装载过程中提升钢丝绳的纵向振动特性

王 则，赵子龙，杨晓辉，田雪坤

（太原科技大学应用科学学院，太原　030024）

装载过程中提升钢丝绳的纵向振动特性

王 则，赵子龙，杨晓辉，田雪坤

（太原科技大学应用科学学院，太原030024）

利用变质量非完整系统的哈密顿原理，建立了装载过程中钢丝绳纵向振动的力学模型，并推导出其纵向振动微分方程和频率方程。在此基础上，计算了系统的固有频率、钢丝绳振动位移、振动速度和动张力，同时研究了装载方式对钢丝绳振动响应的影响。研究结果表明：随着装载进行，系统第一阶固有频率变化最大，钢丝绳末端的振动位移和动张力以波动的形式逐渐增加。同时计算表明，使用装载流量逐渐增加的装载方式更加合理。

钢丝绳；变质量；装载；纵向振动

钢丝绳断绳事故主要发生在加速、制动以及装载等过程中。在装载过程中，钢丝绳提升系统为变质量的振动系统，动态特性变得非常复杂。许多的学者对变质量的振动系统进行了大量的研究。文献［1］对变质量质点单自由度系统的振动特性进行了研究，得到了变质量系统频率、幅值等特性。文献［2］将提升钢丝绳简化为单自由度系统，对箕斗装载时振动的位移、速度和钢丝绳张力进行了分析。文献［3］将钢丝绳看作连续弹性体，研究了运行过程中提升系统的振动特性。文献［4］将钢丝绳看作黏弹性连续体，研究了矩形、梯形、正弦、抛物线形加速时钢丝绳的动张力特性。文献［5］将钢丝绳看作柔性系统，研究了矿车进出罐笼时的振动特性。文献［6］对矿井多绳摩擦提升过程的钢丝绳张力和动张力进行了研究。文献［7］直接采用自由端无集中质量块时绳的振型函数，研究了钢丝绳的振动特性。所有这些研究均未考虑系统的固有频率和振型函数等特性的时变效应，而装载过程中系统的这些特性具有明显的时变效应。因此本文将钢丝绳看作柔性绳，考虑装载过程中振型函数和固有频率等特性时变效应，并基于变质量非完整系统哈密顿原理［8］建立了钢丝绳在装载时的纵向振动模型，推导出钢丝绳的频率方程，并用数值方法计算了系统固有频率的变化和箕斗在装载时的响应曲线。最后研究了不同装载方式下钢丝绳的振动响应，为钢丝绳动态设计提供了理论参考。

1　变质量提升系统的纵向振动模型

本文忽略箕斗的具体结构和钢丝绳的横向振动，将钢丝绳提升系统简化为如图1所示的力学模型。其中钢丝绳单位长度密度为ρ，横截面积为A，弹性模量为E，初始长度为l，物料落入箕斗时的速度为v，物料下落时与水平方向的夹角为θ，箕斗自身重量为m0.建立如图1所示坐标系。系统的动能为：

图1　提升系统的力学模型Fig.1 Mechanical model of lifting system

其中u（x，t）表示钢丝绳x处t时刻的振动位移“·”表示对时间t的一阶偏导数，m为t时刻落入箕斗内物料的质量。式中的第一项为钢丝绳的动能，第二项为箕斗和物料的动能。

系统的势能为：

其中u′表示u对x求一阶偏导数。其中的第一项为静张力引起的广义势能，第二项为弹性势能。P为绳子在静平衡状态下的张力，其表达式为：

其中g=9.8 m/s2为重力加速度。系统的重力势能为：

其中Egs为初始重力势能，是一个常量。变质量非完整系统的哈密顿原理［7］为：

其中˙m表示质量随时间的变化率。时间边界条件和位移边界条件：

由式（1）～式（5）可得系统纵向振动的控制方程为：

由式（1）～（6）可得边界条件为：

其中“··”表示对时间t的二阶偏导数，“″”表示对x求二阶偏导数。

2　变质量提升系统的频率特性

将系统的任一阶纵向位移表示成：

其中，Ui（x）和ωi分别为钢丝绳纵向振动的正则振型函数和固有频率。将式（9）带入式（7），得钢丝绳（x≠l）无阻尼自由振动时振型函数满足：

令钢丝绳的振型函数形式为：

将式（11）代入式（10），由于ai和bi为非零解，则ψi满足：

ψi=ωi/ae

将式（9）和式（12）代入位移边界条件式（8），则系统频率满足方程：

其中m随时间变化。引入下列无量纲因子：

α为质量比，随时间变化，则式（13）可以写成：

式（14）即为变质量系统的振动频率超越方程。由于在整个过程中系统的质量不断变化，系统的频率也随之发生变化。为了得到整个过程系统的振动频率，将系统运动的时间过程划分为n个时间间隔Δt=ti-ti-1，（i=1，2，…n），在每个时间间隔内把系统的参数看成不变的，从而得到系统变化的过程中的n个固有频率ωi.

3　响应求解

在Δt时间内，位移响应为：

4　数值计算与分析

选取如下参数进行计算：

（1）系统的频率

装载流量S（t）=500 kg/s时，利用数值方法求解式（14）得系统的前四阶频率如图2所示。

图2　装载过程中系统的固有频率Fig.2 the natural frequency of system during loading process

图3　装载流量S（t）=（800-60 t）kg/s时钢丝绳末端的振动位移、速度和动张力Fig.3 The displacement，velocity and dynamic tension of rope lower end when S（t）=（800-60 t）kg/s

图4　装载流量为S（t）=（200+60 t）kg/s时钢丝绳末端的振动位移、速度和动张力Fig.4 The displacement，velocity and dynamic tension of the rope lower end when S（t）=（200+60 t）kg/s

根据图2可知，在装载过程中，系统固有频率逐渐减小，其中对第一阶固有频率ω1的影响最大，随着固有频率阶数的提高，装载过程对固有频率的影响逐渐减弱。

（2）钢丝绳末端的振动位移、振动速度和动张力

图3为装载流量S（t）=（800-60 t）kg/s时钢丝绳末端的振动位移、振动速度和动张力；图4装载流量为S（t）=（200+60 t）kg/s时钢丝绳末端的振动位移、振动速度和动张力。

由图3、图4可得结论如下：

（1）钢丝绳末端振动位移随着装载波动增加，且最大位移值基本相同，但是装载方式S（t）=（200+ 60 t）kg/s比S（t）=（800-60 t）kg/s的位移幅值小。

（2）装载结束时，装载方式S（t）=（200+60 t）kg/s比S（t）=（800-60 t）kg/s的钢丝绳末端振动速度幅值小。

（3）装载方式S（t）=（200+60 t）kg/s比S（t）=（800-60 t）kg/s的动张力幅值小。

4　结论

（1）在装载过程中，系统固有频率逐渐减小，装载过程对低价固有频率影响较大，对固有频率的影响较小。

（2）在装载过程中，钢丝绳纵向振动位移以及动张力都逐渐增大，而振动速度的变化与加载方式有关。

（3）实际中采用装载流量逐渐增加的装载方式更为合理。

［1］ 叶柏年.变质量质点单自由度系统的振动［J］.太原理工大学学报，1986（4）：51-58.

［2］ 曹国华，朱真才，彭维红，等.箕斗在装载过程中的震动特性研究［J］.煤炭学报，2007，32（3）：327-330.

［3］ 王则，赵子龙，杨晓辉.提升钢丝绳的纵向振动特性研究［J］.太原科技大学学报，2015，36（3）：241-244.

［4］ 李玉瑾.提升机钢丝绳弹性振动理论与动力学特性分析［J］.起重运输机械，2003（4）：32-36.

［5］ 曹国华，朱真才，彭维红，等.缠绕提升矿车进出罐笼过程钢丝绳耦合振动行为［J］.煤炭学报，2009，34（5）：702-706.

［6］ 李占芳，肖兴明，刘正全，等.矿井提升钢丝绳的动力学研究［J］.煤矿安全，2007（10）：11-14.

［7］ 朱真才，曹国华，彭维红，等.钢丝绳在箕斗装载过程中的纵向振动行为研究［J］.中国矿业大学学报，2007，3（36）：325-329.

［8］ 戈正铭，程邑禾.变质量非完整系统的哈密顿原理［J］.应用数学和力学，1983，4（2）：277-288.

Analysis of Longitudinal Vibration of Wire Rope During Loading Process

WANG Ze，ZHAO Zi-long，YANG Xiao-hui，TIAN Xue-kun
（School of Applied Sciences，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China）

The longitudinal vibration model of wire rope on loading is established and the governing differential equation of longitudinal vibration and the frequency equation are deduced by using the Hamilton′s principle of nonholonomic variable mass system.On this basis，the natural frequency of the system and the vibration displacement，vibration velocity and dynamic tension of wire rope are investigated，and the influence of loading method on vibration response is studied.The calculating results show that the natural frequency of system decrease gradually，but the vibration displacement and dynamic tension of the lower end of wire rope increase with fluctuation.In addition，the results suggest that the loading method of gradually increasing loading flow is more suitable in practice.

wire rope，variable mass，loading，longitudinal vibration

TB1

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2016.02.015

1673-2057（2016）02-0155-05

2015-05-17

山西省自然科学基金（2013011005-3）；太原科技大学研究生科技创新项目（20134032）

王则（1988-），男，硕士研究生，主要研究方向为材料与结构的动力学行为。