2016年广东高考数学试题和答卷分析

华南师范大学数学科学学院（510631）　刘秀湘



2016年广东高考数学试题和答卷分析

华南师范大学数学科学学院（510631）刘秀湘

今年的广东省高考数学是2004年以来首次使用全国I卷（乙卷）（后文简称“全国卷”或“试卷”）.试卷符合考试大纲的内容和要求，立足能力立意，重点考查高中数学的主干内容，强化考查考生的逻辑推理能力和实际应用能力，重视学科的基础性、思想性和创新性，体现了数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模等学科核心素养.与往年广东数学卷相比，今年的全国卷运算量较大，中等、难题的数量较多，考查逻辑推理能力的试题比例较高，应用题的文字阅读量与运算量较大.

本文就2016年高考数学试卷的试卷设计、试题特点和考生答卷情况进行分析，希望有助于高中数学教学及今后的高考备考.

一、试卷设计分析

2016年的高考文、理科试卷的题型及其分数与往年全国卷保持一致.第（I）卷单项选择题12题，共60分，第（II）卷90分，填空题4题共20分，解答必做题5题共60分，解答选做题三选一共10分.高中数学的主干内容函数与导数、数列、三角、立体几何、解析几何和概率与统计等六大知识板块的分值在文、理科试卷中分别达到125分、120分，体现了主干内容重点考的设计思路.表1、表2分别为2016年高考数学文科、理科考查内容与分值分布：

表1　2016年高考数学文科考查内容与分值分布

表2　2016年高考数学理科考查内容与分值分布

2016年全国卷重视数学的“四基”考查：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，体现了对“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”三维目标的考查.在试题的命制上，各题目不仅注意了知识考查的水平要求有层次性区分，还侧重考查考生数学知识的理解和综合运用能力.表3、表4是文、理科试卷的数学知识目标结构，可以发现全国非卷常重视考查数学知识的理解.与去年广东卷相比（见表5、表6）全国在理解与掌握层次上的分值文科卷比广东卷多21分，理科卷多32分.

表3　2016年数学知识目标结构（文科卷）

表4　2016年数学知识目标结构（理科卷）

表5　2015-2016年数学知识目标结构比较（文科卷）

表6　2015-2016年数学知识目标结构比较（理科卷）

二、试题的特点分析

2016年全国卷试题延续了近几年“立足基础，考查能力”的命题宗旨，依据课程标准和考试大纲的要求，各试题的考点保持在函数与导数、数列、三角、立体几何、解析几何、概率与统计等六大主要板块，同时涵盖集合、复数、线性规划，算法与框图、排列组合等知识范围，在此基础上加大对数学推理能力的考查，试题的难度和区分度主要以能力考查要求程度变化来体现.

在符合考试大纲对数学知识和数学能力考查的同时，与历年广东卷相比，试卷的运算量大，思维量大，送分题少，充分体现了能力立意的理念，具体体现了以下几个特点.

（1）突出选拔性，注重考查逻辑推理能力

文、理科第7题将函数奇偶性、函数导数与函数图像等知识迁移到创设的问题情境中，结合图形考查推理论证能力，文科17题第（II）问初看是计算，实际上要先证明数列｛bn｝是等比数列；文科18题第（I）问是标准的几何证明，第二问作图中要求证明点E的正投影是点F；文科20题第（II）问是探索性问题，考生需要论证自己的判断；理科18题第（I）问是标准的几何证明，第（II）问的计算中需要先证明CD平行EF；理科19题第（III）问是利用统计数据进行推理给出结论；理科20题第（I）问在解析几何问题中运用平面几何进行证明.理科21题第（II）是标准的代数证明；文理22题一改往年风格，两问都是证明.所以2016年数学试卷对逻辑推理能力的考查提升到新的高度，突出了数学学科在人才选拔中的独特功能：数学论证.

（2）增加实践性，加强应用能力考查

2016年数学试卷体现了数学在解决实际问题的应用价值，体现了课程改革中加强应用性、实践性的特点.试卷紧密结合社会实际，提高了应用题的比例，如文科第3题的情景涉及环境美化，理科第4题涉及公司班车；文、理科第16题为高科技企业产品利润问题；文、理科第19题为企业的成本控制问题.这些试题考查了考生应用数学工具和方法解决实际问题的能力，要求考生具有一定的数学建模素养.

（3）注重考查数学概念的本质

试卷“立足基础，考查能力”的命题宗旨很多就是通过考查考生对概念的理解来实现的.文科17题不但要求考生了解等比数列的定义，还要求掌握如何判定一个数列是否是等比数列；文科18题要求考生不但了解正三棱锥及其侧面、正投影这些概念，而且要求考生能够识别正三棱锥的侧面为直角三角形时的边、角特征，不但能在图中识别某个点的正投影，还要求能在图中作某个点的正投影；理科18题考查了五面体的概念，对二面角概念的考查要求“会看，会判，会算”（二面角）.文、理科19题考查了柱状图的概念，要求考生能将数学期望概念应用于实际情景.文、理科选做23题题干中没有直接告知直线的斜率，而是以倾斜角的正切值出现.这些试题都要求考生能理解数学概念的本质，而不是流于形式.

三、考生答卷情况及反映的问题

从评卷情况来看，大部分考生熟悉全国I卷的题型与结构.但存在一些比较突出的问题，如数学符号书写不规范，数学语言表述不清晰，推理论证能力较为薄弱，运算能力有待提高.同时，还有考生解答必做题答错位置，选做题所涂题号与解答题目不一致.

从考生的具体答题情况来看，选择、填空的作答比例都很高，文科解答题得分情况很不理想，其中第18，19，20，21题四道题的0分卷均超过50%.这说明超过一半的文科考生的数学基础薄弱，解答速度偏慢，根本没有充分的时间思考这几道题，或者有思考但是思路不对.理科考生解答题的作答情况尚好，只有第21题的0分卷超过50%.

选做题方面，考生选做22-24题的人数比例如表7.从表中可以看出，绝大部分考生都是选做第23题.

表7　选做题各题选做人数百分比

文、理科试卷抽样平均分如下表8.（最终的平均分以考试院公布为准）

表8　各题平均分

从上表可以看出，文科第18，20，21题的得分不到1分，第18题立体几何的得分甚到低过20题解析几何.文、理科试卷难度分别为0.35，0.51.考生主观题答卷典型错误及分析情况如下.

（一）文科卷

考生的典型错误题号原因分析13题-3 3作除法运算时分子分母颠倒使用诱导公式时函数名、符号变化有误14题32，2 3 4，4 4，-3可能是圆的标准方程配错导致3π 15题16π r2=4误认为r=4 225000 16题起始直线与边界直线倾斜程度非常接近导致最优解误取到区域外的交点（75,75）起始直线与边界直线倾斜程度非常接近导致最优解误取到区域外的交点（0,300）270000 a1b2+b2=nb1不会代入或代入有误an=（n-1）d（或a1qn-1等）公式记忆错误17题无Sn公式或者不做说明不知道公式或不明确Sn意义不会代入或代入不会化简为bn+1=1（3n-1）bn+1+bn+1=nbn3 1-1Sn=1-13n 3bn或bn+1=1不简化，表述有误bn 3由面PGD⊥PAB得到PG⊥AB 面面垂直定理的误用垂直与平行关系混乱由DE⊥PE，PC⊥PE得到PC//DE正三棱锥性质出错△PAB是等边三角形正三棱锥性质出错由D在面PAB上的正投影为E，得到E为垂心由△ABC是正三角形得到CG⊥AB 三点共线没证面PGD⊥面PAB，得到PG⊥AB 面面垂直定理误用18题连接CG，由PD⊥平面ABC，得到PD⊥CG 忽视三点共线连接CG（或DG），因为D为△ABC的中心，所以GD⊥AB 忽视三点共线因为△PAB是直角三角形（或等边三角形）所以G是AB的中点误用定理过E点作面PAC的正投影，如图（而图中F不是在PA上）没关注线线、线面垂直（平行）关系推理错误取PA中点F，连接EF，EF⊥PA直接画图，无法说明F点在PC上为所作理解错误

第一问函数不能正确分段或分类不清晰如：只求出y=200x-5700或只求出y=3800分段函数概念理解不够实际问题审题不清{3800,　x≤19, y=200x-5700,　x＞19,等不给出结论，或表达式错误如：{y=3800,　x≤19,导致分段函数表达式格式不规范或不下结论，不写成分段函数的形式y=200x-5700,　x＞19,　y= 19题y=19×200=2800 y=19×200+（x-19）×500=200x-4700运算错误. y=200n写成y=200x 审题不清，混淆n与x函数定义域错误，如y= {3800,　n≤19, 200x-5700,　n＞19, {3800,　16≤x≤19, 200x-5700,　19＜x≤21, y= {3800,　0＜x≤19, 200x-5700,　x＞19,　y=定义域受柱状图影响或者不包含0.另只有极少极少同学注意到x∈N在第二问中，只求出小于0.5的频率（或只求出大于0.5的频率）（频数）就下结论.如：0.06+0.16+0.24+0.24=0.7＞0.5，所以n的最小值为19只注意超过0.5的情况，而忽略小于0.5的情况，不会用数据说理第三问在计算第五柱或第六柱时，未乘以频数或未加上先期购买的19件的费用或把频数与零件数混淆（频数10写成零件数21等，如当n=19时，平均数为70×19×200+（10×20×200+10×500）数据太多，考生在解题过程中思维不是特别清晰.不会用数学知识（加权平均数）来进行运算.也不会整理数据以简化计算. 100 70×19×200+（20×3800+20×500）100　）100　+（10×19×200+2×500）100（6×16×200+16×17×200+···）¯x=19×200×100用实际更换的零件数而不是19来计算1对加权平均数中的权重分辨不清；审题不清；数据处理能力较弱100　=3800　¯y=20×200×100 100　=4000所以n取19未求函数的平均费用，而用总费用来计算判断.如400000＜405000所以n取19审题不清读不懂题意得0分题目文字多，阅读量大，信息点多，特别是数据与变量较多（如费用y，频数n与更换易损零件数x）y=t 斜率公式套用错tx）(tpx（应为y=p ) P 2p,t（应为P 2p,t (t2)）计算粗心失误20题H (p (2t22t2,1) 2t p,2t 解方程组出错（应为H )）|OH| |ON|=4（应为2）计算时忘了开方2t2 kMH=p-0 y=p 2t）p（应为 p 斜率公式用错斜截公式用错2t-t=2t 2tx+t）2tx-t（应为y=p p2消元整理出错4t2x2-px-t2=0（应为+t2）y=f（x）求导出错对乘法的导数不熟悉，对a（x-1）2不会求导（复合还是展开）不清楚求f′（x）=（x-1）（ex+2a）后，对a不分类讨论，直接指出f（x）的单调性没有分类讨论思想，即使分类也不知道怎么分21题求f′（x）=（x-1）（ex+2a）后，对a不讨论，直接f′（x）=0推出x=1或x=ln（-2a）概念不清，不会分类当a=0时，单调性写反概念不清，计算出错求根得到x1=1或x2=-ln（2a）计算错误表述错误求根得到x2=ln（-2a）分类时计算得到ln（-2a）＞1⇒a＞-e 得结论f（x）在（-∞,ln（-2a））∪（1,+∞）上为增函数概念不清，表达错误解对数不等式和一次不等式出错2 y=f（x）有两个零点则Δ＞0错误理解为一元二次方程有两根问题

24题

（二）理科卷

题号考生的典型错误原因分析2向量内积运算符号错13题1向量内积错用平行公式2 14题80二项式展开系数错15题50估计直接用条件相乘得到16题225000（同文科）270000（同文科）使用正弦定理对2cosC（acosB+bcosA）=c进行变形时，等号右边没有化成角计算不严谨sin（π-C）=cosC，sin（A+B）=-cosC，sin（π-C）=-sinC等诱导公式错误计算错误由2cosC·sinC=sinC或及等价形式化简出错，如2cosC=0等对于特殊角的余弦值记忆模糊17题由cosC=1 2得出错误的C角大小S=1三角形面积公式错误2abcosC，S=absinC等由1 3，ab=9计算错误2absinC=3√2　求解ab出错，如ab=3，ab=3√3利用基本不等式求a+b，如a+b≥2√ab=2√6审题不清由cosC=b2+a2-c2计算能力差由{a2+b2=13, ab=6,　求解a与b或a+b出错2ab　化简a2+b2=13出错计算能力差求解{a2+b2=13, ab=6,　漏掉一组解解答不严谨最后一问a+b+c计算出错或代入出错，如a+b+c=6+√7，a+b+c=5+7=12低级失误直接由AF⊥EF得出AF⊥平面EFDC 线面垂直判定定理与面面垂直性质理解不清看不出AF就是平面EFDC的垂线，而是习惯竖直的垂线，另做一条空间思维转换能力不强建错坐标系误认为平面18题建系后求错平面的法向量计算问题或者点坐标出错没有将两个已知的二面角转化为平面角由空间到平面的思维转化能力薄弱或是习惯不好，只用不写.没有证明CD//EF 认为是理所当然带入公式求值出错计算能力薄弱由两平面的法向量夹角的余弦值得出二面角的余弦值时正负出错没有理解两平面的法向量夹角与二面角之间的关系未写或算错一台机器更换零件8,9,10,11的概率解答过程跳步或不理解题意未写出或写错X的取值16到22格式不注意或不理解题意计算概率（如P（X=16）等）未列式或算错（主要是算错）格式不注意或题意未能真正理解或分类不全分布列写成X 8 9 10 11 P 0.2 0.4 0.2 0.2审题不清19题计算了概率但不列分布列不注意回答题目问题不计算无过程，直接作答格式不正确，思维不严谨只计算P（X≤18）=0.44或P（X≤19）=0.68其中一个就作答思维不严谨猜出结论无过程只有结果直接算X的期望而不是所需费用的期望审题有误算所需费用期望时不列式或者列式错误不注意解题格式或不理解题意算期望时列式正确但计算错误计算能力太差圆的标准方程化简错误：如（x+1）2+y2=4，（x-1）2+y2=16配方基本功不够扎实；运算粗心用特殊情形代替一般情形，（1）只用直线与x轴垂直的特殊情形计算出结果为（2）用中点代替一般情形不会证明、计算的无奈之举，20题求出椭圆方程后，没有y̸=0阅读不够仔细，没有留意题目已经指出与x轴不重合错用直线CD与圆A联立求弦长错用直线PQ与椭圆进行联立惯性思维，平常有大量的以-k取代k，-1 k取代k的题目，所以不看图，做完一组联立就随便改变直线或曲线进行下一组联立设直线不考虑斜率不存在情形缺乏严密性思维在联立正确时，|MN|运算错误运算整理式子能力不足在联立正确时，|PQ|运算错误运算整理式子能力不足

得到正确的面积函数式后运算不出正确的面积20题运算能力不足（1）不会运用换元法简化函数（2）整理不出用初等函数复合而成的表达（3）基本初等函数的最值值域求法不过关求导出错f′（x）=ex+2a（x-1）乘法法则运用不正确函数概念不清，a′=0出错f′（x）=ex+（x-2）+2a（x-1）+a f′（x）=xex+（x-2）ex+2a（x-1）概念模糊f（x）=0⇒ax2+（ex-2a）x+a-2ex=0（1）Δ=（ex-2a）2-4a（a-2ex）＞0（2）x1+x2=2a-ex化为二次方程用Δ＞0及韦达定理出错解题方向不明，误把极值点当零点令f′（x）=（x-1）（ex+2a）=0，则x=1或x=ln（-2a）.由-2a＞0求得a＜0. a ln（-2a）写成ln-2a 书写不规范没有单独讨论a=0特殊情况用得不好22-24题同文科

四、对中学数学教学的几点思考

1.要重视数学概念的教学

《普通高中数学课程标准》指出：“数学教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心的概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步理解.由于数学高度抽象的特点，注意体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质”.章建跃博士也指出，“数学根本上是教概念的，数学教师是玩概念的”.这就充分说明了数学概念在数学教学中的重要性.

另一方面，数学解题无疑是当下中学数学教学的主要内容，更是高三数学复习的主题.很多老师将数学解题与概念理解割裂开来，认为数学概念不会显现在试题中而加以忽视.学生在学习数学的过程中，也会因为误以为数学概念枯燥无味.如果教师在教学中也迎合学生心理，把数学概念一带而过，然后就是关于使用公式、法则和定理练习的周考卷、月考卷的“狂轰乱炸”，这种教学留给学生对数学的感觉就是“做题”，而没有数学概念的理解.

中学数学教学要充分认识到数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心［1］.数学概念的理解与解题能力的提高是相辅相承的，数学概念的理解是正确快捷解题的前提.撇开概念，淡化前提，为解题而解题，只能是生搬硬套，知其然而不知所以然.同时，美国数学家哈尔莫斯认为“问题是数学的心脏”.华罗庚也说：“学数学不做题等于入宝山而空返，一无所获”.数学概念的理解是在数学解题中螺旋上升的，离开数学解题来谈数学概念理解只能是空对空.将数学概念的理解与解题有机结合起来是目前需要重视的课题.

2.要重视数学思想方法的教学

2016年全国高考数学试题充分考查了数学的基本思想，体现了数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模等学科核心素养.但是学生的这些素养不是高三通过专题训练就能获得的，而是在长期的数学学习中养成的.高中数学教学从高一开始就要有意识地渗透数学思想，特别是函数与方程、数形结合、分类讨论、化归或转化.教师要善于在高一、高二的数学学习将思想方法的教学寓于完善学生的知识结构之中、于教学问题的解决之中，而不是等到高考复习中才强调数学思想方法专题.如集合交、并、补的数学定义充分体现了数学的抽象思想，通过韦恩图、数轴等数形结合方法则可以将这些高度的抽象给以直观的理解.

3.重视数学语言符号的规范性与表述的严谨性

数学语言是数学工作者进行交流的工具，考生在试卷上解答一道数学解答题实际上是写一篇数学议论文：以数学的概念、公式、法则和定理作论据，运用演绎或归纳推理进行论证，给出自己的论点：证明某个结论或得出某个结果.既然是数学议论文，那就要求文字要准确，符号要规范，逻辑要清晰.遗憾的是，从评卷情况来看，即使对于会解答的问题，能达到这一要求的考生也不多.有些考生每道题解答中除了“解”或“证”是汉字外，再也找不到第二个汉字了.有些解答过程需要评卷员“猜测”考生的解题思路，这就说明“论证”不清晰.笔者有幸多次到中学听课，也发现教学中一个现象：教师非常重视题意分析、解题策略等“关键”过程的讲解和板书，但是很少有一道题的完整的解答过程.老师的板书是学生学习解答书写的直接来源，教师这样板书，学生从何学习解答书写规范？教师平时的板书需要对这些计算和证明过程给出典范，如计算书写过程“使用公式，重要变形，写出结果”，证明书写则是“条件清楚，推理到位，不能跳步”.这种板书和作业要求多了，学生才能在潜移默化中掌握.