基于过程教育的“二次函数”课例及分析

☉浙江省象山县石浦中学芦　灵　蓓

基于过程教育的“二次函数”课例及分析

☉浙江省象山县石浦中学芦灵蓓

一、背景介绍

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）根据数学具有过程和结果的双重性特征，倡导统筹兼顾过程与结果，以全面发挥数学的育人功能.但在以浙教版《数学》九年级上册第一章第1节“二次函数”为载体的“多人同课异构”式的研修活动中发现，课堂教学普遍存在过程教育不到位的问题，导致不能满足学生发展能力与个性、感悟其蕴含的数学思想方法及积累数学活动经验的需要.网上查阅同类课例发现也有类似现象.鉴于此，笔者在重复式观课与反思基础上，在浙江省特级教师邬云德先生的指导下，对该课的教学进行重建与再实践，改进后的教学得到了同仁的认可.现将其整理出来，以飨读者.

二、教学实录

环节1：经历产生并感悟二次函数的过程——明确研究问题

师：我们知道，许多实际问题可以转化为一次函数、反比例函数问题.一次函数、反比例函数够用了吗？请大家解决下列问题.

问题1：小王存入银行500元，先存一个一年期，一年后将本息转存为又一个一年期.设年利率均为x，两年后小王共得本息y元.问：当x=0.02时，y=？其实际意义是什么？

（约3分钟后）

师：在这个问题中，哪些量是常量？哪些量是变量？

生1：存入本金数500元是常量，所存年数是常量，年利率x及本息和y元是变量.

师：不错.y关于x的函数解析式是什么？

生2：y=500（1+x）2，即y=500x2+1000x+500.

师：好的.当x=0.02时，y=？其实际意义是什么？

生3：当x=0.02时，y=520.2.其实际意义是500元钱存2年可得本息和520.2元.

师：好的.解决这个问题经历了哪几个步骤？

生4：审题→分析→列式→求解→作答.

师：不错.这个函数是不是一次函数？是不是反比例函数？

生5：它既不是一次函数，也不是反比例函数.

师：不错.这说明从实际问题中还可以抽象出新形式的函数.其实，这种函数有丰富的情景.例如，函数等都是从生活问题中抽象出来的.

师：既然这类函数有丰富的现实情景，就有研究这类函数的必要.这类函数有何特征？有何性质？有何用处？本章就来研究这些问题.（揭示课题）

环节2：参与定义二次函数的活动——形成二次函数的概念

师：现在请大家依次思考下列问题.

题1：（1）函数y=500x2+1000x+500与一次函数、反比例函数相比有何特点？

（2）函数“y=500x2+1000x+500，y=-x2+58x-112，y=有何共同特征？（提示：可从不同角度进行观察）

（3）能类比一次函数的本质特征给出上述函数的本质特征吗？

（4）像定义一次函数一样，怎样定义上述类型的函数？

（约3分钟后）

师：谁来回答（1）？

生6：它的自变量x的最高次数是2次.

生7：右边的代数式是整式（二次三项式）.师：不错.谁来回答（2）？

生8：它们都有两个变量.

师：不错.你是从变量的个数角度来归纳.

生9：它们表示变量的字母的最高次数都是2次.

师：好的.你是从表示变量的字母的次数角度来归纳.

生10：它们右边的代数式都是整式.

师：不错！你是从代数式的类型角度来归纳.

生11：它们都不是方程.

师：有道理.你是用方程概念来归纳.

生12：它们都可以表示为y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式.

师：非常好！大家从不同角度发现了这类函数有许多特征.谁来回答（3）？

生13：其本质特征是“函数”、“二次”、“整式”.

生14：其本质特征是具有“y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）”的形式.

师：有道理.谁来回答（4）？

生15：形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫作二次函数.

师：好的.这里的a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项.

师：二次函数y=-x2+58x-112的二次项系数、一次项系数、常数项分别是什么？

生16：a=-1，b=58，c=-112.

师：不错.二次函数y=πx2呢？

生17：a=π，b=0，c=0.

师：好的.在y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）中，为什么要规定a≠0？为什么不规定b和c也必须不为零？

生18：若a=0，则它不是二次函数.当a≠0时，b=0或c= 0，它是二次函数.

师：好的.获得二次函数概念经历了哪几个步骤？

生19：从实际问题中抽象出研究对象→观察对象的个体特征→归纳对象的共同特征→抽象对象的本质特征→用文字和符号定义与表示二次函数.

师：好的.在这个过程中体现了抽象思想、归纳思想、符号表示思想等.

师：二次函数与一元二次方程有何区别与联系？

生20：二次函数刻画的是变量之间的变化关系；一元二次方程刻画的是常量之间的相等关系.二次函数的一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0），而一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）.

师：非常好.它们都是描述现实世界数量关系的重要数学模型.

环节3：参与尝试概念应用的活动——合作解答有代表性问题

师：现在请大家合作解答下列问题.

题2：如图1，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设AE=BF=CG=DH=x（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2）.问：（1）y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围分别是什么？（2）当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，对应四边形EFGH的面积分别是多少？（建议小组成员分工合作）

（约5分钟后）

师：谁来解答（1）？

图1　

师：不错.这就是说所求函数是y=2x2-4x+4（0

师：确定实际问题自变量取值范围有何经验？

生22：既要考虑使函数关系式有意义，还要注意问题的实际意义.

师：不错.谁来回答（2）？

生23：计算结果如表1：

表1　

师：好的.请大家课后思考：表1中的数据有何特点？

师：解决这个问题经历了哪几个步骤？

生24：分析→列式→求值.

师：不错.下面请大家再解答下列问题.

题3：已知二次函数y=x2+bx+c，当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5.问：（1）这个二次函数的表达式是什么？（2）当x=-3时，y=？

（约3分钟后）

师：谁来解答（1）？

生25：把x=1，y=4；x=2，y=-5分别代入函数式y=x2+ bx+c，得方程组解这个方程组，得所求二次函数的表达式是y=x2-12x+15.

师：好的.谁来解答（2）？

生26：当x=-3时，y=60.

师：好的.求这个函数关系式的策略与方法分别是什么？

生27：策略：把函数问题转化为方程问题.方法：待定系数法.

师：好的.函数问题转化为方程问题的策略和用待定系数法求函数表达式的方法以后会经常用到.确定二次函数y=ax2+bx+c中的a，b，c需要几个条件？

生28：需要3个条件.

师：不错.由于本题a=1是已知条件，所以只要2个条件就够了.

师：问题（2）求函数表达式与问题（3）求函数表达式有何不同？

生29：问题（2）函数类型未知，需要根据题目的条件列函数关系式.问题（3）函数类型已知，可用待定系数法求函数表达式.

师：好的.这两种题型以后会经常遇到.下面请大家完成课本中的练习题.

（待学生完成任务后，教师组织学生交互反馈与评价）

环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

（1）本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？

（2）何谓二次函数？定义二次函数经历了哪几个步骤？

（3）二次函数与一元二次方程有何区别？

（4）求二次函数表达式有何经验？

（5）你在学习过程中有何感触？你认为还应该研究什么？

其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师边倾听、边评价.

最后，教师让学生欣赏二次函数的自述.（略）

三、教学分析

过程教育不是偏面强调过程，而是根据数学结果的地位与作用，以及获得数学结果的过程和所蕴含的数学思想的价值适度关注过程，以全面发挥数学的育人功能.“二次函数”是系统研究函数的继续——从函数、一次函数、反比例函数到二次函数.它也是刻画现实世界数量变化关系的重要数学模型，研究二次函数的思想方法具有普适性.从现实情境中抽象出二次函数的过程和所蕴含的生活常识、抽象思想等；定义二次函数的过程和所蕴含的归纳思想、符号表示思想等；用二次函数解答有代表性问题的过程和所蕴含的解题策略、方法和技巧等.这些对发展学生智力、能力和个性有积极影响.目前在该课的教学中普遍存在获得概念的认知过程短暂和获得概念及解决问题之后反思过程缺失的问题，导致学生对二次函数的认识没有达到一定的“深度”和“宽度”，也不能满足学生感悟思想、积累经验和发展能力和个性的需要.

本课例根据“二次函数”的地位与作用及其蕴含的教育价值，将其教学立意于过程教育，并以有代表性的问题为载体，从学生已有的知识与经验出发，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，引导学生经历完整的认知过程.在“产生具体二次函数”的教学中，既有回顾与提出问题的过程，以激发学生的学习兴趣，又有“审题→分析→列式→解答”的过程，以产生具体二次函数，也有解决问题之后的反思，以及回顾利用函数解决问题的思维过程和感悟二次函数有丰富情景.尽管产生二次函数有多种方法，但教材采用的是从生活实例中抽象出二次函数的方法.事实上，这种方法更有利于学生体会二次函数的意义.在“定义二次函数”的教学中，既有“观察→归纳→抽象→定义与表示”的过程，以获得二次函数概念，又有获得概念之后的反思，以加深认识二次函数，感悟其蕴含的思维和思想及二次函数与一元二次方程的区别与联系.在“解决有代表问题”的教学中，既有“分析→列式→求解”的过程，以解决给定的求函数表达式问题，又有解决问题之后的反思，以明确求二次函数表达式有两种题型.

参与研修的教师普遍认为，本课例虽没有高深别致的题型，也没有跌宕起伏的情节，更没有热闹非凡的场面，但通过“设疑、解疑、质疑”，引导学生经历了实质性思维过程，体现了统筹兼顾过程与结果的理念.因此，一般地，处于归纳层次的概念教学要经历“用适当的方法提出问题→用适当的方法产生对象→观察对象的个体特征→归纳对象的共同特征→抽象对象的本质特征→定义与表示对象→反思其蕴含的思维与思想→解决有代表性问题”的过程，并在认知过程中要留给学生自主思考与实践的时间和合作交流的机会，以体现过程教育和以学为中心思想，促使学生对概念的认识达到一定的“深度”和“宽度”，促使学生学会主动提出问题，独立思考问题，合作探究问题，以及养成敢于质疑、善于表达、认真倾听、勇于评价和不断反思的良好品质和习惯.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.范良火.义务教育教科书·数学（九年级上册）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.