例说“裂项相消法”求和

林嘉慧

（龙岩市高级中学，福建龙岩364000）

例说“裂项相消法”求和

林嘉慧

（龙岩市高级中学，福建龙岩364000）

通过实例对数列中常用的“裂项相消法”进行如下分类解说：利用分式的基本性质裂项；利用分母有理化的方法裂项；利用排列数与组合数的性质裂项；利用指数幂与对数的运算法则裂项；利用三角公式进行裂项；利用抽象函数的定义裂项。

数列；裂项；相消

有些数列的前n项和，可以从通项出发，把数列的各项分裂为两项的差的形式，使得相加后抵消绝对值相等而符号相反的项，从而达到求和的目的，这种方法叫裂项相消法。

裂项相消法是数列求和的通法，是一种重要而灵活的思维方式，不过对于一些数列而言，“裂项”是个难点，它没有固定的模式，不易直接看出裂项的手段，这时就需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思和创造性的思维等能力，找出通项的特点，研究其结构规律，找出裂项的途径，达到求和的目的。

本文就裂项相消法的常见手段和求解方法例说如下：

一、利用分式的基本性质裂项

评析：从上例可以看出，分子是常数，分母是等差数列连续两项或几项连乘之积的通项，可利用分式的基本性质裂项，其解题技巧是先减后除公差。常见的裂项方法有：

二、利用分母有理化的方法裂项

评析：①本题的关键是通过分母有理化把通项的分母都变成常数2，从而达到裂项求和的目的.

②消去若干项后，前后剩的项要一样多，剩的正项和负项也一样多。要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。常见的裂项方法有：

三、利用排列数与组合数的性质裂项

例4.求数列1！·1，2！·2，3！·3，……，n！· n，……的前n项和.

解：∵n！·n=（n+1-1）！·n=（n+1）！-n！，

∴Sn=2！-1！+3！-2！+4！-3！+…+（n+1）！-n！=（n+1）！-1.

评析：利用阶乘的运算法则与组合数的性质实施裂项，可以把复杂问题简单化，达到求和的目的。

四、利用指数幂与对数的运算法则裂项

评析：本题是一差比数列，通常可用错位相减法求和，但也可以用指数幂的运算法则，达到裂项求和的目的。

例9.已知数列｛an｝中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）.令bn

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；

评析：本题（2）利用指数幂的运算法则把问题转化成可以裂项的形式，这是证明数列不等式的一种途径。

五、利用三角公式进行裂项

裂项法求和是近几年高考的热点，试题设计年年有变、有创新，但变的仅仅是试题的外壳，有效地实现化归是解题的关键。

评析：本题利用两角差正弦公式的逆用，创设了裂项求和的情景，快速求和。有效地训练了学生综合应用知识解决问题的能力。

六、利用抽象函数的定义裂项

例11.若函数f（x）满足：f（1）=2，f（n+1）=f2

例12.定义在（-1，1）上的函数f（x）满足①对任意x，y∈（-1，1）都有）.②x∈（=1，0）时，有f（x）＞0，

（1）判定f（x）在（-1，1）上的奇偶性；

（2）判定f（x）在（-1，1）上的单调性；

评析：以上两例的解题关键在于挖掘抽象函数的特征，利用抽象函数的定义进行裂项，解法综合性较强，要解决这类复杂问题的关键是要善于联想善于分析问题和转化问题，做到化繁为简、化难为易。

一个庞大繁杂的求和式子，经过裂项相消后可化为简单的结果，数学教育家张奠宙说过：“中学数学教学不能只满足于对数学美的论述，更重要的是如何在数学教学中展现数学美，使学生能够感受和欣赏数学美，把数学的美育功能真正落实在数学课堂上。”教师在课堂上有意识地让学生体会欣赏裂项相消法中蕴涵的数学美，让学生积极主动地参与，抓住通项的结构特征，寻求突破，学会裂项相消这种题型的解决策略，对提高学生的数学解题能力与审美情趣都是很有益的。

［1］朱月祥.裂项相消法的妙用与本质［J］.教育研究与评论，2014（11）.

［2］彭家麒.高考数列中裂项求和的模型［J］.上海中学数学，2014（10）.

［3］王晶晶.裂项相消魅力无穷［J］.高中数学教与学，2014（19）.

（责任编辑：王钦敏）