章，笔者深以为然.在日常教学中也逐渐开展听课检测，有时只是简单改编一下数字或字母，但不少误以为自己听懂的学生，却仍然做不出来.这说明，较难的试题讲评之后，其听讲效果，常常需要跟进必要的反馈，让那些“伪懂”的学生暴露出来，督促他们重新订正，达到真正学会的讲评效果.

四、写在最后

解题研究，特别是针对最新中考试题的解法研究，常常是不少专业期刊的经典栏目，然而我们注意到《中学数学》（下）近两年来，该栏目的用稿风格明显不同于有些兄弟期刊，即不仅关注繁难考题的解法探讨，而是从一些经典考题的解法出发，链接到围绕该题的解题教学设计或教学建议，这是“接地气”的服务教学的研究取向，值得点赞，我们一线教师也深受教益.本文正是在这样的用稿风格的引导之下的一次尝试，既不一定准确，更不一定正确，期待批判和研讨.

1.【美】波利亚，著.怎样解题［M］.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

2.杨卫东.客从何处来：一道几何把关题的命制历程［J］.中学数学（下），2016（8）.

3.付小飞.明辨并列与递进，引导分离和聚焦——2016年江苏苏州中考第28题解析与教学思考［J］.中学数学（下），2016（7）.

4.鲍建生，顾泠沅，等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1，2，3）.Z