有限尺寸V型薄板功率流透射损失研究*

汤　冬, 庞福振,3, 王青山, 姚熊亮

(1.哈尔滨工程大学船舶工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001； 2.哈尔滨工程大学机电工程学院， 黑龙江 哈尔滨150001；3.中国人民解放军92857部队, 北京 100007)



有限尺寸V型薄板功率流透射损失研究*

汤冬1, 庞福振1,3, 王青山2, 姚熊亮1

(1.哈尔滨工程大学船舶工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001； 2.哈尔滨工程大学机电工程学院， 黑龙江 哈尔滨150001；3.中国人民解放军92857部队, 北京 100007)

基于薄板理论，采用回传射线矩阵法研究了两对边简支任意角连接有限尺寸V型薄板的功率流透射损失。引入对偶坐标系，在力作用点和板接缝处对结构进行离散，同时考虑弯曲波动与面内波动效应，根据结构连接处的位移协调条件、力平衡条件以及两端边界条件得到V型薄板结构的散射矩阵。根据对偶坐标系的内在物理关系得到整体相位矩阵，最后推导出结构的回转射线矩阵。在此基础上，建立了V型薄板结构的动态响应分析模型以及功率流分析模型，通过对简谐点激励力作用下结构的动态响应进行对比分析，证明回传射线矩阵法具有很高的求解精度与求解效率。最后，分析了V型薄板结构功率流传导问题，研究了不同角度、不同板厚和不同阻尼损耗因子的V型薄板的功率流透射损失变化规律。

结构动力分析； 功率流； 透射损失； V型薄板； 回传射线矩阵法

引　言

薄板结构(板厚与短边比小于0.05)由于其经济性和适用性而在桥梁建筑、水利工程、航空航天、船舶与海洋和土木建筑等结构工程领域具有广泛的工程应用背景。工程中很多主体结构都是由两块或多块薄板连接而成，作用于结构上的振源激励通过连接板结构向振源以外的其他区域传递，引起结构局部振动并向外辐射噪声，严重影响结构的使用性能以及人员的正常工作，因此，研究结构振动在连接板结构中的传递特性具有重要意义。

薄板的振动问题是一个经典的结构动力学问题[1-4]，Kirchhoff[2]首先提出了一个完整的薄板振动理论，并得到广泛认可。尽管后人在其基础上提出了更为精确的板壳理论，但是，基于这些理论所建立的方程的求解难度也相应增加，然而，对于绝大部分涉及到薄板结构的工程技术问题，运用Kirchhoff薄板理论就可以得到足够准确的结果。

目前，有关连接板结构的研究主要关注L型板的动响应与功率流传递问题[5-11]，而研究V型板结构动响应的文献相对较少。Yuanming Lai等[12]用分段函数(Step Function)对V型板结构进行了动响应分析，并给出了该结构自由振动的频率方程，与FEM计算结果一致。Amin Paykani等[13]利用有限元软件ABAQUS分析了V型板结构在水雷爆炸载荷下的动响应。

虽然L型板在工程实际中具有广泛的应用，但是，在诸如船体舷侧外板与各层甲板连接处和船体底龙骨或底部纵桁与船体外板连接处的很多地方会涉及到V型板。由于连接角度的不同，V型薄板面内波与面外波在板接缝处的耦合关系与L型板存在差异，研究V型薄板功率流透射损失能将连接板结构的动力性能研究推向更一般的情况，从而具有重要意义。

对于任意角连接的V型薄板结构，理论求解十分困难。常用的数值方法有有限元法(FEM)，边界元法(BEM)和统计能量法(SEA)等，其中，FEM在工程实践中有着最为广泛的应用。除了上述数值方法以外，传递矩阵法(MTM)[14]是求解连接结构最有效的方法之一，针对MTM数值不稳定的缺点，Howard和鲍亦兴[15]提出了一种改进的MTM——回传射线矩阵法(MRRM)。

FEM的特点是单元离散化，计算结果近似性和适用范围宽广，然而，不能直观反映结构内部的物理现象。与FEM的近似性不同，MRRM是一个具有鲜明物理意义的半解析半数值方法。首先，MRRM基于结构动力学方程得到结构响应的波动解；其次，通过在结构构件两端建立对偶坐标系，一方面避免在矩阵中出现大指数项，保证了数值计算的稳定性，另一方面将结构中的波分为入射波和出射波(到达波和离开波)，从而赋予结构中波动响应明确的物理意义；再者，MRRM采用矩阵列式和矩阵运算，具有列式统一，便于推广应用的特点；最后，MRRM通过Fourier变换计算结构的频域响应，在Fourier逆变换中运用Neumann级数展开代替矩阵求逆，消除了矩阵奇异性的影响，可以精确计算短时瞬态波在结构中的传播[16]。近年来，MRRM在结构动力分析领域得到广泛应用[17-19]。

本文基于Kirchhoff薄板理论，采用MRRM研究了两对边简支任意角连接的有限尺寸V型薄板功率流透射损失。首先，用波动法求解两对边简支的Kirchhoff薄板运动微分方程，并将方程的解表示成矩阵的形式，得到薄板位移状态向量和力状态向量与到达波幅值向量和离开波幅值向量之间的关系。然后，将V型薄板在激励力作用点和板接缝处进行离散，形成3块板和4条节线，并在各节线处建立对偶坐标系，通过节线处的位移连续和力平衡条件得到各节线处的散射矩阵，并组装得到总体散射矩阵，通过总体到达波幅值向量和离开波幅值向量的关系得到总体相位变换矩阵和置换矩阵，由此得到回传射线矩阵。结合边界条件求出总体到达波幅值向量和离开波幅值向量，代入位移状态向量和力状态向量的表达式中得到V型薄板的动响应，并以此计算V型薄板功率流及透射损失。最后，本文以两对边简支，另外两对边自由的V型薄板为例，研究了不同角度、不同板厚和不同阻尼损耗因子的V型薄板的功率流透射损失变化规律。

1　理论推导

1.1V型薄板受力分析

V型薄板是由两块薄板在板接缝处以角度θ连接而成，如图1(a)所示。在板中任取一个微元，其面内和面外受力分析分别如图1(b)和(c)所示。

图1　V型薄板几何模型和受力分析图Fig.1　Schematic diagram of the geometry and internal forces of the V-shaped thin plate

根据薄板单元受力平衡和广义Hooke定律以及薄板单元的应变位移关系可以得到作用在以x轴方向为法向的平面上薄板内力和薄板面外位移w、面内纵向位移u和面内切向位移v之间的关系如下[8, 20]：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中E为薄板材料弹性模量，μ为泊松比，h为薄板厚度，D=Eh3/[12(1-μ2)]为薄板弯曲刚度；w为薄板面外位移，u为薄板面内纵向(沿x轴方向)位移，v为薄板面内切向(沿y轴方向)位移；Qx为由弯曲作用产生的沿薄板平面法向的剪力，Nxx和Nxy分别为薄板面内沿x轴方向的正应力的合力和沿y轴方向的剪应力的合力，Mx为薄板所受的绕y轴的弯矩，Mxy为薄板所受的绕x轴的扭矩，Vx为由弯曲和扭转作用产生的沿薄板平面法向的总剪力。

1.2薄板运动微分方程及其解

根据薄板单元的受力分析和广义Hooke定律以及薄板单元的应变位移关系可以得到薄板面外运动、面内纵向运动和面内剪切运动微分方程分别为[21]：

(7)

(8)

(9)

对于受到简谐激励的两对边简支板，上述面内和面外位移方程的解可以表示成y轴方向固有模态与x轴方向行波解的乘积形式[20, 21]：

(10)

(11)

(12)

将式(10)分别对x和y求偏导，得到薄板剖面绕y轴和x轴的转角φx和φy，其表达式为：

(13)

(14)

若不考虑简谐时间因子eiωt，由式(10)～(13)可以将位移状态向量表示成矩阵形式

(15)

将式(10)～(12)代入式(2)～(4)和(6)可以得到Nxx，Nxy，Mx和Vx的表达式：

(19)

同理，若不考虑简谐时间因子eiωt，由式(16)～(19)可以将内力状态向量表示成矩阵形式

(20)

1.3MRRM求解任意角V型薄板

受简谐点激励作用以角度θ连接的两对边简支V型薄板如图2所示。

图2　V型薄板几何模型Fig.2　Geometry model of the V-shaped thin plate

在对V型薄板进行动力响应分析时，将V型薄板在板接缝处分成两块薄板，分别对两块薄板进行受力分析，通过板接缝处的位移连续条件和力平衡关系确定两块薄板的动力耦合关系。按照回传射线矩阵法的思想[16]，在V型薄板板接缝处和激励力作用点处进行离散，将V型薄板分成3块板，形成4条节线，如图3所示。

图3　V型薄板离散图及其对偶坐标系Fig.3　Discrete model and a dual local coordinate system of the V-shaped thin plate

1.3.1散射矩阵

对于节线3，由位移连续条件可以得到如下关系：

(21)

(22)

(23)

(24)

由式(21)～(24)可知，对于任意阶模态m都有

(25)

即

(26)

由力平衡条件可以得到如下关系：

(27)

(28)

(29)

(30)

由式(27)～(30)可知，对于任意阶模态m都有

(31)

即

(32)

式(25)和(32)可以表示为

d3=S3a3

(33)

式中d3，a3和S3分别为节线3处的离开波幅值向量、到达波幅值向量和散射矩阵，其表达式为：

对于节线2，由位移连续条件可以得到如下关系：

(34)

(35)

(36)

(37)

由式(34)～(37)可知，对于任意阶模态m都有

(38)

即

(39)

由力平衡条件可以得到如下关系：

(40)

(41)

(42)

(43)

sin(kyy)，其中ky=mπ/Ly。

由式(40)～(43)可知，对于任意阶模态m都有

(44)

即

(45)

式(39)和(45)可以表示为

d2=S2a2+s2

(46)

式中d2，a2，S2和s2分别为节线2处离开波幅值向量、到达波幅值向量、散射矩阵和波源向量，其表达式为：

下面讨论V型薄板在节线1和节线4处的边界条件。

若V型薄板在节线1和节线4处为无限长，则节线1和节线4处为无反射边界条件。对于局部坐标系(oxyz)12，板1-1中只有沿x12轴负向传播的波，对于局部坐标系(oxyz)21，板1-1中只有沿x21轴正向传播的波；对于局部坐标系(oxyz)43，板3中只有沿x43轴负向传播的波，对于局部坐标系(oxyz)34，板3中只有沿x34轴正向传播的波。即

(47)

(48)

若V型薄板在节线1和节线4处为自由边界，则有

(49)

即

(50)

若V型薄板在节线1和节线4处为刚性固定边界，则有

(51)

即

(52)

若V型薄板在节线1和节线4处为简支边界，利用回传射线矩阵法也可以求解，只是需要将位移状态向量和力状态向量进行重新组装，本文将不考虑这种边界条件。

通过上述分析得到了节线1～4处的局部散射矩阵S1,S2,S3和S4，现将局部散射矩阵组装成总体散射矩阵。

结合式(33),(46)和(50)或(52)，V型薄板结构的总体散射关系为

dz=Szaz+sz

(53)

式中dz，az，Sz和sz分别为总体离开波幅值向量、总体到达波幅值向量、总体散射矩阵和总体波源向量，其表达式为：

1．3．2相位矩阵和置换矩阵

在任意一块板中的同一个波，既是左(右)节线的离开波，也是右(左)节线的到达波，两者的振幅相等而相位不同。在板1-1中，离开波与到达波幅值相位满足如下关系：

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

式(54)～(57)和式(58)～(61)可以分别表示成：

(62)

(63)

式中L12为节线1和节线2之间的距离;a12，d12，a21和d21分别为节线1和节线2处的到达波和离开波幅值向量;P(x)为节线处离开波与到达波幅值向量的相位变换矩阵，其表达式为：

同理可知板1-2中离开波与到达波幅值向量的相位满足如下关系：

(64)

(65)

板2中离开波与到达波幅值相位满足如下关系：

(66)

(67)

由此可得离开波与到达波幅值的总体相位满足如下关系

(68)

(69)

结合方程(68)和(69)可得

az=PUdz

(70)

联立方程(53)和(70)可得

(I-SPU)dz=sz

(71)

式中R=SPU为V型薄板结构回传射线矩阵。

由方程(71)可以求出整体到达波幅值向量

(72)

结合式(70)和(72)可以求出整体离开波幅值向量

(73)

将整体离开波幅值向量和整体到达波幅值向量代入前面所述的位移状态向量和内力状态向量中，即可求出V型薄板任意位置处的位移和内力。

2　数值计算

2．1模态截断数的确定

为了保证求解结果的收敛性和准确性，需要确定计算过程中所需的模态截断数，从而需要研究不同频率范围内V型薄板的模态密度。研究表明：V型薄板的模态密度近似等于每块薄板的模态密度之和[22]，而在低于给定频率ω的范围内，平板弯曲振动的模态数为[23]

(74)

式中kB=(ω2ρh/D)1/4为平板弯曲波数，S为平板表面积。由式(74)可知板中弯曲波、纵波和剪切波收敛所需模态截断数分别为[8]：

(75)

(76)

(77)

2．2回传射线矩阵法(MRRM)和有限元法(FEM)计算结果对比

对于钢质V型薄板，其材料属性和几何参数如表1所示。

表1　V型薄板材料属性和几何参数

其中，在分析阻尼损耗因子的影响以外的其他情况，阻尼损耗因子均取值η=0。

在板1中心点作用单位简谐力，分别用MRRM和FEM计算θ分别为π/3，π/2和π时V型薄板的动响应，将上述两种方法计算得到的板1中心点和板2中心点位移响应进行对比，如图4所示。

图4　有限元法(FEM)和回传射线矩阵法(MRRM)计算结果对比Fig.4　Comparison of the calculation results from FEM and MRRM

图4中(a)和(b)，(c)和(d)以及(e)和(f)分别给出了θ=π/3，θ=π/2和θ=π时用有限元软件ANSYS(14.5版本)和MEEM计算在板1中心点受单位简谐力激励的无阻尼V型薄板板1和板2中心点的垂向位移响应。从图中可以看出，回传射线矩阵法(MEEM)计算V型薄板在简谐点激励下的计算结果与有限元法(FEM)的计算结果非常吻合。因此，本文所采用的MEEM求解结构动力响应问题具有较高的计算精度。

同时，针对同一V型薄板参数(如表1所示)，采用MRRM和FEM求解时间分别列于表2。

表2　MRRM和FEM计算时间对比

其中,m是y轴方向的模态数，Num是指网格单元数量。

通过表2的对比可以发现，MRRM求解V型薄板结构响应所耗时间明显小于FEM计算耗时。此外，MRRM计算耗时对y轴方向的模态数变化不敏感，而FEM计算耗时对网格单元数量的变化较为敏感。

2．3V型薄板中功率流透射损失的计算

当外界激振力随时间以简谐规律变化时，V型薄板中功率沿板长度方向上的分布为[8,24-26]

(78)

式中符号*表示复数取共轭，Re表示复数取实部。

本文通过计算板1距离板接缝0.5 m(即x32=0.5)处的入射功率P1和板2距离板接缝0.5m(即x34=0.5)处的透射功率P2，得到V型薄板接缝处的功率流透射损失(TL)

TL=10lg(P1/P2)

(79)

V型薄板接缝处的功率流透射损失表征了板接缝对V型薄板中功率传导效率的影响。

2.3.1无限长V型薄板功率流透射损失

图5(a)表明，不同角度无限长V型薄板功率流透射损失的差异随着频率的增加而增大，当频率低于150Hz时，不同角度无限长V型薄板功率流透射损失的峰值和谷值所对应的频率是一致的，而当频率高于150Hz时，不同角度无限长V型薄板功率流透射损失的峰值和谷值所对应的频率有所不同。这是因为在低频范围内，面内波影响有限，V型薄板中功率流透射损失主要以面外波为主；随着频率的升高，薄板中波长减小，V型薄板连接处面内波与面外波的耦合效果增大，从而导致透射损失峰谷值产生偏移。

图5　不同角度无限长V型薄板功率流透射损失Fig.5　TL of power flow through an infinite V-shaped plate coupled with various angles

当θ在π/6～5π/6范围内时，无限长V型薄板功率流透射损失差异不大，而当θ为π/36和π时，无限长V型薄板功率流透射损失差异明显，说明V型薄板夹角接近0和π时，无限长V型薄板功率流透射损失对角度变化敏感，而在π/6～5π/6的较大角度范围内，无限长V型薄板功率流透射损失对角度变化不敏感。图5(b)表明，在非峰谷值区，无限长V型薄板功率流透射损失随V型薄板夹角的增大而减小。由此说明，V型薄板夹角越大，越有利于板中功率流的透射。

2.3.2有限长V型薄板功率流透射损失

下面以两对边简支另外两对边自由的有限长V型薄板为例，用MRRM研究V型薄板夹角、厚度和阻尼损耗因子等参数对其功率流透射损失的影响。

2．3．2．1V型薄板夹角对功率流透射损失的影响

图6(a)表明，当θ≤π/6时，不同角度V型薄板功率流透射损失存在一定差异，且θ越小，该差异性越明显。同时，随着频率的增加，同一夹角的V型薄板功率流透射损失的差异性也增大；图6(b)表明，当π/6≤θ≤5π/6时，不同角度V型薄板功率流透射损失随频率的变化规律趋于一致，尤其是在较低频段(180Hz以下)，其变化规律基本一致，而在较高频段(180Hz以上)，其变化规律开始存在偏差，但偏差不大； 图6(c)表明，当θ≥5π/6时，θ越大，不同角度V型薄板功率流透射损失差异性越明显，而且随着频率的增加，该差异逐渐增大。

图6　不同角度有限长V型薄板功率流透射损失Fig.6　TL of power flow through a finite V-shaped plate coupled with various angles

由此说明V型薄板连接处面内波与面外波的耦合效果与V型薄板夹角有关。在夹角较小和较大时，V型薄板连接处面内波与面外波的耦合效果十分显著。

2.3.2.2V型薄板厚度对功率流透射损失的影响

图7表明，不同厚度V型薄板功率流透射损失的变化规律差异较大。V型薄板板厚越薄，其在板接缝处的功率流透射损失越大，功率流透射损失峰值也越密集，而且，功率流透射损失峰值向高频段偏移的特性也越明显。

图7　不同厚度有限长V型薄板功率流透射损失Fig.7　TL of power flow through finite V-shaped plates of different thickness

这表明V型薄板板厚越小，结构固有频率越高，V型薄板中功率流透射损失也呈现峰谷密集出现这一高频特征；同时，V型薄板板厚越小，V型薄板中面内波与面外波耦合效果越好，越有利于V型薄板中功率流透射。

2.3.2.3V型薄板阻尼对功率流透射损失的影响

图8表明，阻尼对V型薄板功率流透射损失影响比较显著。在较低频段，阻尼越大，V型薄板在板接缝处的功率流透射损失也越大，但是，随着频率的增加，不同阻尼V型薄板在板接缝处的功率流透射损失逐渐趋于相同，且与无阻尼V型薄板在板接缝处的功率流透射损失基本相同， 即阻尼对低频段V型薄板功率流透射损失影响较大，随着频率的增加，该影响逐渐减小。

图8　不同阻尼有限长V型薄板功率流透射损失Fig.8　TL of power flow through finite V-shaped plates of different damping

这说明，在较低频段，V型薄板中波长较大，功率流分布不均匀，因此，在板接缝处的功率流透射损失波动也越大；随着频率的升高，薄板中波长减小，功率流分布趋于均匀，在板接缝处的功率流透射损失波动也趋于相同。

3　结　论

本文基于Kirchhoff薄板理论，用波动法求解了两对边简支边界条件下的薄板运动微分方程，并用回传射线矩阵法(MRRM)研究了V型薄板在简谐点激励力作用下的振动响应，并与有限元法(FEM)进行对比，得到了一致的结果。在此基础上计算出V型薄板的功率流，进而得到了V型薄板板接缝处的功率流透射损失。然后，基于上述研究，本文分析了V型薄板夹角、板厚度和阻尼损耗因子等参数对V型薄板板接缝处的功率流透射损失的影响，得出如下结论：

(1)V型薄板连接处面内波与面外波的耦合效果与V型薄板夹角有关；在夹角较小和较大时，V型薄板连接处面内波与面外波的耦合效果十分显著。

(2)V型薄板板厚越小，V型薄板中功率流透射损失呈现出峰谷密集的特征；同时，V型薄板板厚越小，V型薄板中面内波与面外波耦合效果越好，越有利于V型薄板中功率流透射。

(3)阻尼对低频段V型薄板功率流透射损失影响较大，随着频率的增加，该影响逐渐减小。在较低频段，阻尼越大，V型薄板在板接缝处的功率流透射损失也越大，但是，随着频率的增加，不同阻尼V型薄板在板接缝处的功率流透射损失逐渐趋于相同。

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Research on transmission loss of power flow through a finite V-shaped plate

TANGDong1,PANGFu-zhen1, 3,WANGQing-shan2,YAOXiong-liang1

(1.College of Shipbuilding Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China;2.College of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China；3.92857Army of PLA, Beijing 100007, China)

Based on the Kirchhoff thin plate theory, the method of reverberation ray matrix (MRRM) is employed to study the transmission loss of power flow through a finite V-shaped plate. The V-shaped plate is supposed to be simply supported at two opposite edges and coupled with an arbitrary angle at the joint. Both of the effects of the flexural and in-plane waves are concerned. The V-shaped plate is discretized into different parts at the excitation point and the joint. A dual local coordinate system is established for each part of the discretized model. Accordingly, the scattering matrix of the V-shaped plate is obtained from the continuity and equilibrium conditions at the joint and the boundary conditions at each end. Subsequently, the phase matrix is derived from the inherent relations among the variable vectors expressed in the dual local coordinate system. Then the reverberation matrix of the V-shaped plate is derived. Therefore, a model for dynamic response analysis of the V-shaped plate is established. Then the dynamic response of a V-shaped plate subjected to a harmonic point force is analyzed by MRRM, and the calculation results are compared with those obtained by FEM. It is found that MRRM is of high accuracy and efficiency. Finally, power flow of the V-shaped plate is calculated, and the effects of coupling angle, plate thickness and damping loss factor on transmission loss of power flow through the V-shaped plate are also investigated.

structural dynamic analysis; power flow; transmission loss; V-shaped plate; method of reverberation ray matrix

2014-06-06；

2015-07-03

国家自然科学基金资助项目(51209052)；黑龙江省青年科学基金资助项目(QC2011C013)；哈尔滨市科技创新人才研究专项资金资助项目(2011RFQXG021)；上海交通大学海洋工程国家重点实验室基金资助项目(1307)；中央高校基本科研业务费资助项目(HEUCF40117);国防预研项目(4010403010103)

O342; TB532

A

1004-4523(2016)01-0112-11

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.015

汤冬(1991—),男, 博士研究生。电话：15764508298；E-mail：tangdong@hrbeu.edu.cn