各类曲线弯曲程度的探究

周易敏

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）19-106-02

一、引言

曲线在人们的生活中随处可见，同时在人们的学习和工作中随时都要面临解决各类曲线的问题.曲率用来描述曲线的弯曲程度.曲线的曲率就是曲线上某点的切线方向角对弧长的旋转速度.通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度.曲率越大，曲线的弯曲程度就越大.曲率在射影几何当中也有着非常重要的作用.了解曲率就要建立在认识Frenet标架中的三点三线三向量的前提下进行.本文分别给出了各类曲率的基本概念，几何意义和计算公式，并且对不同曲率关系进行了讨论，给出了它们之間的区别和联系，使我们在对曲率的学习中对曲线和曲面有深一步的认识.

二、曲线论中曲线的曲率

1、曲率的定义

我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同.为了衡量单位切向方向的变化率，需要将曲线上“动点的运动速率”进行统一规定.自然的想法是利用弧长参数化，考虑单位切向及其方向对于弧长的变化率.

要从直观的基础上引入曲率的确切的定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段的平均弯曲程度可取为曲线在两端点间切向量关于弧长的平均旋转角.所以我们用空间曲线在一点处的切向量对于弧长的旋转速度来定义曲线在这一点的曲率.

四、结束语

本篇论文主要通过分两大版块，曲线论和曲面论，来分别介绍各大曲率的由来，基本定义以及计算公式.并且对每个曲率的几何意义进行了研究，给出了一些在特殊情况下曲率的特殊结论和性质.通过对一些常用的或者说是特殊的曲线和曲面进行了单独分析和计算，以例题的形式导出了它们的各个曲率的值.并且把曲率和内蕴量联系在一起，分析了曲率的内蕴性质.对我们日后微分几何的学习有一定的帮助.