2016年全国卷高考数学三角试题分析与备考建议

广州大学附属中学（510006） 吴坚



2016年全国卷高考数学三角试题分析与备考建议

广州大学附属中学（510006） 吴坚

三角是高考数学中的重要考点，覆盖了三角函数定义，三角函数图像与性质，三角恒等变换与解三角形等知识，在全国卷中呈现出比较稳定的命题规律与试题特点，既侧重“双基”（基本概念与基本方法）的考查，又突出运算求解能力、逻辑推理能力等理性思维能力的考查.

一、2016年全国卷高考数学三角试题分析

1.2016年全国I卷文科数学三角试题分析

说明本题主要考查解三角形中的余弦定理，建立方程求解b，涉及运算求解能力的考查，属于对基本概念的直接考查，较容易.

说明本题主要考查三角函数周期性以及图像平移变换与三角函数解析式之间的关系，涉及2个知识点，属于对基本概念与基本方法的简单综合考查，中等偏易.

说明本题主要考查三角恒等变换与化归转化思想，涉及运算求解能力的考查，属中等难度.

2016年全国I卷文科三角试题延续了2010-2015年的命题趋势，难度略有下降，主要是对“双基”的识记与简单应用为主.

2.2016年全国II卷、III卷文科数学三角试题概览

2016年全国III卷2016年全国II卷同角三角函数关系与三角恒等变换，中等偏易.文（3）：根据函数y=Asin（ωx+φ）的部分图像（图略）求函数解析式.三角函数的图像与性质，较容易.文（6）：由tanθ=1 3求cos2θ.文（11）：求函数f（x）=cos2x+ 6cos 4，BC边上的高等于1文（9）：在△ABC中，B=π (π) 2-x三角恒等变换、化归转化求最值，中等偏难.的最大值.文（15）：在△ABC中，由cosA=4 5，cosC=5三角恒等变换与解三角形，中等难度.解三角形与逻辑分析能力，中等难度.文（14）：函数y=sinx-√3BC，求sinA.三角恒等变换与三角函数图像平移变换，中等难度. 13，a=1求b. 3cosx的图像可由函数y=2sinx的图像至少向右平移　个单位长度得到.

3.2016年全国I卷理科数学三角试题分析

A.11B.9C.7D.5

说明本题主要考查三角函数图像与性质，要求考生能够根据零点与对称轴信息，以及单调区间与周期的关系，数形结合得出该函数周期性特征，突出逻辑分析能力的考查，难度较大.

2016年理（17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（I）求C；

说明 本题主要考查三角恒等变换与解三角形，涉及运算求解能力，属于对“双基”的简单综合考查，中等偏易.

2016年全国卷理科三角试题也延续了2010-2015年的命题趋势，难度与往年持平，相对文科试题，既涵盖了对“双基”的识记与简单应用，更突出了对“双基”的理解与掌握.

4.2016年全国II卷、III卷理科数学三角试题概览

2016年全国II卷2016年全国III卷理（5）：由tanα=3理（7）：若将函数y=2sin2x的图像向左平移 π三角函数图像与性质，中等难度. 12个单位长度，问平移后图像的对称轴.三角恒等变换，中等偏易. 4，求cos2α+ 2sin2α. )理（9）：由cos理（8）：在△ABC中，B=π 5，求sin2α. (π 4-α=3三角恒等变换，中等难度. 4，BC边上的高等于1解三角形与逻辑分析能力，中等难度. 3BC，求cosA.理（13）：在△ABC，若cosA=4 5，cosC=5三角恒等变换与解三角形，较容易. 13，a=1，则b=. 3cosx的图像可由函数y=sinx+√理（14）：函数y=sinx-√3cosx的图像至少向右平移三角恒等变换与三角函数图像平移变换，中等难度.个单位长度得到.

二、2010-2016年全国I卷高考数学三角试题命题规律与考查热点

1.命题规律

全国卷三角试题形式主要有两种，一种形式通过三道小题分别考查三角恒等变换、三角函数图像与性质、解三角形等三个知识点，如2010年、2011年、2013年文数、2014年、2015年理数和2016年文数；另一种形式则通过一道小题考查三角函数图像与性质（往往还涉及到三角恒等变换），一道解答题考查三角恒等变换与解三角形，如2012年、2013年理数、2015年文数和2016年理数.详见下表.

年份2010年2011年2016年2015年2012年2014年2013年（4）解三角形（6）三角函数图像与性质（7）三角恒等变换（9）三角函数图像与性质（9）三角函数图像与性质（2）三角恒等变换（8）三角函数图像与性质（10）三角恒等变换（11）三角函数图像与性质（17）三角恒等变换与解三角形（10）解三角形（7）三角函数图像与性质（17）解三角形三角试题题号与考向（文）（6）三角函数图像与性质（15）解三角形（16）解三角形（16）三角函数图像与性质（16）解三角形（14）三角恒等变换分值15分15分17分15分15分17分15分（4）三角函数图像与性质（9）三角函数图像与性质（15）三角函数图像与性质（2）三角恒等变换（5）三角恒等变换（6）三角函数图像与性质（12）三角函数图像与性质三角试题题号与考向（理）（17）三角恒等变换与解三角形（11）三角函数图像与性质（17）解三角形（9）三角恒等变换（8）三角函数图像与性质（8）三角恒等变换（17）三角恒等变换与解三角形（16）解三角形（16）解三角形（16）解三角形（16）解三角形分值15分15分17分17分15分15分17分

2.考查热点

（1）考查三角恒等变换以及三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式等三角公式的识记、以及利用三角公式化简与求值计算，特别是弦切互化、齐次式互化、角的和差倍半代换化简.既重视考查运算求解能力，更侧重逻辑分析能力与化归转化思想方法应用.在求解运算中要注重通过优化算法实现减少运算量，避免不必要的分类讨论，进而提高解题效率.

（2）考查三角函数的图像与性质.如根据解析式判断函数草图或由函数草图求解解析式，三角函数图像的平移和伸缩变换方法，研究三角函数的周期性、单调性、对称性与最值，以及建立三角函数模型的简单应用问题.要求考生理解和掌握研究三角函数的基本方法.

（3）考查解三角形，不仅仅是对正弦定理和余弦定理的识记和简单应用，更多的是作为压轴题来考查考生分析问题、转化问题、解决问题的能力.在解三角形的题目中往往还涉及三角恒等变换化简，边角互化和代换消元等化归转化思想和函数思想，试题综合性大、命题新颖.

三、2016年全国卷三角试题的评卷分析和2017年高考三角试题的备考建议

1.2016年全国I卷理17题（三角）的评卷分析

（1）首先通过广东省理17题（三角）的样本数据（70%评卷量）来了解我省考生的答题情况.如下表：

得分0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12≥10 10.56占比（%）2.02 1.47 0.97 1.02 1.17 2.85 6.88 2.5 5.42 4.27 9.88 66.31 51.01

从该表中可以看出全省66.31%的理科生可以给出本题的正确解答或近乎正确解答，也体现了我省高三复习备考的效果，但亦有15.07%（≤3）的考生没有解题思路，甚至关于基本的定理、公式的记忆都未得到要求.

（2）通过对本题各个得分的分层抽样数据（400份）统计分析，共发现错误216处.其中因为定理（正弦定理、余弦定理），公式（两角和差公式、诱导公式、三角形面积公式）和常用三角函数值记忆等知识识记类错误达到70处，占总错误的32.4%；因为代数式化简、等式变形，方程求解，以及数的运算等计算类错误达到87处，占总错误的40.3%；因为规范性造成错误34处，占总错误的15.7%；因为专注度不够（或过度紧张）造成的抄错数字和字母，审题不明等错误25处，占总错误的11.6%.典型的识记类错误和运算类错误详见下表：

错误类型错误形式错误数量正弦定理a cosB=　c cosCcsinA=asinC=2R，8识记类错误5余弦定理cosC=b2-a2-c2cosA=　b√ab　，，c2=a2+b2+2abcosC 2a　，cosC=b2+a2-c2两角和差公式2 cos（A+B）=cosB+cosA，cosB·sinA+sinB·cosA= 6诱导公式sin（π-C）=cosC，sin（A+B）=-cosC，sin（π-C）=-sinC 2sin（A+B）11三角函数值记忆由“cosC=1 22如“S=1 2”得出错误的C角大小三角形面积公式18 2abcosC，S=absinC”等代数式化简利用余弦定理代入化简“2cosC（acosB+bcosA）=c”运算错误5 13由“cosC=b2+a2-c2等式变形2ab　，ab=6”化简“a2+b2=13”出错由“2cosC·sinC=sinC”或及等价形式化简出错，如“2cosC=0”等16由a2+b2=13得a+b=√5 a2+b2=√运算类错误13 27方程求解由{a2+b2=13, ab=6,　求解a与b或a+b出错数的运算利用sinC=√1-cos2C求解出错，如“sinC=1√4 3由1√2，sinC=5由10 {a=2, b=3,求解a+b+c=6+√{a=3, b=2, 或2”3，ab=9”2absinC=3√2 ，sinC=2求解ab出错，如“ab=3，ab=3√3 7 7

2.2017年高考三角试题的备考建议

（1）熟记常用特殊角的三角函数值，牢记三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式和三角恒等变形公式等有关三角公式，三角函数的图像与性质，以及解三角形中的正弦、余弦定理，面积公式等，特别是在一轮复习时不可忽视一些三角知识盲点和易漏点.

（2）在高三备考中重视对运算能力的训练，主要包括代数式的运算与化简，代数恒等式的熟练准确运用，方程（不等式）的求解，数的运算等，让学生尽早发现自身的不良运算习惯和定势错误，使每个学生对自身常犯的运算错误形成元认知，进而有意识的改进和纠正.

（3）有关三角函数的求值与化简问题，备考时要重视运算求解思路的训练，着重于引导学生如何挖掘已知条件与所求表达式之间的联系，熟练地使用弦切互化，齐次式化简，角的和、差、倍、半等代换思想，整体代换求值，换元法，方程思想等常用思想方法与技巧.此外，关于角的范围对三角函数值的控制问题在备考中也要引起足够重视.

（4）三角函数的图像与性质问题，首先要从三角函数定义出发理解三角函数对应法则，结合函数图像牢记理解函数性质，特别是周期性与对称性、单调性之间的联系，以及三角函数图像平移、伸缩变换方法，其次要强调三角函数图像与性质问题的通性通法的理解与熟练应用，最后还要注意数形结合，化归转化思想等数学思想方法的应用.还有一些三角函数与导数的综合应用问题在备考中也不能遗忘.

（5）解三角形问题在全国I卷中往往并非是正弦定理、余弦定理的直接应用，更侧重于以解三角形问题为背景，考查考生的综合能力与数学素养，在备考中要树立三大意识—边角互化意识、消元代换意识、方程意识；补充两种辅助方法—面积法和向量法，在某些解三角形问题中它们具有一定的优越性，在复习备考中可以适当渗透；突出一类题型—最值问题（或取值范围），此类问题往往涉及到建立函数求最值，利用基本不等式求最值，利用判别式法求最值，利用数形结合求最值等多种方法，在备考时可利用“一题多解”，“多题一解”等形式提升此类问题的备考效果.

（6）在三角问题的选择题、填空题中补充一些应试技巧也是颇有必要的，如特殊值法，代入验证法等.

（7）三角试题在广东卷中往往属于基础题，而在全国卷中更偏向识记后的简单应用、乃至理解和掌握，以中等难度题居多，甚至还有压轴题.特别是全国I卷三角试题对知识的理解应用程度，对运算能力，逻辑推理能力等数学综合能力的要求更高，必须要求我们的高三老师和学生改变以往广东卷三角备考的思维定势，深刻体会全国卷三角试题的命题规律与考查热点，在三角备考时要注意选题的灵活性、综合性、创新性.