藏锋内敛:例说综合题命制中的分类讨论——由2016年山西省压轴题的拓展思考说起
2016-11-18江苏省盐城市大丰区实验初中杨剑峰
☉江苏省盐城市大丰区实验初中 杨剑峰
藏锋内敛:例说综合题命制中的分类讨论——由2016年山西省压轴题的拓展思考说起
☉江苏省盐城市大丰区实验初中杨剑峰
中考综合题特别是压轴题常常会考查分类思想,以便检测学生数学思维的严谨性、慎密性.也有些考题对分类讨论提出过高要求,陷入失控、无度状态.本文先对一道考题的第(3)问进行思路解析,并拓展思考,最后围绕综合题命制中对分类讨论的调控提出一些初步思考,提供研讨.
一、考题的思路突破
图1
考题(2016年山西省第23题)如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8).
(1)略;(2)略;
(3)若P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q,试探究:当m为何值时,△OPQ是等腰三角形.
以下重点展开第(3)问思路突破:首先要分析待求的△OPQ是等腰三角形有几种不同情形,考虑到点P是y轴负半轴上一个动点,且△OPQ顶点Q是由直线PB与直线l相交所得,故不可能有OP=PQ.只可能存在两种情况,即OP=OQ或OQ=PQ.以下构造出草图(如图2,图3).
图2
图3
以下分述之:
①如图2,当OP=OQ时,△OPQ是等腰三角形.此时,过点E作EM∥PQ交y轴于点M,容易得到△OME也是等腰三角形,OM=OE=5,于是可求出直线ME的解析式为y=根据两直线平行,斜率k相等,可设直线PQ的解析式为把B(8,0)代入即可得即点此外也可考虑利用△OPQ~△OME得到的比例式,以及由MH∥PB可得,组合沟通得出答案.
②如图4,当PQ=OQ时,△OPQ是等腰三角形.结合点E,C坐标的特征,发现△OCE是等腰三角形,OE=CE,于是可以确认CE∥PQ.可先解出直线CE的解析式为,进一步设直线PQ的解析式为把B(8,0)代入解析式可得即
二、拓展思考
考虑到第(3)问限制了点P在y轴的负半轴上,如果该点放开到y轴上任意一点,那么还会有怎样的可能情形呢?
问题表述如下:若P是y轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q,试探究:当m为何值时,△OPQ是等腰三角形.
图4
图5
图6
先研究图4的情形,此时OP=PQ,△OPQ为等腰三角形,可得△OPQ~△OEC,结合OE=CE=5,OC=8,有OP∶OQ=5∶8,可设OP=5m,OQ=8m,设法将Q点的坐标用含m的式子表示,如图6,在Rt△OQH中,该三角形的三边之比是“3∶4∶5”,可以表示出即点Q的坐标由于另有P(0,5m),B(8,0),三点都是共线的,所以就转化为以下问题:
解析:设该直线解析式为y=kx+b,把三个点坐标分别代入直线解析式可确定出
接着研究第4种情形,如图5,此时OP=OQ,点P在y轴正半轴,而点Q在x轴下方,可设P(0,5n),则OQ=5n,根据点Q在直线上,可得Q(3n,-4n),于是三点(0,5n),(3n,-4n),(8,0)在同一直线上,可以确定
三、命题感悟
即点P(0,24).
从以上解法探讨和拓展思考来看,山西省中考数学命题组应该已预见到如果将点P放开在y轴上深入探究,则学生在考场上限时独立解答完整的可能性是很小的,基于内敛藏锋的命题取向,命题组将探究的范围适当缩小,使得问题分类讨论的情形只有两种,减小了求解的难点,值得点赞.以下再围绕命题中分类讨论的话题给出几点进一步的思考.
1.分类讨论的命题立意需要指向概念教学
初中阶段的分类讨论非常丰富,具体来说,代数领域由于数的范围之丰富需要分类讨论,比如实数系分有理数与无理数,或者是正数与负数,对应到一个点所在数轴上的位置,就需要分该点在数轴上的正半轴、负半轴或原点等位置,上述考题第(3)问限制了在y轴负半轴上思考,而一旦放开,则需要考虑另外的点P在y轴正半轴的两种可能情形.再比如在几何领域,图形之间的不同位置关系往往会带来分类讨论,三角形全等(相似)的不同对应关系会带来分类讨论等,如本题中等腰三角形的腰没有明确,则也会面临着分类讨论.这些分类讨论的命题立意,背后都指向重视概念教学.
2.分类讨论需要深思,以防陷入无度失控
分类讨论是每份中考试题都会反复考查的一种重要思想方法,对于检测学生思维严谨性、慎密性有着十分重要的考查功能.但是分类讨类的考题也需要注意把控和反复推敲,防止失控与无度.我们常常见到有些地区的考题,一道综合题的分类讨论结论多达4种以上,有些分类讨论之后运算还十分繁杂,且运算的类型也高度趋同,使得考生思路易见,运算难见终点.
3.分类讨论的问题需要考虑多种解法兼容
得到普遍认可的是,中考综合题的解法需要多样化,因为中考面向的是大样本甚至全样本环境下的测试考查,一道把关题的设计高度,需要兼顾不同思维风格学生的思维特点.故命题时对于综合题的不同分类情况,不仅要考虑分类的合理与思路如何生成,还要构思或预设学生可能的解答路径,使得考题的内容效度与信度达到较高水平,也是试题命制中“兼顾公正”的一种追求.
四、结束语
命题也是一门遗憾的艺术,需要打磨与优化.以上我们从一道考题的思路出发,拓展思考,并基于分类讨论这一思想方法在综合题中的命题技术展开了一些初步的思考,抛砖引玉,供批评指正.
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3.刘东升.以本为本:习题变式的视角与可能[J].中小学数学,2016(1).
4.鲍建生,顾泠沅,等.变式教学研究[J].数学教学,2003(1,2,3).