“方阵问题”教学实录与点评

执教：戴蓉　点评：张新春

“方阵问题”教学实录与点评

执教：戴蓉点评：张新春

教学实录

（一）情境导入

师：我们学校要举行全校的集体舞比赛，大家正在抓紧排练。四年级的同学特别想夺得冠军，他们苦练舞蹈动作，巧妙设计队形。看，这就是他们设计的队形，这个队形有什么特点？（这个队形是正方形）怎么看出是个正方形？

生：有9行、9列。

师：像这样的行数与列数相等的正方形队列，我们把它叫做方阵。今天我们一起研究方阵中的数学问题。（板书课题：方阵问题）

设计意图：从学生的生活中引出方阵问题，既拉近了与学生的距离，又激发了学生的学习欲望，增强了学习的内驱力。

（二）探究建模

师：这个方阵每行每列都布满了点，是个实心方阵。这个方阵总共有多少人？怎么计算？

生：9×9=81（人）。

师：原来四年级派出了81人的参赛队伍，他们队伍的最外层全站男同学，而里面全是女同学，如果不看里面的女同学，这也是一个方阵，是个什么方阵呢？

生：这个是空心方阵。

师：对，有实心就会有空心，这确实是个空心方阵。老师已经把这个空心方阵画在了纸上，请你们画一画、算一算，看看最外层一共站了多少名男同学。比比看谁的方法多，谁的方法好。

学生动手，教师巡视。

师：谁上台来说说你的算法？

学生在实物投影仪上展示自己的方法，教师板书学生得到的各种方法。

生1：9+8+8+7=32。

生2：9×2+7×2=32。

生3：（9+7）×2=32。

生4：（9-1）×4=32。

生5：7×4+4=32。

生6：9×9-7×7=32。

师：这么多种方法，到底哪个对？你有什么办法验证？

生：老师，我们可以具体数一数。

师：好，我们跟着电脑一起来数一数。（板书：数数验证）咦，明明每边是9人，4条边，应该是9× 4=36才对，为什么只有32个了呢？

生：因为4个角上的人被重复计算了。（板书：重复的，要减去）

师：这就是生4的算法，可这里还有这么多得数也是32的算式，他们是怎样想的？他们的想法全对吗？前后4人为一组共同探讨一下吧。

学生讨论后反馈，教师用课件演示每种方法。

师：真不错，你们不仅有自己的方法，还虚心地学会了别人的方法。大家比较一下：在这些方法中，你最喜欢哪种方法呢？为什么？

设计意图：引导学生找到正确答案以后再反思别的同学的方法，培养孩子们的反思意识，提高分析问题的能力。

师：大家都说得很好，无论你喜欢的是哪种方法，我们在求最外层总数时不仅要合理分组，还要注意把方阵4个角上的点处理好。重复的要减去，遗漏的要加上，每位同学至少要掌握好其中的一种方法。下面我们口头解答几道题。（课件出示）

（1）一个空心方阵，每边站26人，最外层一共可以站多少人？

（2）一个空心方阵，每边站100人，最外层一共可以站多少人？

（3）一个空心方阵，每边站41人，最外层一共可以站多少人？

师：在刚才解决问题的过程中，同学们都选用了两种方法，看看跟谁的相似？能不能找到这两种方法的解题规律呢？

（板书：每边个数×4-4=最外层总数，（每边个数-1）×4=最外层总数）

设计意图：通过一组题目的练习，孩子们体会所用的方法，找出规律，逐步建模。

师：真厉害，一下子得出两个规律，下面我们来抢答一组题目，比一比谁最会运用规律。（课件出示）

（1）一个正五边形队形，每边10人，最外层一共多少人？

（2）如果是一个正三角形队形，每边10人，最外层一共多少人？

（3）如果是正8边形队形呢？如果是正10边形队形呢？如果是正100边形队形呢？正n边形呢？

（4）如果是一个正n边形队形，每边10人，最外层一共多少人？

（5）如果是一个正n边形队形，每边a人，最外层一共多少人？

板书：a×n-n=C，（a-1）×n=C。

师：请你告诉大家a表示什么？（每边的个数）n表示什么？（边数）C代表什么？（最外层总数）那就是说这两个规律不仅可以计算方阵问题，还可以帮我们求出所有的正多边形队形的最外层总数。

师小结：同学们，我们今天一起找到了多种解决方阵问题的方法，通过比较和应用发现了其中最好的方法，又探索挖掘到了解决所有正多边形队形最外层总数的规律，让我们为自己的出色表现喝彩！

设计意图：在建模的基础上逐步发散提高，最后引导学生发现求一个正多边形队形最外层总数，可以运用求空心方阵最外层总数的方法。

（三）应用提高

师：为了准备这次比赛，我们的大队干部们可忙坏了。他们在操场上用鲜花摆成了一个双层空心方阵，一共用了多少盆鲜花呢？这个问题能难倒你们吗？（课件出示右图）想一想怎样解决？说说你的想法。

生1：（10-2）×2×4=64（盆）。

生2：10×2×4-2×2×4=64（盆）。

生3：（10+8）×4-2×4=64（盆）。

生4：10×10-6×6=64（盆）。

生5：6×2×4+4×4=64（盆）。

生6：10×2×2+6×2×2=64（盆）。

设计意图：孩子们灵活运用所学的知识尝试解决双层空心方阵问题，领会转化这一重要的数学思想方法。

师：同学们太棒了，今天我们一起解决了方阵中求外层总数的问题，并通过它探寻出了求正多边形队形最外层总数的规律。然而在方阵问题中并不是只需要求外层总数，还有许多其它情况。看这道题：20盆花围成一个正方形，每边盆数相等，4个顶点都有花，每边各摆几盆花？谁能快速告诉我每边各摆几盆花？

生：5盆？4盆？6盆？

师：到底是几盆呢？同学们课后可以继续思考，下节课我们再来研究！

设计意图：将这道逆向思维的题目作为本节课的延伸，放到第二课时来教学，既不干扰本节课的建模，又让孩子们意犹未尽、回味无穷。

点评

方阵问题属于“数学广角”的内容，是在学生已经掌握了植树问题的基本方法，会解决简单的植树问题的基础上教学的。“数学广角”的重要目标在于让学生积累分析问题、解决问题的基本活动经验，同时渗透一些重要的数学思想方法。

这节方阵问题一课的教学有如下几个特点。

1.从现实问题中抽象出数学模型。模型是基本的数学思想，从具体的实际问题出发，将其中一些非本质的、次要的因素忽略掉，留下本质的、主要的因素并对其进行数学的分析和处理，这就是数学模型的思想。本课教学中，教师从一个具体的集体舞比赛排队形的问题出发，将其抽象成方阵问题并进行数学处理。这种教学处理的好处是明显的。学生熟悉、有兴趣，研究起来顺手，有经验。同时，学生也能认识到，无论是排队形还是摆花，具体的对象不重要，空心方阵的模型才是重要的。

本课中也存在一个可以进一步讨论的问题，那就是如何看待多样的解决问题的方法，如何评价各种方法的意义，是否有必要找到一种相对基本的方法。

（作者单位：长沙市芙蓉区育才小学长沙市教育科学研究院）