削枝强干凸显结构，解后反思积累模式——以2016年江苏徐州中考卷第28题为例

2016-11-18江苏省南通市通州湾海晏中学王卫娟

中学数学杂志 2016年20期

☉江苏省南通市通州湾海晏中学　王卫娟

☉江苏省南通市通州湾海晏中学王卫娟

中考综合题（特别是把关题）常常备受本地区师生的关注，在一个更大的范围也常常因为各种“中考题分类”的传播与推介而得到复习时的关注.有些考题因为缺少前后关联、上下呼应的命题追求，呈现拼凑式命题取向，讲评时要注意引导学生对各个设问展开各个击破，并在解后回顾阶段提示问题深层结构，帮助学生完善“模式积累”.本文以徐州卷一道综合题为例，先给出思路突破，并跟进教学思考，最后给出变式改编，提供研讨.

一、考题与思路突破

考题（2016年江苏徐州中考卷第28题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D.

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标.

图1　

（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点.

①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有几个？

②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围.

1.思路突破

（1）考虑题中所给条件有两个点是抛物线与x轴的交点，可以利用“两根式”设二次函数的表达式为y=a（x+1）（x-2），再把代入解得所以y=顶点坐标为

当然也可以用“一般式”y=ax2+bx+c代入三点，或者“顶点式”设代入两点求解.

（2）一般来说，分析两条线段之和最小可以将问题转化为所谓的“将军饮马”模型（基于轴对称性质、光线反射原理），然而从这道题目的结构和已知信息来看，不具有向轴对称方向转化的可能，一是待求的不是两条线段之和，而是一条线段的一半与另一线段的和，需要把该线段的一半做适当构造或转化，于是想到特殊角度，如30°角的启示，如图2，过D点作DQ⊥AB于Q点，交y轴于P点.由题意可得∠ABO=30°，在Rt△PQB中这样待求的最小值就转化为PD+PQ，即DQ的最小值.显然，此时DQ是D到AB的垂线段，为符合要求的最小值.此时∠可得

图2　

图3　

（3）①首先做问题的目标解析，若A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则该四边形由对角线分开的三角形应该是等腰三角形，所以该小问设问的本质其实是△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标.于是构造如图3的草图分析，有如下一些不同情形：

以B为圆心，BA的长为半径的圆交抛物线对称轴于M1，M2；以A为圆心，AB的长为半径的圆交抛物线对称轴于M3，M4；作线段AB的垂直平分线交抛物线对称轴于M5.

换一个视角看：若AB为边菱形的边，因为M为抛物线对称轴上的一点，即分别以A、B为顶点，AB的长为半径作圆与对称轴的交点即为M点，这样的M点有四个；若AB为菱形的对角线，根据菱形的性质，作AB的垂直平分线与对称轴的交点即为M5点.

综上所述，这样的M点有5个，所以对应的N点有5个.

图4　

②由题中60度的启示，首先补成一个等边△ABQ，如图4，再作出△ABQ的外接圆（圆F，注意圆心F应该在y轴上），则抛物线的对称轴被该圆“圈住”的部分则是符合要求的点M所在位置.因为根据圆周角定理，∠AM1M2=∠AM2M1=60°，当M点落在M1M2之间时，∠AMB不小于60°，接下来就是求此时t的取值范围.设⊙F与抛物线的对称轴交于M1，M2，作FG⊥M1M2，由垂径定理知M1G=M2G，在根据勾股定理可得再结合所以即

2.解后反思

该题第（2）、（3）问之间缺少关联，属于相对独立的设问，且互相之间没有启示思路之作用，属于较低水平的拼凑综合题.具体来说，第（2）问如果之前学生没有练习过此类转化的方式，则要考场上独立贯通思路可能性较小，因为这不是初中阶段较常见的最值问题，而是高中数学教材中一个经典问题.而第（3）问的两个问题也缺少关联，第①小问只是用菱形的设问掩盖了等腰三角形的探究，这类问题在复习期间应该得到太多的训练，属于陈题再练；而第②小问则是一个等边三角形外接圆问题，利用正三角形的外接圆性质获得问题结构，并进一步构造直角三角形实现思路贯通.这类问题在近年来北京中考卷、北京市各区九年级的测试卷中以新定义的方式呈现过多次.简而言之，徐州卷这道综合题迎合了当下题海战术，把多个考生练习、复习过的题型生拼硬凑在一道所谓的大题之中，从第（2）问往后就让题干提前枯萎，这种缺少上下关联、前后呼应的命题取向值得商榷.