定积分思想中近似代替的教学注记

何宗祥 曹亚文

【摘要】 针对定积分思想的教学过程中，容易引起和产生混淆的近似代替环节，分析了产生问题的原因、提出了解决问题的方法和途径、并给出了具体教学过程中实施的建议.

【关键词 】 定积分； 分割；等价无穷小；近似代替

【基金项目】 本项目是2016年安徽省高校省级自然科学研究重点项目，项目名称：高等水生植物抑藻的数学模型构建与应用（KJ2016A268）.

在运用定积分解决实际问题的过程中，近似代替是定积分思想的一个重要环节.随着分割越来越细，如何选择特定的、规则的、熟悉性质的已知量近似代替被分割后的小对象，这不仅关系到定积分表达式中被积函数的形式，还关系到定积分的计算量，更重要的是关系到定积分思想运用的合理性.这在运用定积分解决实际问题的教学过程中，是一个十分重要、却又必须交待清楚、而实际上却常常忽略的问题.很多学生由于忽视了这一环节的处理，往往在运用定积分解决实际问题的过程中感到不解、困惑和迷茫.

在运用定积分解决实际问题的教学过程中，一定要遵循“随着分割的加细，研究对象被分割后的小对象与近似代替其的小对象之间是等价无穷小”的原则.只有这样才可以使得定积分思想得到合理性的运用、实际问题得到圆满的解决. 但是，在实际教学过程中，由于教师的强调不足以及学生的重视不够，往往造成部分学生只注重考虑随着分割的加细，被分割后的小对象与近似代替其的小对象都是无穷小的事实，而忽略、或者基本上不考虑他们之间还必须是等价无穷小的这一根本要求.这样下去的结果往往是实际问题难以通过定积分的运用得到合理的解决，从而使得学生对自己运用定积分解决实际问题的能力感到怀疑，失去解决实际问题和进一步分析问题的信心.这对学生学习积分学是十分不利和有害的，对他们今后走向社会在工作中运用定积分解决实际问题也是有负面影响的.

以下就运用定积分思想，在求平面曲线的弧长、空间曲面的面积这两个实际问题的教学过程中，应该如何遵循“随着分割的加细，研究对象被分割后的小对象与近似代替其的小对象之间是等价无穷小”这一根本原则，提出一些想法、介绍一些做法.

对于平面光滑曲线弧段L（）：y = f（x），x∈[a，b]，在其上依次任意取n - 1个点，则被分割成n个小弧段.记 T = {|Mi（xi，yi）∈L，A = M0，B = Mn，i = 1，2，…，n}为该分割.由于 = 1，故小弧段的长||可以用其内接直线段的长|Mi-1Mi|近似代替.于是，平面光滑曲线弧段的弧长[1]

s = || = |Mi-1Mi| = dx.

在这一实际教学过程中，如果教师没有根据平面曲线弧段L（）：y =f（x），x∈[a，b]的光滑性，利用“两边夹”定理[1] 讲透彻并且强调 = 1，那么，不可避免的就会有学生提出：随着分割的加细，作为无穷小的小弧段的长||为什么可以其用内接直线段的长||近似代替，却不可以用同是无穷小的|Δxi|、|Δyi|近似代替？这种问题的提出，是学生对 = 1这一根本原则的理解和把握不够. 当然，在教师能根据曲线弧段L（）：y =f（x），x∈[a，b]的光滑性，讲透彻并且强调 = 1的前提下，学生就能够比较好的理解和把握“随着分割的加细，研究对象被分割后的小对象与近似代替其的小对象之间是等价无穷小”这一根本原则，那么，随着分割的加细，作为无穷小的小弧段的长||不仅可以用其内接直线段的长||近似代替，还可以用小弧段上任意点的切线在[xi-1，xi]上切线段的长|Δxi|，？坌ξi∈[xi-1，xi]，i=1，2，…，n，近似代替.这样，学生对运用定积分求平面光滑曲线的弧长就会有一个比较好的、深入的和全面的认识、理解和把握.这对他们学习和运用积分学是十分有益的.

同样，对于空间光滑曲面块∑：z = f（x，y），（x，y）∈D，若T = {D1，D2，…，Dn}是D的任意一个分割，则相应的∑也被分割成n个小曲面块∑1，∑2，…∑n，且∑i在坐标面xoy上的投影为Di，∑i的面积为ΔSi，Di的面积为Δσi，过∑i上任意一点 Mi（ξi，ηi，f（ξi，ηi））的切平面为πi，πi 上小平面块Ai在坐标面xoy上的投影仍为Di，Ai的面积为ΔAi.由空间曲面块∑：z = f（x，y），（x，y）∈D的光滑性，并利用“两边夹”定理可得 = 1，故小曲面块∑i的面积ΔSi可以用过∑i上任意一点 Mi（ξi，ηi，f（ξi，ηi））的切平面πi上小平面块Ai的面积ΔAi近似代替，i = 1，2，…，n.于是，空间光滑曲面块∑：z = f（x，y），（x，y）∈D的面积[1]

教学过程中，如果教师没有根据空间曲面块 ∑：z = f（x，y），（x，y）∈D的光滑性，利用“两边夹”定理讲透彻并且强调 = 1，再加上许瓦耳兹（H.A.Schwarz）的例子[2]的影响就使得学生在运用定积分思想求空间光滑曲面块的面积过程中，对近似代替这一环节的把握深感不解、困惑和迷茫.事实上，教师在讲透彻并且强调上述等价无穷小的同时，再指出许瓦耳兹的例子只是强调小曲面块的面积用其内接平面块的面积代替并不总是能够成立的，只要能够保证随着分割的越来越细，小曲面块上任一点的法向量与其内接平面块的法向量越来越趋于平行，那么小曲面块的面积用其内接平面块的面积代替还是可行的.因为此时 = 1，其中ΔBi为∑i内接平面块的面积，i = 1，2，…，n.所以讲透彻并且强调 = 1是运用定积分思想求空间光滑曲面块面积的关键.对它的理解不仅可以说明用小切平面块的面积代替小曲面块的面积的合理性，而且还可以得到能够代替小曲面块面积的其他形式.由于这些能够代替小曲面块面积的各种形式，当分割越来越细时，都是小曲面块面积的等价无穷小，故空间光滑曲面块的面积公式是统一（唯一）的形式.

综上所述，在运用定積分思想解决实际问题的教学过程中，一定要注重对“随着分割的加细，研究对象被分割后的小对象与近似代替其的小对象之间是等价无穷小”这一根本原则的把握.只有这样，才能从众多的近似代替的各种形式中，提取出最合理的被积表达式的结构，为更好的运用定积分的思想，使实际问题得到圆满解决提供最有效的支持.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系编，数学分析[M].第三版. 北京：高等教育出版社，2001.

[2]Г.М.菲赫金哥尔茨著，微积分学教程[M].吴亲仁，路可见译，第三卷第二分册. 北京：人民教育出版社，1978.