充分发挥技术作用 发展学生的数学核心素养

黄炳锋

（福州第三中学，福建福州350001）

充分发挥技术作用 发展学生的数学核心素养

黄炳锋

（福州第三中学，福建福州350001）

融合技术与发展数学核心素养是本轮课程改革的亮点.数学核心素养从本质看与技术密切相关，为了全面落实立德树人的根本任务，深入挖掘数学学科的育人价值，形成并发展学生的数学核心素养，应充分发挥技术的六大作用.本文结合实际教学的案例进行阐述和论证。

数学；核心素养；技术

新一轮的课程改革即将开始，最新修订的《普通高中数学课程标准》也处于调研征询意见状态。可以看出，本轮课程改革依据国家“立德树人”的要求进行课程设计，深入挖掘数学学科的育人价值，提出的数学课程的核心目标“形成和发展以数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析为要素的数学核心素养”将成为亮点。“数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力，是数学知识、技能、思想、经验及情感、态度、价值观的综合体现”，数学核心素养中的数学建模、数学运算、数据分析、直观想象本质上就是技术素养；数学抽象、逻辑推理也与技术密切相关，因此教师要重视技术对于数学核心素养形成的作用，研究如何充分发挥技术的作用来发展数学的核心素养。

一、用技术建构数学概念、发现数学结论，发展数学抽象、直观想象素养

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。数学抽象既是数学思维的特征，也与数学的抽象特性密切相关，表现在数学概念和规则、数学命题和模型、数学方法和思想、数学结构和体系等方面形成过程，发展数学抽象素养的困难在于数学研究对象的属性概括，因此需要技术为建构数学概念而提供大量的例证。

例如，关于指数函数的性质，以往我们常常通过概括函数y=2x与y=（）x的性质获得一般结论，这对于学生来说既困难也不现实，尤其对于函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的单调性的判断，学生很难自发形成底数a的分类并进行正确划分，原因之一就是缺乏大量的例证。如果在教学中引进技术，选取底数a（a＞0，且a≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的函数图象，学生即可观察发现这些图象的共同特征，从而抽象出底数a对函数单调性的影响，得到指数函数的性质，如图所示。

直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题。直观想象是发现数学结论和解决数学问题的重要素养，表现在能利用图形探索和解决数学问题，构建数学问题的直观模型，发展直观想象素养的困难在于建立数与形的联系，尤其是由数到形的转变，而将数与形紧密结合正是技术的优势。因此，可以发挥技术的可视化与多元联系的特点，在数表与图形、解析式与图象的便捷转化中，发展直观想象素养。

例如，设a∈R，若x＞0时均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，则a=______.

本例以代数形式呈现了一个不等式恒成立的问题，正确解题的方法是将原不等式等价转化为以下两种情况

然后构造函数f（x）=（a-1）x-1和g（x）=x2-ax-1，在同一平面直角坐标系下作出图象，并结合函数图象直观分析进行求解.因为f（0）=g（0）=-1，所以两个函数图象与y轴交于同一个点，可知不等式［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0在x＞0时恒成立，当且仅当两个函数的图象的另一个交点在x轴上，由f（x）=0，解得x=，再由g）=0，解得a =.

解答本题的困难在于自发地形成代数式与函数图象的关联，用技术可以化“抽象”为直观，因此借助技术的帮助可以轻松实现“以形助数”.在此求解过程中，由于呈现了思维的层次，形成了化归与转化的“自觉”，所以可以在联系与转化中，发展学生的直观想象素养。

二、用技术突破学习难点、改进教学方式，发展逻辑推理、数学运算素养

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。表现在发现和提出命题，掌握推理的基本形式和规则，探索和表述论证的过程，构建命题体系，表达与交流等方面。

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题。表现在理解运算对象，掌握运算法则，探索运算思路，设计运算程序等方面。

逻辑推理与运算求解是中学数学要求培养的关键能力，是知识、技能、思想方法及基本策略的综合体现。形成和发展逻辑推理、数学运算素养，需要学生一定量的技能训练，可能有人认为这些训练与技术无关，甚至以为技术会降低推理与运算要求，弱化运算训练，因而起了反作用，这是错误的。事实上，便捷快速的计算机代数系统可以轻易对代数式进行组合变形与分解变形，从而能帮助学生分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序，以及在遇到障碍时进行运算调整等，不仅提高数学运算的思维能力，同时还能提供大量例证为归纳推理佐证；同样，精细准确的图像处理系统不仅可以化抽象为形象，突破学习难点，还可以检验运算结果，促成探索并形成类比推理；此外，在学习过程中引进交互工具，学生还可以检测计算结果、修正逻辑判断、即时发布信息等。可以说，在形成和发展逻辑推理、数学运算素养方面，技术不仅提供了可供训练思维能力的学习内容、方法和手段，也为共享、表达和交流思维过程提供了方法和手段。

例如，已知a＞0，且a≠1，求关于x的方程ax=lo gax有实数根时a的取值范围.

这类问题我们一般将方程有实数根转化为函数f（x）=ax-lo gax有零点进行求解，但往往因为问题的复杂性与求解方向不清，使得求解过程困难重重，或因逻辑推理出错造成判断失误。此时如果引进技术，即可简捷提供函数y=ax与y=lo gax的图象，展示a的改变对图象的影响，获得感性认识和分类的标准，并将a＞1时的情况归结为直线y=x与曲线y=lo gax相切的特殊位置的处理，然后在理解运算对象的基础上，回到函数f（x）的研究，应用正确的运算方法和严谨的逻辑推理进行解答。

容易发现当0＜a＜1时，函数y=ax和y=lo gax的图象有公共点（事实上，还可以用技术进一步探明有些情况下还不止一个公共点），相应的运算求解过程如下：

当0＜a＜1时，f（a）=aa-1＜0，f（1）=a＞0，所以f（a）·f（1）＜0.

又因为f（x）在［a，1］上连续，所以存在ξ∈（a，1），使得f（ξ）=0，即aξ=lo gaξ，

因此当0＜a＜1时，方程ax=lo gax有实数根.

当a＞1时，因为函数y=ax与y=lo gax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以只要研究曲线y=lo gax与直线y=x相切的情形，即可找到方程有实数根时a的临界值，再结合图形分析，进一步得到a的取值范围.

现设直线y=x与曲线y=lo gax相切，且切点为

x0，y0alogae=e，所以lna=，解得a=.

以下证明当1＜a≤e1e时，函数f（x）有零点.

事实上，此时有ae≤（）e=e，lo gae≥loe=e，可得f（e）=ae-lo gae≤0，又由于f（1）=a＞0，所以有f（e）·f（1）＜0，根据零点存在定理可证.

本例在求解过程中遇到困难，用技术突破难点理清了障碍，使我们确定解题方向，从而引发思考，可见技术的作用已经不再局限于问题的直观展示，而成为进一步思考的助推器。毋庸置疑，随着时代进步，多项革新技术正在为学生学习、交流与讨论提供开放和清晰的过程，智慧课堂、微视频教学为学生提供了多样学习、个性化学习的可能，技术的广泛使用已使传统的、单一的教学方式得以改进，数学核心素养得以发展。

三、用技术培养数学表达，传播数学技术，发展数学建模、数据分析素养

数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程。表现为发现和提出问题，建立模型，求解模型，检验结果和完善模型等过程。

数学建模首先要把实际问题转化为数学问题，所以需要将实际问题抽象概括出数学模型的结构形式，其困难在于数据处理、过程模拟和分析求解，因此，数学建模需要数学表达和技术支持，并与数学技术密切相关。

数据分析是指从数据中获得有用信息，形成知识。表现在数据获取，数据分析和知识构建。数据分析也与数学技术密切相关，随着大数据时代的到来，人们已经开始从数据中获取越来越多有用的信息甚至是对未来的洞见，也将越来越认识到“因果关系与相关关系”是同等重要的，数据分析以现实与未来的需要为表征，以传播数学技术为指向，成为数学育人的核心素养。发展数据分析素养的困难在于数据收集整理、数字特征分析等繁难的过程。技术以其强大的数据收集与记录功能、内置的数据分析与模块化程序，帮助学生解决庞杂的数据处理，而给学生腾出时间用于理解概念、掌握回归方法，并在获取信息，形成知识中发展数据分析素养。

例如，在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度，结果如下（单位：mm）：

我们可以借助技术作出这个样本的频率分布直方图，并且可以用几种不同的分组方式对样本数据进行分组，从中体验合适的分组方法的确定。此外还可以用统计命令进行各种统计量的分析，从数学技术的角度获得这批棉花的质量状况等信息。尽管本例所用技术只是为了数据处理，但由于操作过程简捷，收集信息丰富，所以能极大便利地认识数据作用，养成使用数据的意识，并形成相关知识，有利于发展数学核心素养。

2014年，教育部在《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中再次提出“充分利用现代信息技术手段，改进教学方式，适应学生个性化学习需求”的要求，可以预见，为了树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识，并将数学核心素养的培养贯穿于数学教学活动的全过程，需要充分发挥技术的力量。技术融入形成与发展数学核心素养的教学过程，必将成为课程改革的新形式、新亮点、新趋势。

［1］洪燕君，周九诗，王尚志，鲍建生.普通高中数学课程标准（修订稿）的意见征询——访谈张奠宙先生［J］.数学教育学报，2015（3）.

［2］马云鹏.关于数学核心素养的几个问题［J］.课程·教材·教法，2015（9）.

［3］黄炳锋.指尖数学——融合手持技术的教学创新［M］.福州：福建教育出版社，2016.

（责任编辑：王钦敏）