恒成立一元二次不等式中参数范围的求解策略

四川省资阳市外国语实验学校　(641300)

谢　勇



恒成立一元二次不等式中参数范围的求解策略

四川省资阳市外国语实验学校(641300)

谢勇

含参成立性问题是以含有参数的等式或不等式为载体、以求解参数的取值范围为目的的一类题型，此类问题是历年高考命题的热点，而含参一元二次不等式恒成立问题更是近几年高考常考题型.新课标高中数学加强了函数与方程、不等式间的联系，从中学数学知识体系来看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式等都与函数知识有直接的联系.本文结合实例介绍参数在一元二次不等式的不同位置进行分类研究，体现“等价转化”与“数形结合”思想的灵活运用.

类型一、参数在常数项

例1关于x的不等式x2-2x+a>0在R上恒成立，求实数a的取值范围.

解析:(法一)分离参数

由题意可知，a>-x2+2x在R上恒成立，所以a>(-x2+2x)max.令h(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1，又因x∈R，所以h(x)max=1，所以a>1.

评注:分离参数得到a>h(x)在区间D上恒成立，即只需a>h(x)max，此思路将含有参数的不等式恒成立问题转化为不含参数的函数最值问题.

(法二)转化为不等式所对应的函数问题

设f(x)=x2-2x+a，故要使得f(x)>0在R上恒成立，只需判别式Δ<0，即4-4a<0，解得a>1.

评注:此思路构造函数将含参不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，有时需要结合参数的位置进行分类讨论.

变式关于x的不等式x2-2x+a<0在[0，3]上恒成立，求实数a的取值范围.

解析:(法一)分离参数

由题意可知，a<-x2+2x在[0，3]上恒成立，所以a<(-x2+2x)min.令h(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1，其中x∈[0，3]，易知h(x)min=h(3)=-3，因此a<-3.

(法二)转化为不等式所对应的函数问题

设f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1，故要使得f(x)<0在[0，3]上恒成立，只需f(x)max=f(3)=3+a<0，解得a<-3.

类型二、参数在一次项

例2关于x的不等式x2-ax+1>0在(0，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

解析:(法一)分离参数

评注:分离参数得到a

(法二)转化为不等式所对应的函数问题

评注:此题构造了含参二次函数，配方后涉及到“轴动区间定”问题的分类讨论，可通过作图从形上理解分类讨论的原因.

类型三、参数在二次项

例3关于x的不等式ax2-2x-1<0在R上恒成立，求实数a的取值范围.

解析:(法一)分离参数

(法二)转化为不等式所对应的函数问题

设f(x)=ax2-2x-1，当a=0时，f(x)=2x-1，显然不合题意；当a≠0时，

评注:此题构造的含参二次函数中二次项系数含参数a，需要讨论a=0和a≠0两种情况.

类型四、参数在一次项和常数项

例4关于x的不等式x2-ax+3-a>0在(-1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

解析:(法一)分离参数

因为关于x的不等式x2-ax+3-a>0在

(法二)转化为不等式所对应的函数问题

解得a<2.

类型五、参数在二次项和常数项

例5关于x的不等式ax2-4x+a>0在R上恒成立，求实数a的取值范围.

解析:(法一)分离参数

(法二)转化为不等式所对应的函数问题

设f(x)=ax2-4x+a.当a=0时，显然f(x)=-4x不恒大于0；当a≠0时，

评注:此题构造的含参二次函数中二次项系数含参数a，需要讨论a=0和a≠0两种情况.

类型六、参数在二次项和一次项

例6关于x的不等式ax2+ax+1>0在[1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

解析:(法一)分离参数

因为关于x的不等式ax2+ax+1>0在[1，

(法二)转化为不等式所对应的函数问题

类型七、参数在二次项、一次项和常数项

例7关于x的不等式ax2-ax+a-3>0在R上恒成立，求实数a的取值范围.

解析:(法一)分离参数

(法二)转化为不等式所对应的函数问题

设f(x)=ax2-ax+a-3.当a=0时，f(x)=-3显然不合题意；当a≠0时，

数学的复杂性在于问题的千变万化，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性强，这就要求我们要以不变应万变，在解题过程中，应根据具体的题设条件，观察题目中不等式的结构特征，从不同角度与方向加以分析探讨，从而选择恰当的方法快速而准确地解决.特别需要注意的是，各种方法之间并不是彼此孤立的，而是几种方法的融合.因此，系统地掌握参数问题的常规解题方法，对培养学生分析解决问题的能力大有裨益.