三维地震动下结构最不利入射角度研究*

韩恩圳， 何浩祥,2， 吕永伟

(1．北京工业大学工程抗震与结构诊治北京市重点实验室，北京 100124;2．首都世界城市顺畅交通北京市协同创新中心，北京 100124)



三维地震动下结构最不利入射角度研究*

韩恩圳1， 何浩祥1,2， 吕永伟1

(1．北京工业大学工程抗震与结构诊治北京市重点实验室，北京 100124;2．首都世界城市顺畅交通北京市协同创新中心，北京 100124)

当地震波沿不同的方向输入时，结构具有不同的动力响应，并存在最不利入射角度使结构响应最大。传统的最不利入射角度计算只考虑平面内水平两向地震动作用，没有考虑竖向地震动对结构最不利反应的影响。论证了弹性力学中的平面最大主应力方向理论与平面内结构最不利入射角度在机理上是相通的。在此基础上推导了空间最大主应力方向的表达式，进而提出结构考虑三维地震动的最不利入射角度计算公式。提出了基于有限元分析的弹塑性结构瞬时最不利入射角度计算方法。通过数值模拟讨论了空间最不利入射角度的特性和变化规律。通过计算实例证明对于以竖向振型为主的结构应考虑多维地震动并计算空间最不利入射角度。同时，结构弹塑性最不利入射角度具有瞬变特性并与结构损伤程度相关。

多维地震动； 最不利入射角； 主应力方向； 弹塑性分析； 损伤

引　言

地震动是包括三个平动分量和三个转动分量的多维复杂运动，且在时域及频域均表现出非平稳性。对于简单、规则结构，一般可以只考虑单向水平或双向水平地震作用来进行抗震设计及分析。对于大型复杂结构或不规则结构，宜考虑由双向水平及竖向地震动组成的三个正交的平动分量进行抗震设计，一般可以忽略转动分量[1]。地震动可能来自任意方向，由于结构的不对称性及不规则性，当地震波沿不同的方向输入时，在结构中产生的动力响应是不同的，当地震波沿某一特定的方向输入时，结构动力响应将达到最大值。通常把引起结构最大动力响应的地震动输入角度称为地震动最不利入射角度或地震动输入主方向。

在结构抗震分析中，为了确保设计方案具有足够的合理性及可靠性，同时能够更全面地评判结构的安全性，一般需要地震动的最不利入射角及相关的结构动力响应，因而该方面的研究一直是地震工程学的研究热点，相关部分成果也被各国抗震设计规范所采用[2]。

Penzien[3]曾证明如果将地震动视为平稳过程，则地震动存在三个主轴方向，且分解到三个方向的地震波互不相关，最大分量的主轴近似为震中方向，而第二分量与第一分量正交，最小分量的主轴接近竖轴方向。Wilson等[4]人利用振型叠加法给出了求解在任意输入角度的多向地震作用下最不利地震入射角度的计算方法，但由于公式推导有误最终未能解决这个问题。Lopez等人[5]在此基础上最终提出了考虑不同反应谱形状地震输入的最不利入射角的计算方法。Menun[6]在Lopez等人的基础上给出了正交反应谱组合的CQC3法。

Salazar等[7]对多维地震作用下的结构响应做了综合性的分析与讨论。聂利英等[8]基于反应谱法讨论了地震动最不利方向和地震响应最大值的计算方法。朱东生等[9]推导给出了不规则桥梁在双向地震动反应谱作用下的最不利方向确定方法。何晓宇等[10]根据海洋平台空间结构的“有效输入能量”时间过程曲线确定了多维地震反应最不利地震动输入方向的方法。全伟等[11]利用时程分析法对曲线桥在单维和多维地震动激励下的最不利输入方向问题进行了研究。樊健生等[12]提出了框架结构基于弹性时程分析的地震动最不利入射角度的确定方法。

传统的抗震设计常常忽略竖向地震作用，因此目前无论是基于反应谱法还是时程分析法，研究者均只给出了结构在弹性阶段内地震动两水平分量作用下结构最不利入射角度的计算方法，而对于地震沿空间内任意方向输入时的最不利入射角度并没有给出计算公式。然而，不全面地考虑地震动多维特性而进行抗震设计是不准确的。地震震害现象表明：在高烈度地震区，地震动竖向加速度分量对建筑物的破坏影响显著，对于卓越周期较小的场地，竖向地震的加速度峰值甚至会超过水平方向的[13]。对于诸如空间结构和桥梁等竖向振型参与系数较大的结构忽略其竖向作用更是错误的。虽然Lopez等[5]对在竖向地震作用下结构的最不利输入角度的影响进行了研究，但并没有给出在弹性阶段最不利入射角度的解析解。

本文在振型组合方法(SRSS)的基础上，利用弹性力学的知识推导出结构在弹性阶段内地震沿空间内任意方向输入时的最不利入射角度的计算公式，并讨论了竖向地震作用与水平地震作用的比值改变对最不利入射角度的影响。之后，采用非线性动力分析软件计算三维结构在弹塑性阶段的瞬时刚度，从而计算得到结构弹塑性最不利角度曲线并研究其变化特征，可为今后的抗震设计与验算的发展提供借鉴。

1　平面最大主应力方向

(1)

图1　平面空间应力状态图Fig.1　Plane and space stress conditions

对式(1)求导即可求出主应力或最大的正应力，整理得到最大主应力方向的计算公式

(2)

在弹性状态下，结构的位移与受力成正比，故传统的水平两向地震动下的结构最不利入射角度的计算公式可用地震反应量表示为[5]

(3)

对比式(2)和(3)，可以看出二者形式类似，验证了前文的论述。究其本质，平面内的最大主应力的方向是指承受正应力最大的方向，即最有可能先破坏的方向；地震动最不利入射角度指的是引起结构最大地震响应的方向，也即最先引起结构破坏的方向，二者在力学机理上是相通的。由此可见，最大主应力的方向是推导最不利入射角度的基础。因此，可以在三维的点最大主应力方向的基础上推导出地震沿空间内任意方向输入时的最不利入射角度的计算公式。

2　空间最大主应力方向与三维最不利入射角度的关系

2.1空间最大主应力方向

如图1(b)所示，由弹性力学的知识可知，空间任意一点的应力的状态矩阵为

(4)

式中σx，σy和σz分别为x，y和z向正应力;τxy,τxz为沿y向和z向且与x向垂直的剪应力；τyx,τyz为沿x向和z向且与y向垂直的剪应力；τzx,τzy为沿x向和y向且与z向垂直的剪应力。

主应力σ满足以下公式

(5)

式中nx，ny，nz为主应力的方向，即与空间三个坐标轴夹角的余弦值。

求解空间任意一点的主应力和主应力方向即求应力状态矩阵R的特征值和特征向量[14]，可得三个主应力分别为

(6)

三个主应力对应的方向分别为

(7)

其中，I1=σx+σy+σz，

2.2空间最不利入射角度

对任意一个线性结构, 当单维或多维地震动沿任意方向输入时, 结构的运动方程为

(8)

假定各地震作用分量之间互不相关，根据SRSS法组合，任一地震下结构总作用力的组合值为

(9)

借鉴空间最大主应力方向理论，在空间状态下，结构任一点的受力状态矩阵为

参考公式(4)～(9)可推出最大主应力的值为s1,s2和s3三者之间的最大值

(10)

由s1,s2和s3的最大值可以求出相应的地震最不利入射角度如下

(11)

3　三维地震动下结构最不利夹角分析

3.1弹性结构的最不利夹角分析

根据本文得到的空间最不利入射角度计算公式对结构进行基本的数值分析，研究假定最不利入射角度的特性及变化规律。假定具有单位质量的结构在x方向输入的地震动大小为1 m/s2，同时改变y向和z向的地震动大小，y向输入的地震动大小变化范围是x向输入的地震动大小的0.1～50倍，z向输入的地震动大小变化范围是x向输入的地震动大小的0.01～100倍，可计算出三维坐标系下，空间任意方向的最不利入射角度随y向和z向输入的地震动大小同时变化的情况。设φ角为空间任意方向的输入地震动在水平面的投影与x轴夹角，θ角为空间任意方向的输入地震动与z轴的夹角，如图2所示。

图2　空间地震动与坐标轴的夹角Fig.2　Angle between ground motion and coordinate axis

图3　弹性状态下φ角的变化曲面图Fig.3　The curved surface of φ in elastic state

图4　弹性状态下θ角的变化曲面图Fig.4　The curved surface of θ in elastic state

当保持y向输入的地震动大小不变时，无论z向输入的地震动大小如何变化，φ角的大小始终保持不变。表明在弹性阶段内，结构所受的竖向地震动幅值或结构的竖向刚度的大小对水平方向的最不利入射角的变化几乎没有影响。

当保持z向输入的地震动大小不变时，φ角随着y向输入的地震动的增大而逐渐增大。当y向的输入的地震动大小在0.1～10之间逐渐变大时，φ角增大显著；当y向的输入的地震动大小在10～50之间逐渐变大时，φ角增大的很缓慢。表明在水平面内，当水平两方向输入的地震动大小比值在1～10倍以内时，对水平φ角的改变影响很明显；而当水平两方向输入的地震动大小比值超过10时，对水平φ角的影响可以忽略。

当保持z向输入的地震动大小不变时，θ角随着y向输入的地震动的增大而逐渐变大。z向输入的地震动越小，变化的越缓慢。以上表明在弹性阶段内水平方向输入的地震动的改变对θ角的变化是有影响的。

当保持y向输入的地震动大小不变时，θ角随着z向输入的地震动的增大而逐渐减小。当y向输入的地震动值很小时，θ角的变化呈抛物线的形状；当y向输入的地震动很大时，θ角的变化基本呈直线形状。以上表明竖向输入地震动的改变对θ角的影响是明显的。

由以上分析可知，对于一般的建筑结构，由于竖向地震作用对其影响较小，因此在抗震设计与验算中可以忽略竖向地震作用的影响。但是对于诸如网壳、桥梁等以竖向振型为主的结构，其竖向刚度明显小于水平两向的刚度，所受竖向作用力的改变对结构的影响是明显的。如果忽略竖向地震作用的影响，则不能准确评价结构的抗震性能。因此，进行空间任意方向的最不利入射角度的分析是非常必要的。

3.2弹塑性结构的最不利夹角分析

在强震下，结构将不可避免地进入到弹塑性阶段，其构件刚度及整体刚度具有时变性。因此，传统的结构最不利入射角公式已不再适用。本文认为，在一般的损伤范围内，结构刚度在较短时间间隔内不会发生剧烈改变，因此可以利用结构弹塑性分析软件求出结构在弹塑性状态下的瞬时刚度，再使用弹性阶段内的最不利入射角度的公式计算瞬时最不利入射角度，以便深入了解结构的动力特性和损伤特征的演变过程，为结构地震损伤评估和易损性分析提供更充分的依据。此外，尽管在不同地震波下结构的弹塑性响应在表观上有所区别，弹塑性最不利夹角变化情况也不尽相同，但是其总体规律是类似的，其平均值能够反映结构的损伤演变特征。

由于最不利入射角度公式以振型叠加法为基础，因此需要考虑各向振型的组合问题。本文采用平方和开方的方法考虑各向地震反应量的组合。由于刚度在弹性范围内是常数，所以作用力与地震反应量具有一致性，成正比关系；而刚度与地震反应量成反比关系。当结构进入塑性阶段时，可以假设在极小的时间段内结构是等效弹性的，地震反应量与瞬时柔度δ成正比。分别取x,y和z向前n阶振型的地震反应量计算各向总体反应，有

(12)

4　分析实例

为了验证三维地震动下结构最不利入射角度计算方法及相关结论，本文选取相关算例进行分析。算例1为一个以竖向振型为主的正放四角锥网架，每个网格尺寸均为3200 mm×3200 mm，网架厚度3000 mm，由4个角部的柱子支承，其具体构造如图5所示。其上下弦杆、腹杆均为外径300 mm、壁厚20 mm的圆钢管。对该网架模型输入三向水平地震动，并进行弹塑性分析，求出在地震作用下网壳结构在弹塑性状态下各阶振型对应的周期时变值。根据各阶瞬时周期及模态质量获得各阶振型的等效刚度和等效柔度。根据公式(12)，各方向的瞬时地震反应量取坐标轴各个方向前三阶振型等效刚度的叠加，代入公式(10)和公式(11)可求出瞬时最不利入射角度，以便了解其在弹塑性状态下的变化规律，其中φ角变化和θ角变化分别如图6和图7所示。

图5　网壳结构示意图Fig.5　Scheme of lattice shells

图6　φ角的时程变化曲线Fig.6　Time history curve of φ

图7　θ角的时程变化曲线Fig.7　Time history curve of θ

对图6和7的结果进行分析，可见在初始的弹性阶段内，最不利入射角度的大小是保持不变的，且φ角约为30°，θ角为39°。对于同一结构，坐标轴各个方向的刚度越小，则其各个方向的地震反应量越大，地震反应量越大，越容易发生破坏。由此可见，最不利夹角是偏向地震反应量较大的坐标轴方向。由公式(12)可以求出此模型各个方向的地震反应量比大约为δx∶δy∶δz=1∶0.4∶2，按此比例，在图3中的φ角大小约为32.3°，在图4中的θ角大小约为40.2°。可以看出算例中的φ角和θ角的大小与图3,4中的φ角和θ角的数值基本符合。

当结构进入塑性阶段时，最不利入射角度在不断变化，且与地震动幅值的变化趋势类似，同时φ角变化幅度比θ角的变化幅度大。在8 s后，最不利入射角又与初始弹性阶段的数值相近，说明结构在此地震作用后损伤较轻微。传统的抗震设计均假设竖向地震作用与坐标轴z轴重合，没有考虑θ角的影响。在此算例中可以看出，θ角与竖轴夹角较大，如果将竖向最不利夹角忽略或认为其与竖轴重合，很可能低估了空间结构的竖向地震响应，从而影响结构的安全性。

算例2为跨度为125 m的拱桥，桥面宽24 m，拱矢高度32.5 m，桥墩高度8 m，如图8所示。对该拱桥模型输入三向水平地震动，并进行弹塑性分析，对于瞬时地震反应量，根据式(12)，取坐标轴各个方向前4阶振型叠加。带入式 (10)和(11)，求出最不利入射角度，了解其在弹塑性状态下的变化规律，其中φ角变化和θ角变化分别如图9和10所示。

图10　θ角的时程变化曲线Fig.10　Time history curve of θ

对图9和10的结果进行分析，在初始的弹性阶段内，最不利入射角度的大小是保持不变的，且φ角大小约为49°，θ角约为39°。由公式(12)可以求出此模型各个方向的等效柔度比大约为δx∶δy∶δz=1∶1.2∶0.6。在图3中的φ角大小约为47.6°，在图4中的θ角大小约为61°。可以看出算例中的φ角大小与图3中φ角的数值基本符合，算例中θ角与图4中θ角的偏差稍微大一些。由图10看出θ角比较大，即最不利入射角度与竖向z轴的夹角比较大，这主要是因为竖向振型最早出现在第三阶振型，竖向刚度相对水平两向较大，对结构整体的最不利入射角度的影响相对较小。

当结构进入塑性阶段时，φ角和θ角在4～15 s均出现了突变，表明该拱桥在多维地震动作用下较早地出现了关键杆件的严重损伤，导致结构抗震性能水平急剧下降。此外，当进入塑性阶段时，φ角和θ角的变化具有瞬变性。而在20 s之后，随着地震动幅值减弱，最不利入射角发生微小浮动，并且与初始弹性阶段内的数值相比发生变化，表明该桥在地震后损伤较严重。

综上所述，对于振型以水平两向为主的结构，其最不利入射角度与竖轴的夹角θ会很大，即最不利入射角的方向接近水平方向，这时可以忽略竖向地震作用，只考虑水平地震作用对建筑物的影响；对于以竖向振型为主的结构，则需充分考虑竖向地震作用和θ角的大小对结构的影响。

5　结　论

现有的结构最不利入射角度的计算方法均只考虑平面内两水平地震动，本文论证了弹性力学中平面内点的最大主应力方向的计算与其在力学机理上是相通的。在此基础上，通过推导三维的点最大主应力方向建立了地震沿空间内任意方向输入时的最不利入射角度的计算公式。空间最不利入射角公式的推导可以更加真实地判断出结构在地震作用下最容易发生损伤的方向，为今后的抗震设计以及抗震规范的修订提供了理论依据。此外，由结构弹性最不利夹角推广得到的弹塑性最不利夹角能够反映结构的损伤演变特征。

通过数值分析及有限元模拟可以看出：竖向作用力的改变对θ角的改变是很明显的，在弹性阶段内仅考虑水平方向作用力对最不利入射角度的影响是不全面的。当竖向作用力很大时，对结构的最不利入射角度影响很大，表明对于以竖向振型为主的结构，只考虑水平方向的作用力及二维最不利入射角度是不准确的。现有的抗震设计一般只考虑水平方向作用力的影响，这对于以竖向振型为主的结构(如网壳，桥梁等)显然是不适当的。仅考虑水平作用的影响，无法对结构安全做出正确的判断，所以关于空间最不利入射角度的推导及对其特性和变化规律进行深入研究是非常有必要的。

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Critical angle of structure subjected to three-dimensional ground motion

HANEn-zhen1,HEHao-xiang1,2,LÜYong-wei1

(1．Beijing Key Lab of Earthquake Engineering and Structural Retrofit，Beijing University of Technology,Beijing 100124，China; 2．Beijing Collaborative Innovation Center for Metropolitan Transportation，Beijing 100124，China)

The dynamic responses of the structure are different when the ground motions generate along different directions as excitations, and there exits a critical angle to attain the maximum response. The critical angle calculated based on traditional method is a horizontal angle because only the two-component ground motions in the plane are considered, and the adverse effect of the vertical ground motion is not concerned. The common mechanism between maximum principal stress direction in elastic mechanics analysis and the critical angle of structure in the plane is demonstrated. The expression of maximum principal stress direction in the space is derived and the formula of the structure critical angle for three-dimensional ground motions is proposed. The calculation method of the three-dimensional critical angle for inelastic structure in three-dimensional ground motions is presented based on nonlinear finite element analysis. The characteristics and regularity of the critical angle in three-dimensional ground motions is discussed based on numerical modeling. It is proved that the three-component seismic motion and the corresponding critical angle should be calculated for the structure has obvious vertical modal shapes, and the critical angle of the inelastic structure is transient and is related to the structural damage degree.

multi-dimensional ground motion; critical angle; principal stress direction; inelastic analysis; damage

2014-05-09；

2015-01-15

国家自然科学基金资助项目(51478024); 工程抗震与结构诊治北京市重点实验室重点项目(USDE201403)

TU311.3; TU311.4

A

1004-4523(2016)01-0132-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.017

韩恩圳(1988—)，男，硕士研究生。电话：15652353691；E-mail: hanez123@163.com

何浩祥(1978—)，男，副研究员。E-mail: hhx7856@163.com