卫星变轨在转移轨道近地点的动力学分析

耿伟

同步卫星发射通常先发射到停泊轨道，调整稳定成圆轨道后，再在预定地点启动火箭助推发动机，使卫星加速.这一过程时间较短，当速度增大到一个预设值，即关闭发动机.卫星将做离心运动，轨道半径不断变大.由于引力性质，卫星之后的运动轨道将是一椭圆，称之为转移轨道，关闭发动机后的卫星位置将是椭圆轨道的近地点，远地点在设计的卫星运行的圆形轨道上，关闭发动机时卫星速度的预设值即是满足远地点的要求.再经调控稳定后，在远地点再次开启发动机，使卫星加速到运行轨道所要求的速度.示意图如图1所示.

以下简称停泊轨道为1，转移轨道为2，运行轨道为3.

在变轨问题中有一个概念容易混淆，即卫星由轨道1上的A点，经短时加速后而转为沿轨道2运动，通常认为卫星经加速后，向心力增大，卫星在该点受到的万有引力不满足要求，因而做离心运动.另一观点认为卫星在该点仍能满足向心力，只是该向心力不是轨道1的半径，而是椭圆顶点的曲率圆半径，该半径要比轨道1的半径大.现就这一问题做一探讨，以及进一步讨论椭圆的其它位置的向心力问题.

1椭圆长短轴顶点处的曲率半径

设椭圆的半长轴为a，半短轴为b.由数学知识可求，椭圆在长轴交点处的曲率半径为R1=b2a，该半径是椭圆中最小的半径；与半短轴交点的曲率半径R2最大，R2=a2b.

由于数学求解较为复杂，现从物理的途径加以证明.

如图2，设一质点在一与水平面成α的斜面上，沿半径为R的圆做匀速圆周运动，速度大小为v，圆在水平面上的投影即为一椭圆，椭圆长轴平行于斜面底边，半长轴大小a=R，短轴与斜面底边垂直，大小b=Rcosα.质点投影在椭圆上的动点做变速率运动.在与长轴交点处的速率为va=vcosα，方向垂直于底边，即认为被压缩；在与短轴交点处的速度平行底边，速率仍为vb=v0.同理，在与长轴交点处的向心加速度与底边平行，不被压缩，跟沿斜面圆运动的向心加速度相同，

由此看出a、b、c和e都是仅与L和R有关的量，一旦L给定，各量均唯一确定.用图来说明，即图5中不可能是离心率更大的虚线轨道1和离心率更小的轨道2.

这一点与从物理角度论证是吻合的，在接下来的论述中可以看到.

3卫星所受地球引力与各点所需向心力关系

回到文首，讨论卫星开始沿椭圆轨道所受引力与所需向心力问题.按第一种观点是显而易见的，卫星不再沿原轨道1运动，是因为加速后所需向心力增大，引力不满足要求，所以做离心运动.而第二种观点认为，在近地点，引力恰满足卫星所需的向心力，只是该处的曲率半径由椭圆的数学性质决定的，即上面给出的r长=b2a.将a、b分别代入得r长=2LRL+R.

卫星在长轴顶点需要的向心力

F向1=mv21r长=m·L+R2LR·2GM·L（L+R）R

=GMmR2，

这恰好等于卫星在近地点受的地球引力.因而，第二种观点也是正确的.其实由数学给出椭圆各点的曲率半径，与物理动力学理论的高度统一并非偶然，而是一种必然的结果.这一点还可以从其它各点的动力学分析得验证.

3.1远地点卫星受到的引力恰满足需要的向心力

（由上面推导知b2a=2RL（L+R）），这一结果恰是卫星所受引力沿短轴方向的分力，另一分力改变速度的大小.

由此不难理解，无论椭圆上的哪一点（甚至任何曲线），都有对应的相同曲率的圆，该圆的半径就是曲

线上该点的曲率半径.从物理的角度看，一个动质点沿曲线运动，在任何一点必须满足实际运动所需要的向心力，这就是物理动力学理论与数学知识一致的必然性.

综合以上分析，卫星在转移轨道的近地点的动力学问题所给的两种观点，从实际效果看，无论是不满足原来的轨迹圆做离心运动，还是沿一个半径更大的圆运动，后一种并不能得到引力的维持，仅在近地点满足，其结果都说明轨迹是半径不断增大的曲线，而这个曲线正是椭圆.