一般黏性阻尼振动系统的实空间解耦与自由界面模态综合法*

何　欢, 王　陶, 陈国平

(1.机械结构力学及控制国家重点实验室， 江苏 南京 210016；2.南京航空航天大学振动工程研究所， 江苏 南京 210016)



一般黏性阻尼振动系统的实空间解耦与自由界面模态综合法*

何欢1,2, 王陶1, 陈国平1,2

(1.机械结构力学及控制国家重点实验室， 江苏 南京 210016；2.南京航空航天大学振动工程研究所， 江苏 南京 210016)

一般黏性阻尼振动系统通常可变换到状态空间，利用解得的复模态可以将系统方程解耦，但解耦后的方程是复系数方程，必须在复数域内进行求解。根据所需要保留的复特征解对的特征，通过复特征向量矩阵的线性变换构造了一种新的模态变换关系，利用模态变换矩阵将一般黏性阻尼振动系统的状态空间运动方程变换为解耦的实系数二阶常微分方程。随后，构造了一种与实变换矩阵关于系统矩阵加权正交的向量集，利用这种加权正交的向量集推导系统剩余柔度矩阵时可以避免对系统矩阵进行直接求逆，解决了含刚体模态时的系统剩余柔度矩阵的求解问题。然后，将实空间解耦和加权正交向量集与自由界面模态综合法相结合，推导出了与常规振动微分方程具有相同形式的实系数系统综合方程。最后，通过数值算例验证了方法的有效性。

模态综合法； 黏性阻尼； 复模态； 解耦； 振动

引　言

子结构模态综合(Component Mode Synthesis, CMS)是一种降低模型自由度数的模型减缩方法，被用于提高模型计算效率。早期的CMS方法用于解决无阻尼或比例阻尼系统的模态分析，如Hurty[1],Goldman[2],Mecneal[3]等的研究工作。这些方法要求系统阻尼符合比例阻尼假设，或忽略阻尼的影响。

然而，实际振动系统都有阻尼，且通常都不符合比例阻尼假设，因此上述方法的实际应用受到了很大的限制。Craig和Bampton[4]对传统的比例阻尼系统CMS法进行了改进，提出了适用于一般阻尼系统的约束CMS方法，又称为C-B型CMS方法。Hasselman和Kaplan[5]将C-B型CMS方法提出的方法推广到复数域，在状态空间中通过复模态实现了子结构的模态缩聚，并提出了一般阻尼系统的固定界面复模态综合法。随后，Craig等人[6]在Goldman方法的基础上通过保留系统剩余模态影响改善了综合方程的计算精度，并提出了一般阻尼系统的自由界面复模态综合法。Tournour[7]提出了一种自由界面CMS方法，并且从试验和计算两个角度对几种典型的模态综合法的计算精度进行了比较。Rixen[8]提出了一种新的弱界面协调条件，并对C-B型CMS进行了改进。向锦武[9]将一种实Schur向量引入CMS，将复数域内的综合方程转换到实数域内。陈国平根据系统复模态的性质构造了一种模态转换方法，将解耦后的一阶复系数微分方程组转换成二阶实系数微分方程组[10]。在文[10]的基础上，陈国平和韦勇[11]提出了一种线性阻尼结构振动系统的固定界面CMS方法，获得了实数域内的综合方程。这种综合方程是二阶常微分方程，与常规的振动微分方程具有相同的形式，这使得原本需要在复数域内求解的综合方程可以在实数域内进行求解。何欢和陈国平[12]提出了一种自由界面CMS方法，该方法在剩余柔度矩阵计算过程中避免了对子结构刚度矩阵的直接求逆运算，克服了以往的自由界面CMS方法在处理含刚体模态的子结构系统时遇到的困难。

近年来，大量研究者将CMS方法与其他研究方法相结合，取得了非常丰硕的成果，极大地拓展了CMS方法的应用领域。Besset[13]将CMS和优化分析算法相结合，提出了一种多孔腔体的噪声优化设计方法，极大地提高了优化计算效率。Kim[14]考虑铰链的滑动模态特征，提出了一种含铰链的非线性结构系统的CMS，大幅提高了这种非线性系统动力学模型的计算效率，并通过试验验证了该方法的计算精度。Zhou和Ichchou[15]等利用界面模态计算波投射系数，提出了一种基于CMS的波动有限元法。Mencik[16]结合CMS和波矩阵方程，采用少量弹性模态描述子结构界面的动力学特征，考虑谐波激励条件，计算了界面力的频域响应。Chiello[17]等人将弹性支承和试验件视为2个不同的子结构，利用CMS保留弹性支承的剩余柔度，对整个振动系统进行自由度减缩。他们利用减缩模型分析了弹性支承板的黏弹性特性，并提出了黏弹性板损耗因子优化设计方法。Bouazizi等[18]提出了一种具有鲁棒性的CMS，然后将这种方法应用于局部非线性系统的自由度减缩中，并通过数值算例检验了方法的计算效率和计算精度。Chentouf等[19]提出了一种考虑不确定性影响的累积概率方法，并将这种方法与CMS相结合。Papadimitriou等[20]将CMS与模型修正方程相结合，推导出了减缩修正方程，用减缩模型进行每个修正迭代步的计算，大大提高了模型修正问题的计算效率。Lima和Silva[21]将CMS与增强Ritz基相结合，提高了超大规模黏弹性阻尼系统动力学模型的计算效率。

文[10]提出的实变换方法要求待变换的子结构系统全部特征值必须共轭成对。这意味着这种实变换方法无法对含刚体模态的子结构系统进行变换，因此只能与固定界面CMS方法相结合，而且这种固定界面CMS法也无法处理含有过阻尼特性的子结构系统。本文在文[10]的基础上提出了适用于一般黏性阻尼振动系统的实变换方法。随后，将这种实变换方法与自由界面子结构综合法相结合，提出了一种新的一般阻尼振动系统的自由界面子结构综合法。这种新的自由界面子结构综合法给出的综合方程为实系数二阶常微分方程，与一般振动系统微分方程具有相同的形式。本文方法给出的综合方程中不包含界面自由度，其总自由度数仅仅由子结构保留模态数决定。相比于传统的复模态综合法给出的状态空间中的复系数一阶常微分综合方程，若采用相同的保留模态数，本文方法获得的综合方程总自由度数是传统的复模态综合法的1/2，且能够在实数域内求解。此外，本文方法构造的剩余柔度矩阵很好地保留了原系统的高阶模态特性，这使得本文方法具有很高的计算精度。

1　基本方程和实变换

N自由度一般阻尼结构振动系统的振动微分方程可表示为

(1)

式中M，C和K∈RN×N分别为系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，u和f∈RN×1分别为广义位移向量和载荷向量。

将式(1)转换到状态空间后可得

(2)

令式(2)中右端项为零，解齐次方程可得系统复特征解对。

对一般结构系统(例如，含有刚体模态和过阻尼特征)，计算得到的复模态必定由实特征解对和共轭特征解对构成，实特征根还分为重实根和一对互异的实根两种情况。

设由特征方程解得前l对特征值包含m对共轭成对的复特征值，n对互异的实特征值和k对重特征值。下面根据特征根的不同特点分别进行讨论。

1.1共轭特征解对的实解耦变换

记复特征值矩阵及其对应的复特征向量矩阵为[9]

(3)

(4)

若Yc已经按系统矩阵A归一化，不难证明

(5)

1.2互异实特征解对的解耦变换

对N自由度系统来说，实特征解对自然可以在状态空间中进行实变换。但这种变换与式(5)给出的形式不同，而且变换后的空间仍然是在状态空间中的，不利于减缩变换后的系统规模。为此，对实特征解对，本文提出了与式(5)形式类似的变换方法。

记特征解对中的互异实根构成的实特征值矩阵分别为

(6)

定义

(7)

根据特征向量与系统矩阵的加权正交性可知

(8)

(10)

结合式(7)，(8)和(9)可得

根据式(9)，定义

(12)

(13)

则有

(14)

1.3重特征解对及对应的解耦变换

(15)

(16)

定义

(17)

(18)

定义

引入变换对

(20)

结合式(17)，(18)和(19)可得

(22)

(23)

可得

(24)

1.4实解耦变换

对全部变换对，将式(4)，(14)和(23)所得变换式进行组合，得到总体变换矩阵

(25)

将特征值矩阵重新组合为

(26)

(27a)

(27b)

由式(27)给出的矩阵中的任意一列都是原系统方程解向量或特征向量的叠加，因此，Φ和Ψ仍然是原方程的解。

根据式(5)，(14)和(24)，并结合特征向量之间关于系统矩阵的加权正交关系可得

(28)

(29)

引入一种新的模态变换式

(30)

(31)

将式(31)展开得

(32)

(33)

(34)

与传统的复模态综合法中引入的模态变换得到的复系数解耦方程不同，式(34)是一个实系数解耦方程。此外，式(34)的独立方程数为l个，而复模态变换得到的复系数解耦方程数为2l个，这意味着在相同的保留模态数的前提条件下，采用本文实解耦方法获得的子结构综合方程的总自由度数是传统的复模态子结构综合方程总自由度数的一半。

2　加权正交向量集

(35)

Ψ如式(27a)所示。

(36)

(37)

将式(28)代入式(37)得

(38)

(39)

注意到J-1ΨTAΦ=I，因此有

(40)

将式(29)给出的W=ΨTBΦ代入式(40)，可得

(41)

由于Φ为系统的解特征向量矩阵，因此有

(42)

将式(42)代入式(39)可得

(43)

(44)

Φ如式(27b)所示。采用同样的方法可解得

(45)

类似地可以证明

(46)

3　剩余柔度矩阵与界面坐标

(47)

(48)

式中

(49)

取式(48)的第二式，同时进行Laplace变换可得

(50)

对式(50)进行Taylor展开，取一阶近似，并进行反Laplace变换，得

(51)

将式(51)代入式(47)得

(52)

(53)

式(53)又可分块表示为

(54)

将x沿界面坐标分割，并将式(54)写成分块形式

(55)

式中下标i和j分别表示内部自由度和界面自由度。令fi=0，则式(55)的第二式可表示为

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

将式(61)代入式(58)可得

(62)

(63)

(65)

(66)

4　自由界面子结构综合

不妨设整个系统可划分为a和b两个子结构。对每个子结构可根据式(62)给出界面坐标为

(67)

同样地，给出每个子结构的解耦方程

(68)

子结构a和b的界面连续性条件和界面力协调条件可表示为

(69)

(70)

将式(67)代入式(69)，再结合式(70)，得

(71)

记

得综合方程

(72)

式(72)即为综合后的系统方程。观察式(72)不难看出，得到的方程形式为二阶常微分方程，与式(1)具有相同的形式。传统的复模态综合法得到的综合方程是复系数方程，必须在复数域内进行求解，本文方法由于引入了实变换，式(72)中的全部系数矩阵均为实系数矩阵，意味着可以在实数域内进行求解，这使得方程的求解变得更为简便和快捷。

除此之外，式(72)中不包含界面自由度，极大地减缩了综合方程的规模。从式(72)的推导过程中还可以看出，若所有子结构保留的复特模态数阶数为2n，采用传统的复模态综合法的综合方程总自由度数仍然为2n，而对相同保留模态数而言，采用本文方法得到的综合方程的总自由度数为n。

5　数值算例

如图1所示底部固定的桁架系统，沿对称轴等分为左、右两个子结构。记左半部为子结构1，右半部为子结构2，每个子结构含286个2节点梁单元，共计92个节点，552个自由度。对每个子结构，设阻尼模型Cr=αrMr+ηrKr，α1=α2=1.0(1/s)，η1=1×10-5s，η2=3×10-5s。

图1　底部固定的桁架系统Fig.1　Bottom fixed frame structure

采用本文方法分别取每个子结构的前10对、前20对和前30对低阶模态进行子结构综合，然后从综合方程中计算出系统前20对复模态。本文采用Craig自由界面复模态综合法，取前30对复模态进行计算作为比较。

分别定义特征值的实部误差和虚部误差如下：

图2给出了特征值虚部误差随模态阶数的变化规律，图3给出了特征值实部误差随模态阶数的变化规律。

从计算结果的对比可以看出，根据本文方法对每个子结构各取10对复模态进行子结构综合得到的前11对复特征值具有良好的计算精度，但随着模态数的增加计算精度下降，这是由于各取10对复特征值只能得到具有20个自由度的综合方程，能够求解出的复模态仅有20对的原因。当对每个子结构各取前20对复模态进行子结构综合时，本文方法得到的前20对复特征值计算结果已经与原FE模型计算结果吻合，虚部误差不超过2%，实部误差不超过8%，随着保留模态阶数的增加，本文方法计算精度还会进一步增加，这说明本文方法具有很高的计算精度。通过对比发现，对每个子结构各取前30对复模态进行综合时，Craig方法仅有前10对特征值计算结果误差较小，而且从第10阶开始，特征值实部出现了难以接受的误差。

表1　完全有限元模型计算得到的复特征值(单位：rad-1)

图2　特征值虚部误差随模态阶数的变化Fig.2　Imaginary part errors vary with the mode number

图3　特征值实部误差随模态阶数的变化Fig.3　Real part errors vary with the mode number

对比图2和3可以发现，相比于特征值实部，特征值虚部误差更小，这主要是由于特征值实部通常很小，对于数值计算的扰动非常敏感，容易受矩阵分解、求逆以及综合过程中引入的数值误差的影响，因此误差更为显著。

在图5中的53号点施加X方向激励，分别采用完全有限元模型和本文方法计算53号点和121号点的频响函数。图4和5给出了0～120 Hz频带范围内的幅频特性曲线对比。

图4　第53号测点处的幅频特性曲线对比Fig.4　Comparison of amplitude of FRFs measured at point 53

图5　第121号测点处的幅频特性曲线对比Fig.5　Comparison of amplitude of FRFs measured at point 121

从图中可以看出，取前10阶模态进行子结构综合得到的幅频特性曲线在120 Hz范围内与原系统幅频特性曲线吻合，而采用20阶和30阶模态进行子结构综合得到的幅频特性曲线则可以在计算频带范围内与原系统幅频特性曲线吻合，这与前面给出的特征值对比结论是相符的，也进一步说明了本文方法的准确性。

6　小　结

本文提出一种一般黏性阻尼振动系统的实变换方法，能够将状态空间中解耦的复系数一阶常微分方程组转换为与常规振动微分方程形式相同的解耦的实系数二阶常微分方程组。

然后，采用待保留的复模态构造了与保留模态关于系统矩阵矩阵A和B加权正交的向量集。由于这种向量集与保留模态加权正交，因此不包含刚体模态。这使得推导剩余柔度矩阵时无需直接对系统矩阵B进行求逆，避免了传统自由界面复模态综合法在推导剩余柔度矩阵时对系统矩阵B进行的求逆运算困难。

最后，将实解耦方法与加权正交向量集相结合，推导了一种新的一般阻尼振动系统的自由界面子结构综合法。由于进行了实解耦变换，利用本文方法能够得到与一般振动系统微分方程具有相同的形式的实系数二阶常微分综合方程。相比于传统的复模态自由界面综合法来说，本文方法既降低了综合方程的总自由度数，又可以在实数域内进行求解，提高了计算效率。

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A free interface mode synthesis method for general damping system by using real decoupling transformation

HEHuan1,2,WANGTao1,CHENGuo-ping1,2

(1. State Key Lab of Mechanics and Control for Mechanical Structures, Nanjing 210016, China;2. Institute of Vibration Engineering Research, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

In contrast to most present mode transformation methods in which the first-order state-space equation of the damped vibration system is transformed into a decoupled first-order differential form with complex coefficient matrices, a decoupling method is presented in this paper, for which the equation of the damped system can be decomposed into a system of second-order ordinary differential equations with real coefficient matrices. Next, the weighted-orthogonal vector sets which are weighted-orthogonal to the lower retained modes of the system matrices are constructed. By using the weighted-orthogonal vector sets, the lower retained modes with rigid-body motion are removed from the calculation process, thus making it easier to obtain the residual flexibility attachment matrix without using the inverse of the systemmatrices. Then, the free interface mode synthesis method are presented by using the real decoupled method and the weighted-orthogonal vector sets, and the real coefficients synthesis equation which has the same form as the ordinary differential equation of a vibration system is obtained. Finally, the accuracy and validity of this component mode synthesis method are demonstrated by numerical examples.

mode synthesis; viscous damping; complex mode; decouple; vibration

2014-04-02；

2014-12-24

国家自然科学基金资助项目(11472132)；中央高校基本科研业务费资助项目(NS2014002)；机械结构力学及控制国家重点实验室(南京航空航天大学)自主研究课题资助项目(0113Y01)；江苏高校优势学科建设工程资助项目

O321； TB123

A

1004-4523(2016)01-0008-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.002

何欢(1978—)，男，副教授。电话:13913865435; E-mail:hehuan@nuaa.edu.cn