从差异处着手，在课堂中生长——从“三角形内角和”一课谈起

☉江苏省无锡市广丰中学　何心芳

从差异处着手，在课堂中生长——从“三角形内角和”一课谈起

☉江苏省无锡市广丰中学何心芳

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，教学活动要关注学生的个体差异，努力使全体学生达到课程目标的要求.学生的差异是多方面的，且是动态发展的，从教学的角度更关注学生智能的差异，学习动机与学习兴趣的差异，学习风格、方式的差异，以及认知准备的差异等.出色的教师要做发现学生差异的有心人，不仅能客观承认这种差异，而且还能对自己学生的差异准确分辨，在关注学生不同的学习需求后，用差异化的教学策略让学生在原有的基础上得到最大的发展，这是教学的最终目的.

学生由于学习环境、生活经验、知识储备等方面的不同，在数学学习过程中必然存在着差异.所以教学目标既照顾差异又对每个学生都应有挑战性.

下面就以“三角形的内角和为180°的探索和证明”为例作一个阐释.

一、承认差异，制定有差异的教学目标

先分析该知识点的结构体系：本节内容是三角形的一个重要性质，揭示的是三角形三个内角之间的关系，是今后学习多边形的内角和、外角和及三角形外角性质等许多知识的基础和依据；是计算角度和证明角相等的常用方法之一.到了初中，不仅要向学生说明证明的必要性，还要让学生感受用几何符号语言说理的过程，明白添加辅助线是解决几何问题的常用方法.

再分析学生衔接的前知识的结构体系：在小学四年级苏教版的教科书上已经让学生通过不同的实践操作去感知这个内容，只是还不知道这样做的原因.学生已有的几何语言知识是七年级上册最后一章和下册第一章有关平行线的识别和性质，学生最困难的是“把角的移动怎么变成线的平移”这一辅助线的出现.

介于以上两点，我设计了如下的教学目标.

（1）通过回顾，让学生回忆得到三角形内角和为180°的实验操作过程.

预设三个学生可能的回答：①用量角器测量三个内角的度数再相加；②把三个内角撕下拼成一个平角；③可以将三角形折成一个长方形.其中①②是知识性目标，每个学生都要会操作；③是能力性目标，在教学教科书上有介绍，但学生估计已经遗忘，需要通过教师的动手操作演示给学生看，只要学生了解就可以了.

（2）掌握三角形内角和为180°的证明和推论，并能用它们解决有关角度计算的简单实际问题.此目标全体要求掌握，其中对于证明的方法，学习能力较弱的学生掌握最简单的一种即可.

（3）初步体会如何分析几何证明思路，感受“辅助线”的方法，形成“言必有据”的推理习惯.此目标需要学习能力较强的学生理解.

由于是建立在多方分析的基础之上，对学生所要达到的目标有层次的差异，因此课堂教学的针对性必然就会增加，各环节的设计也紧紧围绕目标而开展.

二、照顾差异，设计有差异的“问题串”

在承认学生学习能力差异客观存在的基础上，为了让不同能力层次的学生在课堂上都能有所思考和训练，我们在每一教学环节的设计上可以设计一些有梯度的问题，以满足学生的不同需求.

首先，通过设计“问题串”，激发不同层次学生的数学思维活动.本节课的重、难点是证明“三角形内角和为180°”的方法，而学生最缺乏的就是证明的思路.所以通过以下问题串让不同层次的学生都有所思考.①请同学们回忆一下，我们曾经用什么方法探索了三角形内角和为180°？②我们学过的知识中哪些是和180°有关的？③有什么办法可以把它们联系在一起？这三个问题的关系是递进的，适合不同层次的学生.问题②可以和平角及平行线的同旁内角联系起来，问题③是为画辅助线理下伏笔.

图1　

图2　

图3　

图4　

其次，通过设计“问题串”，找到突破重、难点的方法，让学生有选择地完成证明过程.在整个拼图过程中，鼓励学生有不同的发现，通过有效的活动形式，学生能出现的结果有四种情况.如：图1和图3都可以体会移动角和画平行线的关系.设计的问题是：①请学生观察，图中有特殊位置的线吗？请说明理由.②像这样通过移动角我们得到了平行线，那么如果我们先作平行线，是否可以移动角呢？这样证明的辅助线就产生了，重、难点也得以突破.在证明的过程中也要兼顾学生的差异，在学生独立思考的基础上，在小组内先交流想法，然后利用图1和图3让学生阐述自己的思路，教师在特别需要强调的地方适当补充和完善.只有在让学生暴露证明方法的过程中，才能知道学生的问题所在，才能给予学生最有效的帮助，让学生在不断的学习和反思中得以提高.最后学生可以选择一种完成证明过程.

最后，通过设计“问题串”，培养学生的归纳总结能力.问题①：请同学们想一想，我们是怎样找到证明思路的？问题②：通过拼图活动，我们又是如何发现证明思路的？在教师的追问中，让学生感知数学的思维过程，通过归纳总结证明的思路体会数学的转化思想.这是学生第一次接触辅助线的添加，因此如何叙述辅助线的添加和证明过程的书写规范是需要教师的示范作用的.课堂教学要给不同认知基础的学生提供思考和学习的机会，并给予适当的帮助.设问的难度要循序渐进，要求不宜一下子提得过高，层次落差不宜太大.要保证不同层次的学生都有提高.

三、凭借差异，开展有差异的学习历程

首先，组织学习互助小组，把能力强弱进行异质小组安排，以便于他们交流互助.如上述四种拼图的方法，就是在小组合作交流的基础上完成的.在设计小组活动时，既要考虑到组内学生的差异，估计学生可能出现的结果和应对的策略，是交由组内探讨还是老师点拨；还要考虑到活动的目的性，设计好阶梯型的活动要求，以帮助反应快速和部分缓慢的同学都可以通过活动体验结果，经历属于他们的相对完整的学习历程.

如拼图活动的要求是：①学生独立完成；②组内交流；③小组展示.对于部分学生还设计了友情提醒：从三角形ABC中撕下∠B、∠C，拼到∠A处.你还有其他拼法吗？

其次，提供差异展示的机会.通过小组交流或全班交流，给学生提供相互学习的平台.学习能力较弱的学生可以得到解题方法的提示，学习能力一般的学生可以获得解题方法的积累，学习能力较强的学生可以收获解题思维的拓展.而在实施过程中，学生在异质的交流和分享中得到了能力的学习与互补.如在大家都在分享两种证明方法的喜悦时，有一位学生给出了如图5所示的证明方法：利用平行线的同旁内角互补来证明.

图5　

在三角形内角和为180°的教学中，共设计了两处小组合作环节.一处是拼图，对于学生来说，要得到拼图的所有情况是困难的，所以通过合作不仅让组内学生在交流中完善拼图的方法，更重要的的是为后面的学习打下了基础，否则学生的后续学习就很难跟上；第二处是证明，交流不仅可以得到思维上的拓展，还可以让不同层次的学生都能有所收获.学习能力较弱的学生获得的是多帮一的机会，有助于他们掌握最基本的方法，尝试到解题成功的喜悦.其他学生在组内交流讲解过程中，更明晰了自身的思考路径，学习获得的有效性更高.

四、延伸差异，选择有差异的测试要求

由于不同能力水平的学生对知识的掌握和反映效果是不一样的，因此教师应根据各层次学生的水平，设置有弹性的要求、可选择的作业.

一般可分为三个层次：作业设计为基础题为主，同时配有少量的提高题和拓展题.学习能力较强的学生是基础性作业和提高题、拓展题；学习能力一般的学生是基础性作业和提高题，选做拓展题；学习能力较弱的学生是基础性作业为主.考虑到学生做作业时的方便，会设计作业纸.针对不同层次的作业目标，可以规定凡完成自己所属层次任务的，均能得“良”；凡完成任务突出或达到高一层目标的，可得“优”；未完成所属层次任务的，只能得“中”或“差”.这样一来，学习能力较弱和一般的学生都有机会得“优”，而学习能力较强的学生如果不努力也有可能得“中”.而对于有些题目不能分开时，就采用特别标注的方法.例如，已知∠A、∠B、∠C是三角形ABC的三个内角.①若∠A=90°，∠C=40°，则∠B=____；②若∠C=2∠A，∠A+∠C=120°，则∠A=____，∠B= ____，∠C=____；③若∠A=70°，∠B-∠C=20°，则∠B= ____，∠C=____.其中②③是提高题，就会用圈题号或打星号来标注.

一单元学完后，均安排一次过关考核.根据学生的实际水平，同一份试卷拟定出不同层次的测试题，基本框架也是和作业一样，但考试的要求不一样.对于学习能力较弱的学生，要求完成基础题后面批，个别辅导.对于考完后的试卷，要分析不同层次的学生.学习能力较弱的学生分析基本题的得分和失分，学习能力一般的学生分析基础题的失分和提高题的得分，找到失分的原因和提高题中没突破的困惑，学习能力较强的学生分析拓展题外的失分原因，暴露拓展题的思维过程，已经想明白了哪些问题，还有什么困惑，面谈或纸上交流.这样给自己的试卷讲评带来的差异性，能让学生讲的题目我就不讲，我只讲学生要求我讲的题目.有时还可以对知识的前后联系、处理归纳作一下点拨.

总之，我们必须认可学生差异的客观存在性，不管是在课前还是课中乃至课后都不能无视它，在设计每一个教学内容时都要考虑到不同层次学生的需求，精心为学生设计能让他们有成就感的环节和活动.差异教学追求的价值是每个学生最大限度的发展，所以我们必须尊重差异，理解差异，将差异作为一种资源，使我们的学生都接受有效的教育.

1.章建跃.中学生数学学科自我监控能力［M］.上海：华东师范大学出版社，2003.

2.王光明.数学教育要培养效率意识［J］.中学数学教学参考（上），2006（5）.Z