2016高考立体几何分析暨2017复习备考指南

广州市第六中学（510260） 曹永生



2016高考立体几何分析暨2017复习备考指南

广州市第六中学（510260） 曹永生

承载着考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力于一体的立体几何试题，在新课程实施的大背景下，作为中学数学传统的主题内容之一，在高考命题中普遍受到极度关注.2016年全国高考数学乙卷立体几何部分的命题有以下三个特征：

一、稳定，体现在题量、分值、内容都与往年基本相同，两道小题一道大题，共计22分，主要考查空间线线、线面、面面的位置关系以及空间角、空间几何体的面积、体积.

（1）文科和理科都继续考查三视图，且不忘“球”缘，放于第（6）题的位置，题目难度不大.三视图是“新课标”的新增内容，对进一步发展学生的空间观念，增强对数学价值的认识起到一定的作用，属于每年必考内容.

图1　

A.17πB.18πC.20πD.28π

（2）继续考查空间线线、线面、面面位置关系的判定和性质，也就是我们平时简称的八大基本定理，即空间直线和平面平行的判定定理和性质定理；空间平面和平面平行的判定定理和性质定理；空间直线和平面垂直的判定定理和性质定理，空间平面和平面垂直的判定定理和性质定理.以理科为例：

（2016理18）（本小题满分12分）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90◦，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60◦.

图2　

（I）证明：平面ABEF⊥平面EFDC.

（II）求二面角E-BC-A的余弦值.

此题的证明

·用到了线面平行的判定定理：由正方形ABEF中，AB//EF得到AB//平面EFDC；

·用到了线面平行的性质定理：由AB//平面EFDC得到AB//CD，进而得CD//EF，这也是绝大多数考生忽视的地方；

·用到了线面垂直的判定定理：证AF⊥平面EFDC；

·用到了线面垂直的性质定理：AF⊥平面EFDC，AF//BE，得BE⊥平面EFDC，因此BE⊥EF，BE⊥EC

·用到了面面垂直的判定定理：由AF⊥平面EFDC得到平面ABEF⊥平面EFDC；

·用到了面面垂直的性质定理：过D作DO⊥EF，进而有DO⊥平面EFAB.

面面平行的判定和性质在选择题（11）中考查

（11）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，面α∩平面ABB1A1=n，则m,n所成角的正弦值为（）.

一份试卷涵盖了空间直线和平面平行的全部判定定理和性质定理，可见命题者用心良苦.

空间角的计算问题，即异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，文理科都在（11）考查异面直线所成的角，难度较大.继续沿袭文科解答题第（2）问求积，理科解答题第（2）问求角的规律.

二、回归书本而高于书本，更加符合“素质教育”的基调，突出了数学素养的培养和数学能力的锻炼的重要性，有利于引导中学数学教学回归正常轨道.以理科18题为例，所示几何体不仅课本多次出现，历年的立体几何大题也是此种图形.在人教A版必修2的P.3，P.28，P.51都出现了这种图形.

2014、2013连续2年全国I卷也是这种形状的几何体.

2014理科 19（12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.

图3　

（I）证明：AC=AB1；

（II）若AC⊥AB1，∠CBB1= 60

◦，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值.

2013理科18（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1= 60◦.

图4　

（I）证明AB⊥A1C；

（II）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

对于横放着的三棱柱，全国I卷中已是多次考查，今年的创新之处是把横放着的直三棱柱切掉两部分，考查学生的空间想象能力.

文科18题也是大家非常熟悉且在课本中多次出现的熟悉的风景，在人教A版必修2的P.67，P.73都出现了这种图形.

三、重视通性通法和基本数学能力的考查，加强了“一题多解”和“数题同法”的探究，提升了学生的思维能力和归纳总结能力.

文科18题 已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.

（1）证明：G是AB的中点；

（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积.

图5　

图6　

本小题主要考查线线垂直和线面垂直，三角形相似，四面体的体积计算等基础知识，考查基本的逻辑推理论证和计算能力.

（1）解法一 因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.

所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.

又由已知可得，PA=PB.从而G是AB的中点.

图7　

图8　

（1）解法二连结DA，DB，AE，BE.因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D为正三角形ABC的重心，从而DA=DB.

因为D在平面PAB的正投影为E，所以DE⊥AE，DE⊥BE，可得EA=EB.

因为PA=PB，所以PE是AB的垂直平分线，

因为PE的延长线交AB于点G.所以G是AB的中点.

（1）解法三 连结CG，因为正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，所以PC⊥面PAB.

因为D在平面PAB的正投影为E，所以DE⊥面PAB.所以DE//PC.

由于P,E,G,C共面，所以G,D,C三点共线.

对于外界的声音，比如说我太狠了等等。我不在乎这些说法，我承认确实我很狠，但我没有原则性的错误，所以我不在意他们的说法。

由于P在平面ABC内的正投影D是△ABC中心，所以G是AB的中点.

图9　

图10　

（2）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面APC内的投影，如图6.

理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF//PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.

因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.

连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，

所以D是正三角形ABC的中心，

由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，

在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.

图11　

图12　

也可以采用空间直角坐标法求解

（1）以点P为坐标原点，PA,PC,PB所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴，建立如图7的平面直角坐标系.因为PA=6，所以P（0,0,0），A（6,0,0），B（0,0,6），C（0,6,0）.

因为点P在面ABC的正投影为D点，所以正三棱锥P-ABC中，D为正三角形ABC的中心，所以D（2,2,2）.

设E为（x,0,z）.因为D在面PAB的投影为E，所以DE⊥面PAB.由已知可得PC⊥面PAB，可得DE//PC.

因为PA=PB，所以G为AB中点.

图13　

图14　

（2）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面ABC内的投影，如图8.

理由如下：以点P为坐标原点，PA,PC,PB所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴，建立如图7的平面直角坐标系.由（1）知E（2,0,2）.

理科18题如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90◦且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60◦.

图15　

（I）证明：平面ABEF⊥平面EFDC.

（II）求二面角E-BC-A的余弦值.

第一问解法一 由已知可得AF⊥DF，AF⊥EF，所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.

图16　

图17　

图18　

第二问解法一过D作DG⊥EF，垂足为G，由（1）知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，为|GF|单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-XY Z.

图19　

图20　

图21　

第二问解法四（等体积法一）∠DFE=∠CEF=60◦，

图22　

第二问解法五（等体积法二）∠DFE=∠CEF=60◦，

图23　

第二问解法六（三垂线法）过B作BI⊥DC交其延长线于 I，连接 EI，过E作EH⊥BC于H，则EH⊥平面ABCD.过H作HG⊥BC于G，连接EG，则EG⊥BC（三垂线定理），所以∠EGH的补角为所求二面角的平面角.

图24　

注补形的部分也就是湖北2015年立体几何出现过的鳖臑.用鳖臑来学习二面角，那就更不得了了.鳖臑中一共有6个二面角，其中三个是直二面角，2个二面角的平面角已经有了，鳖臑中只有一个二面角的平面角需要作，一般高考中的难度不会超过这里，今年的高考就是这样.

第二问解法七（空间向量几何法）作AM⊥BC于 M，EN⊥BC于N，则与所成的角等于所求二面角的平面角.设

图25　

第二问解法八（异面直线法）建立如图所示的空间直角坐标系，设AF=4作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，则与所成的角等于所求二面角的平面角.E（0,0,0），A（4,4,0），B（0,4,0），

图26　

今年考生立体几何解答题的典型错误统计如下：

理科第18题典型错误统计

文科第18题典型错误统计

从以上两个统计表不难看出学生的主要问题一是空间思维能力薄弱，文18题立体几何考核的投影问题，不是我们平时模拟练习的平行垂直的证明，但是只要知道投影的本质是线面垂直，我们通过线面垂直的判断和正棱锥的定义即可得证；理18是一个直三棱柱切掉了两个三棱锥（鳖臑）.二是基本定理没有牢固掌握，模棱两可，似是而非.据此我们提出2017复习备课建议：

纵观近五年内高考的立体几何试题，以考查传统几何为主，传统内容的考查也渗透到其他新型的题目中如几何体的切、接、折叠等这类新形式中，但是万变不离其宗，我们在解题的过程中不要被它华丽的糖衣所吓倒，我们要有探寻其本质的勇气与信心，因此首先我们在学习立体几何时必须得将基本知识学得深与彻.为此结合近五年的高考卷中的立体几何试题的分析与归纳，我们提出如下建议：

1.熟知高中数学课程标准中立体几何的考纲要求，准确把握考纲要求.大纲要求是高考命题的准则，理清要求的内涵和外延，狠抓重点，突破难点，注重题型教学，做到疏而不漏，这样才能帮助学生起飞.

2.加强学生空间想象能力的培养.为此可以从以下三个方面来入手：首先重视看图能力的培养.对于一个几何体，同学们可以从不同的角度去观察，包括俯视、仰视、侧视、斜视，体会不同的感觉，可以开拓我们的空间视野，培养空间感.让学生体会到当从一个角度去观察几何图形而不能解决问题时，可以换一个观察角度，即学会多角度观察图形.再者应加强画图能力的培养，要求掌握一些基本图形的画法，如异面直线的几种画法、二面角的几种画法等等；对线面的位置关系，所成的角，所有的定理、公理都能画出其图形，而且要画出较强的立体感；同时要根据做题的方便来画草图，画哪一个面在水平面上会产生不同的视觉，往往从一个方向上看不清的图形从另一方向却可以一目了然.最后还应加强认图能力的培养，既要能从复杂的几何图形看出其基本图形，如点、线、面的位置关系又要从点、线、面的位置关系联想到复杂的几何图形，同时既要看到所画出的图形，又要想到未画出的部分，若能实现这一些，则可使有些问题一眼看穿.

3.应注重掌握解题方法中的通法通则，特别是转化化归思想，向量代数法以及构造法等.在复习时应该弄透彻，我们不仅理解深刻，而且能切实掌握.如线面和面面关系的转化、三棱锥等积法要熟练掌握；面面平行转化为线面平行，可再转化为线线平行来处理.再如，点到面距离可转化为线到面距离，又可转化为面面距离；证明两线平行，可转化为两直线同时垂直于一个平面的证明.又如，求二面角的向量代数法、定义法，求点到面的距离的向量代数法和等体积法等这一些都是立体几何中的通法.对于探索型试题以及折叠问题等我们也应该抓住其中的重点，这样才能够帮助学生更好的理解立体几何知识之间的各种联系形成一个完善的知识网络.

4.在学习立体几何时，尤其是在复习时，必须将它与高中的其他知识相结合，综合来复习，因为以立体几何为载体结合解析几何，组合概率以及结合特殊不等式的内容已越来越多，所以我们首先必须学好各个模块，再者在复习的过程中必须渗透函数，不等式，以及运动等观点，这样才能更好的拿下高考中的立体几何.

总之，在立体几何的复习过程中，我们必须首先弄清楚基本知识，同时还应该适当贯穿转化的思想，以及函数，不等式，构造等思想.在复习的过程中针对性，尤其是点的轨迹，折叠问题以及探索型试题等也有所涉及，这样才能轻松全面拿下高考中的立体几何，无论是基本题还是压轴题，我们都可以游刃有余.