标准算子代数上完全保立方零元的可加映射

刘艳晓，路召飞，吴增良，黄 丽

（1.太原科技大学应用科学学院，太原　030024；2.安徽省萧县中学，安徽萧县　235200）

标准算子代数上完全保立方零元的可加映射

刘艳晓1，路召飞2，吴增良2，黄 丽1

（1.太原科技大学应用科学学院，太原030024；2.安徽省萧县中学，安徽萧县235200）

引用对Banach空间上的一秩幂等元集上双边保Jordan三重零积的满射的刻画，得到了实或复无限维Banach空间上的标准算子代数之间完全保持立方零元的可加满射的具体结构形式，进而证明了这样的映射是同构或者（复情形下）共轭同构。

标准算子代数；完全保持；立方零元；可加映射

近些年来，众多学者以某种特定的性质、子集或关系等作为不变量，深入的研究了算子代数或算子空间上保持这些不变量映射的刻画问题。研究结果显示，在很多情况下，这样的映射要么是代数同态，要么是代数反同态，由此也得到了算子代数的一些代数或几何结构性质［1］。2010年，侯晋川和黄丽［2］两位学者在无限维Banach空间上，探讨了标准算子代数之间完全保持幂等元以及完全保持平方零元的映射问题，同时也提出了研究保持问题的一种新方法——完全保持问题。尽管目前完全保持问题的研究成果还不是很多（见文献［3-9］），但是完全保持问题能更有助于反映同态映射的本质。因此，这需要我们寻找更多的不变量，继续深入探讨，为算子结构的分类提供更多的依据。

令X、Y表示实或复数域上的无限维Banach空间。X上的标准算子代数是指：B（X）中包含所有有限秩算子和单位算子的闭子代数，用表示。B（X）上的所有幂等元集合和秩一幂等元集合分别用P和I1（X）表示。对任意的P，Q∈P，若PQ=QP=0，则称P与Q正交。X*表示X的对偶空间。对任意的x∈X，f∈X*，x⊗f表示由y→（y，f）x定义的一秩算子。

若T3=0，则称T是立方零元。设Φ∶→是一个映射，若T3=0⇔Φ（T3）=0，则称Φ双边保持立方零元。本文以立方零元作为完全保持问题的一个不变量，给出了标准算子代数之间保持该不变量映射的具体结构形式。即定义映射Φn∶⊗Mn（F）→⊗Mn（F）为Φn（（sij）n×n）=（Φ（sij））n×n，∀n∈N.若Φn保持立方零元，则称Φ是n-保立方零元的；若对每一个n∈N，Φ都是n-保立方零元的，则称Φ是完全保立方零元的。

1　主要结果及其证明

为证明主要结果，需要给出下面的引理，它是文献［10］中定理2.2的一个推广。

引理 设X是数域F（或）上无限维Banach空间，Φ∶I1（X）→I1（Y）是满射且满足PQP=0⇔Φ（P）Φ（Q）Φ（P）=0，∀P，Q∈I1（X），则下列叙述之一成立：

（Ⅰ）存在一个有界可逆线性或（复情形）共轭线性算子A∶Y→Y使得：

（Ⅱ）存在一个有界可逆线性或（复情形）共轭线性算子A∶X*→Y使得：

这里X，Y自反。

证明：由文献［10］定理2.2的证明可知，在秩一幂等元集上，Φ双边保Jordan三重零积⇔Φ双边保正交性。由文献［11］可知，Φ双边保正交性⇔Φ双边保序。因此Φ是一个I1（X）上双边保正交的双射。取任意的P∈I1（X），下证Φ（P）∈I1（X）.假设rank（Φ（P））≥2，则存在0≠R∈I1（X），使得R≤Φ（P）.由Φ得满射性，可以找到Q∈I（X），使得R=Φ（Q）.因此有Φ（Q）≤Φ（P），即Q≤P.又因为P∈I1（X），所以Q=P或0，即R=Φ（P）或0，矛盾。因此Φ（P）∈I1（X）.

反之，对于任意Φ（P）∈I1（X），假设P∉I1（X），则存在一个Q∈I1（X），使得Q≤P，显然Q≠P且Q≠0.由Φ双边保序，有Φ（Q）≤Φ（P），即有Φ（Q）=Φ（P）或Φ（Q）=0，这与Φ是单射矛盾。因此Φ双边保秩一幂等元。

因此，由文献［10］中的定理2.2可得Φ具有引理的形式。证毕。

下面陈述本文的主要结果。

（1）映射Φ双边完全保立方零元；

（2）映射Φ双边2-保立方零元；

（3）存在一个有界可逆线性或（复情形）共轭线性算子A∶X→Y使得：

证明：因为（3）⇒（1）⇒（2）是显然的，故只需证明（2）⇒（3）.

以下假设Φ是保单位、双边保序且双边2-保立方零元的可加满射。

断言1：Φ是单射。

断言2：Φ双边保幂等元，并且Φ双边保秩一幂等元。

如果T=T2对于∀T∈成立，则可得Φ2（T）=Φ（T）；反之，若Φ2（T）=Φ（T），则Φ2（T）=Φ（T2）=Φ（T），又由Φ是单射性，因此可得T=T2.

因此，Φ双边保幂等元。显然，Φ也双边保秩一幂等元。

断言3：存在一个有界可逆线性或（复情形）共轭线性算子A∶X→Y使得Φ（P）=APA-1对于任意的P∈I1（X）成立。

因此，Φ（P）=APA-1对于任意的P∈I1（X）成立，即断言3成立。

令Ψ（·）=A-1Φ（·）A，则Ψ是→A-1A的双射。容易验证Ψ2双边保立方零元。不失一般性，以下我们可以假设Φ（P）=P，∀P∈I1（X）.

断言4：对于任意的秩一算子x⊗f，存在λx⊗f∈F｛0｝，使得Φ（x⊗f）=λx⊗fx⊗f.

［1］ 侯晋川，崔建莲.算子代数上线性映射引论［M］.北京：科学出版社，2002.

［2］ HOU J，HUANG L.Maps completely preserving idempotents and maps completely preserving square-zero operators［J］.Israel Journal of Mathematics，2010，176（1）：363-380.

［3］ HOU J，HUANG L.Characterizing isomorphisms in terms of completely preserving invertibility or spectrum［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2009，359（1）：81-87.

［4］ HUANG L，LIU Y.Maps completely preserving commutativity and maps completely preserving Jordan zero-product［J］.Linear Algebra and Its Applications，2014，462（12）：233-249.

［5］ 路召飞，黄丽，殷雪剑.B（H）上完全保立方幂零算子的可加映射［J］.纺织高校基础科学学报，2011，24（2）：201-202.

［6］ 黄丽，刘敏.标准算子代数上完全保对合性的可加映射［J］.数学的实践与认识，2012，24（10）：156-162.

［7］ 刘敏，黄丽，李俊林.一秩元集上完全保反对合性的可加映射［J］.太原科技大学学报，2012，33（1）：62-65.

［8］ 黄丽，侯晋川.标准算子代数上完全保可逆性或零因子的映射［J］.山西大学学报：自然科学版，2009，32（1）：5-8.

［9］ 黄丽，路召飞，李俊林.标准算子代数上完全保斜幂等性的可加映射［J］.中北大学学报，自然科学版，2011，32（1）：71-73.

［10］ DOBOVIŠEK M，KUZMA B，LEŠNJAK G，et al.Mappings that preserve pairs of operators with zero triple Jordan product［J］. Linear Algebra Applications，2007，426：255-279.

［11］ ŠEMRL P.Maps on idempotents［J］.Studia Math，2005，169：21-44.

Additive Maps Completely Preserving Cube-zero Operators
on Standard Operator Algebras

LIU Yan-xiao1，LU Zhao-fei2，WU Zeng-Liang2，HUANG Li1
（1.Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China；2.Xiaoxian Secondany School of Anhui Province，Anhui Xiaoxian 235200，China）

By characterizing the surjective maps preserving the zero triple Jordan product in both directions on the set of all rank-one idempotents of a Banach space，we obtain the characterization of additive surjections completely preserving cube-zero operators on standard operator algebras on infinite dimensional real or complex Banach spaces，and then prove that the maps are either an isomorphism or（in the complex case）a conjugate isomorphism.

standard operator algebras，complete preservers，cube-zero operators，additive maps

O177.1

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2016.02.016

1673-2057（2016）02-0159-04

2015-05-14

太原科技大学校博士科研启动基金项目（20082024）

刘艳晓（1990-），女，硕士，主要研究方向为图论及泛函分析。