解题研究：从一题多解走向结构揭示——以2016年江苏镇江中考卷两道把关题为例

☉江苏省海安县城南实验中学　顾志勇

解题研究：从一题多解走向结构揭示——以2016年江苏镇江中考卷两道把关题为例

☉江苏省海安县城南实验中学顾志勇

中考试题的最后两大题一般是代数、几何综合题，承载着区分选拔功能，又有着明确的教学导向作用，也往往得到不少命题研究者的关注.本文关注江苏镇江中考卷最后两道试题，先给出思路突破和解后反思，并跟进教学反思，供研讨.

一、考题的思路突破与解后反思

考题1（2016年江苏镇江，第27题，有删减）如图1，在菱形ABCD中，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒）.将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF.

（1）（2）（3）略.

图1

图2　

（4）如图2，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式.

思路突破：由于本题主要难点在第（4）问，限于篇幅我们略去前3问，重点解释第（4）问的思路.

仔细读题后发现，第（4）问的本质是：在点E的运动过程中，当它的对应点F位于AD上方时，求出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式.

也即与所谓的“将线段CD旋转后得到对应线段CG”这个条件看似无关？

事实上，这个旋转的对应线段的目的是提供一些辅助线，提示解题的思路，具体如图3.想清楚，点G即为t=0时，点E的对应点.当点F在直线AD上方时，连接GF，分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD，垂足为H.

图3　

由旋转角度，可得∠1=∠2，接着证出△DCE≌△GCF，得∠3=∠4.再结合DE∥BC，得∠1=∠3.于是∠2=∠4.所以GF∥CD.易得易得四边形CDMN是菱形.再结合tan∠ABC=tan∠CGN=2，在△CGN中思考，可解出GN=12.所以.而GF=DE=t× 1=t，所以

最后把目光聚焦到Rt△FMH中，由tan∠FMH= tan∠ABC=2，得即y=

解后反思：我们先梳理一下求解的路径：利用CG构造全等三角形（△DCE≌△GCF）→对应着GF=DE=t→发现菱形CDMN→求出GN、NM的长分别为最后在△FMH中思考贯通思路.

从上面的求解路径来看，构造并利用全等三角形（△DCE≌△GCF）的性质沟通相关线段、角之间的等量关系有着特殊的重要价值，演算、推证过程中，发现菱形CDMN也是关键，因这会影响GN、NM的长能否顺利突破.

图4　

“高观点”理解：如图4，连接EF、DF，根据高中“余弦定理”：CE2=DE2+CD2-2DE·CD·cos∠EDC=t2+12t+180，再着眼于四边形ECFD的面积，可以用△ECF的面积减去△DEF的面积，也可以用△ECD的面积加上△CDF的面积（可转换为△BCE的面积），从而列出等式：这样把相关数据代入后可沟通出y与t之间的函数关系.

命题商榷：由于上面的第（4）问显得变式距离过大，增设的解题层次太多，以下本着命题研究的兴趣，重新设计如下系列问题，供研讨.

题干不变.

（1）当CE取得最小值时，求t的值.

（2）点F能否落在直线BC上？如果可能，求t的值；如果不能，说明理由.

（3）点F能否落在直线AD上？如果可能，求t的值；如果不能，说明理由.

命题意图：对于第（1）问，当CE⊥AD时，CE取得最小值，此时易求得t=6.

对于第（2）问，构造图5分析，本质上说是以C点为圆心，以CD为半径的圆与直线BC交于F点，此时可求出DE=12.

图5　

图6　

对于第（3）问，构造图6分析，易得∠1=∠2=∠3=∠4，这样有.而DH=6，则则.至此，也可看出，原考题的第（4）问是可以探讨t的取值范围的，即当t时，点F落在直线AD上方.

考题2（2016年江苏镇江，有删减）如图7，二次函数y1=（x-2）（x-4）的图像与x轴交于A、B两点，其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D.以P为顶点的二次函数y2=-2（x-2）（x-4）的图像过点A.

图7　

图8　

（1）略.

（2）①略；②略.

③如图8，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x-2）（x-4）、y2=-2（x-2）（x-4）的图像于点E、F、G、H，过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x-2）（x-4）的图像于点Q，若△GHN～△EHQ，求实数m的值.

思路突破：设N（n，0），HN=-2（n-2）（n-4），QN=-（n-2）（n-4），所以即.由△GHN～△EHQ，得由对称性可知设KG=t（t＞0），则G的坐标为（3-t，m），E的坐标为（3-2t，m）.由题意得-2（3-t-2）（3-t-4）=（3-2t-2）（3-2t-4）=m，结合t＞0，故相应地m=1.

另解反思：上面增设了两个参数，运算量可以减小很多.以下再以一个参数的演算形式贯通思路.由直线EF过点M（0，m）（0＜m＜2），EF∥AB，代入抛物线中，（x-2）·（x-4）=m.解得故E同理可代入另一条抛物线，得即得又 0＜m＜2，则实数m的值是1.

结构反思：将图8简化为图9.

该题的关键就是GH∶GE= 2∶1，即GH=2GE.只要抓住这个等量关系，用含m的式子表示点E、G、H的横坐标，则可列出关于m的方程，从而获得问题的解决.原题中的直线HN，以及带来的△GHN～△EHQ，都属增加解题层次的包装、伪装.

图9　

二、关于综合题教学的一些思考

1.重视铺垫设计，引导学生循序渐进并突破难点

较难的综合题讲评时要注意在学生独立思考之后进行，通过前期批阅学生解答之后，明晰学生的主要困难、障碍点，针对这些障碍点把问题暴露，展示较难问题是如何生成的，把图形的线段删减，凸显问题的本质，即引导学生善于做“目标解析”，这样的训练方式，不仅帮助学生学会解一道题，而且是传递难题的突破方式或研究套路.

2.重视解后反思，帮助学生揭示考题的深层结构

问题讲评之后，可安排学生对较难的步骤进行必要的重复讲解，一方面反馈学生理解的情况，另一方面让一部分理解稍慢的学生有机会慢慢思考，跟上班级节奏.此外，还需要安排解后反思的环节，这个环节中，就如上文中我们开展的解后反思一样，既可从“殊途同归”的角度开展反思，思考一题多解、多解归一，比较不同解法之间的和谐与一致，又可以通过删减部分线条之后，获得问题结构的认识.还有，对于有些考题，基于“高观点”（如高中阶段的知识）能获得更好的理解的话，也可作适当补充，让高层次学生提前接触“高观点”知识.

三、写在最后

中考综合题（特别是最后位置的把关题）不但承载着区分选拔功能，还有较强的教学导向功能，一道取向简约、深刻、不超纲的优秀试题往往能促进地区教学选题的走向，而较为繁杂的（甚至是无度增加解题层次）命题取向，也会让本地区中考复习备战的师生无所适从，陷入大量选取繁杂试题的题海之中，影响着数学的“本来面目”，从这个意义说，让我们期待有更多简约深刻的好题出现吧.

1.付小飞.明辨并列与递进，引导分离和聚焦——2016年江苏苏州中考第28题解析与教学思考［J］.中学数学（下），2016（7）.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.鲍建生，顾泠沅，等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1，2，3）.Z