横观各向同性双压电板Ⅲ型界面裂纹力学分析

韩贵花，张雪霞，解海玲，赵文彬，王 慧

（太原科技大学应用科学学院，太原　030024）

横观各向同性双压电板Ⅲ型界面裂纹力学分析

韩贵花，张雪霞，解海玲，赵文彬，王 慧

（太原科技大学应用科学学院，太原030024）

研究含界面裂纹的横观各向同性双压电材料板在反平面剪切载荷和平面内电位移共同作用下的裂纹尖端场问题。利用复变函数方法，引入含待定实系数的应力函数，借助边界条件和待定系数法，建立非齐次线性方程组。求解得到满足控制方程和边界条件的应力函数，推导得到双压电材料板Ⅲ型界面裂纹尖端的应力场、电位移场和应力强度因子、电位移强度因子的表达式。

双压电材料；Ⅲ型界面裂纹；复变函数；横观各向同性

压电材料（piezoelectric material）是在压力作用时发生极化从而在两端表面间出现电位差的晶体材料。因其具有自我诊断、自我预测和自我修复系统，也就是自适应系统，所以压电材料也是一种广泛应用于力电耦合领域的智能材料。由于压电材料在制作和使用过程中难免会出现缺陷，如裂纹、夹杂、孔洞等，这样会导致材料过早地失效，甚至发生破坏从而影响压电智能结构的性能和可靠性，因此研究压电材料断裂性能很有意义。由于单层压电材料组成的压电单元件的压电效应是微小的。为了放大单个元件的压电效应，通常将压电元件由多层压电材料复合而成，最为常见的是双压电材料。目前，双压电材料板界面裂纹问题已经有了大量研究。王自强［1］主要用电位移法向分量和电势连续通过裂纹面作为边界条件，对均匀压电智能材料的裂纹问题及两种不同压电材料界面裂纹问题进行了一定分析，得到了含中心裂纹无限大体封闭形式的全场解。王旭［2］，张保文［3］，刘淑红［4］等对不同压电材料反平面问题进行了研究，主要用级数方法表示的控制拉普拉斯方程以及可导通边界条件的基本解。周振寰［5］用辛方法研究了双压电材料断裂问题，并利用辛方法在辛空间中推导出解析解。Ou［6］等对横观各向同性压电材料结合而成的双压电材料在耦合的力的电载荷的作用下的界面裂纹进行了研究。OU Z C［7］通过对横观各向同性压电双材料的研究，分析了压电双材料界面裂纹尖端应力场和应力特性。Li［8］等通过将积分变化转为第二类Fredholm积分方程，对两个粘结在一起的不同压电材料反平面Ⅲ型界面裂纹进行了电弹性分析。XU C H［9］基于哈密顿理论，用辛方法分析了弹性材料裂纹尖端的奇异性以及压电材料与弹性材料界面裂纹的断裂特性。侯密山［10］用静电力学分析压电材料中的电渗透型界面裂纹的连接界面，根据上、下两表面的切向电场强度和法向电位移分别连续构造出在电学上裂纹处的边界条件，详细分析了不同压电材料共线界面裂纹受反平面应变状态作用下的问题，导出了单个界面裂纹以及双界面裂纹的复式封闭解。

近年来，研究双压电材料断裂问题的文献很多，但是借助复变函数法和待定系数法来研究双压电材料板界面裂纹尖端场的文献较少，此方法比已有文献中的方法简单，而且能有效地解决双压电材料的这一类问题。本文研究受远场反平面载荷和平面内电位移共同作用下，横观各向同性双压电材料板界面裂纹尖端场问题。运用复变函数方法和待定系数法，通过构造适当的应力函数，得到电渗透型边界条件下裂纹尖端附近的应力强度因子、电位移强度因子、应力场、和电位移场解析表达式。

1　基本问题

考虑含有界面裂纹长度为2a的横观各向同性双压电材料板，在无穷远处受反平面剪切载荷σ0和平面内电位移D0共同作用，如图1所示。裂纹中点为坐标原点o，x3轴为极化方向，x1ox2平面作为横观各向同性面，极化方向x3轴垂直于x1ox2平面。两种压电材料单元（M1和M2）的结合面为理想连接条件。对于反平面问题，只需要考虑反平面的弹性场和平面内电场。记每个压电材料单元的反平面位移为，应力为，剪应变为，电势分量为φk，电位移为，电场强度为，上标"k"为压电材料单元编号，其中k=1，2.

图1　含界面裂纹的双压电材料板Fig.1 Dual piezoelectric plate with interface crack

对于观各向同性双压电复合材料板在受反平面剪切力和平面内电场共同作用下，本构关系为：

梯度方程为：

将式（3）、式（4）式代入式（1）、式（2）可得本构方程：

在不考虑体力和自由电荷的情况下，静态平衡方程和电静态下的Maxwell方程如下：

将（5）式代入（7）式，（6）式代入（8）式可得：

其中▽2为二维拉普拉斯算子，即：

对于一般的压电材料，它的弹性系数、压电系数和介电系数满足关系式：c44ε11+e（e15）2≠0，所以平衡方程（9）和（10）可以简化为两个独立的调和方程：

所谓电渗透型裂纹就是考虑裂纹缺陷内空气介质对电场的传导作用，根据电场在两种介质界面处的连续条件，电场强度的切向分量以及电位移的法向分量都是连续的。那么裂纹面上下相互接触，且边界条件采用电渗透型边界条件和连续性条件，其余部分为理想连接，故选用如下边界条件：

于是讨论含界面裂纹的横观各向同性双压电材料板的反平面界面裂纹尖端场问题就被转化为求解偏微分方程的边值问题式（12）～（14）.

2　待定系数法

将实值解析解式（15）和式（16）代入到本构方程式（5）、式（6）和梯度方程（4）式得：

考虑到受反平面载荷σ0和电载荷D0的共同作用下，我们选取如下函数：

将式（22）两边关于z进行积分得：

将式（24）、式（25）分别代入式（18）和式（20），结合边界条件式（12）可得：

将式（26）、式（27）分别代入式（18）和式（20），结合边界条件式（13）可得：

将式（23）代入式（15），式（28）、式（29）代入式（21），结合边界条件式（14）可得：

将式（23）代入式（15），式（16）式可得：

由式（34），式（35），式（36），式（37）可得：将式（28）、式（29）代入式（15）、式（17）、式（20）、式（21）、再结合边界条件式（14），得到4个关于ak1，bk1，ak2，bk2的方程，经验证，式（42）、式（43）完全满足这四个方程，即式（42）、式（43）满足所有的边界条件。

3　应力强度因子和电位移强度因子

4　应力场和电位移场

在裂纹尖端附近，即当z→a时，有：将式（42）、式（43）、式（48）代入式（17）～（21）得应力场和电位移场的计算公式如下：

引入极坐标，令x1=rcosθ+a，x2=rsinθ，故式（49）～（52）的极坐标形式分别为：

5　结论

运用复变函数方法和待定系数法，研究了含界面裂纹的横观各向同性双压电材料板在远场受反平面剪切载荷和平面内电位移共同作用下的裂纹尖端场问题，得到双压电材料Ⅲ型界面裂纹在电渗透型边界条件下裂纹尖端的应力场、电位移场、应力强度因子和电位移强度因子的表达式。

［1］ 王自强，韩学礼.压电材料中心裂纹问题［J］.固体力学学报，1999，20（2）：95-103.

［2］ 王旭，王子昆.压电材料反平面应变状态的椭圆夹杂及界面裂纹问题［J］.上海力学，1993，14（4）：26-34.

［3］ 刘淑红，段士杰，邹振祝.含界面边裂纹压电材料反平面问题的应力强度因子［J］.工程力学，2005，22（4）：6-9.

［4］ 张保文，李星.含界面中心裂纹的压电材料反平面问题［J］.宁夏大学学报，2006，27（2）：161-164.

［5］ 周震寰，徐新生.双压电材料反平面断裂分析中的辛方法［J］.固体力学学报，2013，33：105-111.

［6］ OU ZHUO-CHENG，Chen Yi-HENG.On approach of crack tip energy release rate for a semi-permeable crack when electrical mechanical loads become very large［J］.International Journal of Fracture，2004，130：427-454.

［7］ OU Z C，WU XIJIA.On the crack-tip stress singularity of interface cracks in transversely isotropic piezoelectric bi-material［J］. International Journal of Solids and Structures，2003，40：7499-7511.

［8］ LI X F，FAN T Y.Mode-Ⅲinterface edge crack between two bonded quarter-planes of dissimilar piezoelectric material［J］.Archive of Applied Mechanics，2001，71：703-714.

［9］ XU C H，ZHOU Z H，XU X S，et al.Leung Electroelastic singularities and intensity factors for an interface crack in piezoelectric-elastic bimaterial［J］.Applied Mathematical Modelling，2015，39：2721-2739.

［10］ 侯密山，梅甫良.不同压电材料反平面应变状态的电渗透型界面裂纹［J］.科学通报，1998，43（2）：216-221.

［11］ 解海玲，张雪霞，赵文彬，等.无限大压电材料薄板Ⅰ型裂纹断裂分析［J］.太原科技大学学报，2014，35（4）：305-311.

［12］ 杨维阳，李俊林，张雪霞.复合材料断裂复变方法［M］.北京：科学出版社，2005.

Stress Field Analysis Near the Interface Crack Tip for ModeⅢof Transverse Isotropic Dual Piezoelectric Materials

HAN Gui-hua，ZHANG Xue-xia，XIE Hai-ling，ZHAO Wen-bin，WANG Hui（School of Applied Science，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China）

The problem near the interface crack tip for modeⅢof transversely isotropic dual piezoelectric materials was studied under anti-plane shear load and plane electric displacement field.With the help of the complex function method，the stress function containing undetermined real coefficients based on boundary conditions and undetermined coefficient method were introduced to establish a non-homogeneous linear equations.The stress function to satisfy the boundary conditions is got by solving equations.After that，near the interface crack tip for modeⅢof transverse isotropic dual piezoelectric materials，the computational formulas of stress intensity factor，electric displacement factor，stress field and electric displacement are further deduced.

dual piezoelectric，interface crack of modeⅢ，complex function method，transverse isotropic

O157.5

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2016.02.013

1673-2057（2016）02-0144-05

2015-07-19

太原科技大学博士启动资金（20122005）；太原科技大学研究生科技创新项目（20125027，20111028）作者简介：韩贵花（1988-），女，硕士研究生，主要研究方向为偏微分方程及其应用。