数学活动：智慧课堂的催化剂

于　蓉

(扬州市育才小学，江苏 扬州 225001)



数学研讨

数学活动：智慧课堂的催化剂

于蓉

(扬州市育才小学，江苏 扬州 225001)

小学数学教育的价值在于传承数学的精神与思想方法，增长儿童的智慧，因数学精神和思想方法的潜隐性和儿童思维的层次性，数学活动成为儿童与数学之间的催化剂。这里数学活动的概念是狭义的，它的起点让每个儿童都拥有信心，它的内核应是数学美，循着创造的线索让儿童经历自由而独立的探索过程。教师在组织活动时应把握具象与抽象、思考与表达、独立与合作的平衡，保证数学活动的效益。

数学活动；数学精神；数学思想方法；儿童；平衡

“儿童”和“数学”是小学数学教育的两个核心词。多年来笔者一直在思考这两个问题：数学课堂中，儿童的主体性如何体现？儿童的学习活动中，数学的教育价值又如何体现?在实践中笔者找到了这两个核心词的联结点：数学活动。下面结合具体的教学实践谈自己的思考。

一、小学数学教育的价值在于传承数学精神和思想方法，增长儿童的智慧

究竟为什么而教，是教师的数学观念体现，也是数学教学的方向性原则，在数学教学原则中处于最高层次，如果方向错了，教育教学也只能在低层次徘徊。数学教育的目标是什么？从2001版的课程标准到2011版的课程标准，数学课程的目标从双基变成了四基，正在进行的课程改革提出培养学生的核心素养，当下有多处学校开展全课程的研究，并有几所师范院校从2015年起开始培养全科教师……这些变化意味着小学的数学教育教学不仅关注学生能力的培养，更关注知识、能力、态度或价值观等方面的融合，发展儿童的综合能力以及非认知素养。

小学数学课程的价值与意义又在何处？米山国藏指出：只是把数学上的定理当作单纯的知识来讲授，则大多数学生在以后的生涯中没有机会使用它，并在学后不到一年就忘掉了。能让学生学会发明、发现、创造的种种方法、种种方针的着眼点和种种的法则，能培养锻炼学生的应用能力、逻辑推理能力、想办法的能力……使他们终身受益，使他们一遇到问题，能随机应变。[1]简单地讲，在数学教育教学中能够影响学生将来生活的，不是数学内容的本身，而是蕴含在内容中的数学精神、数学的思想方法，即通过数学精神、思想方法的渗透增长儿童的智慧。

数学精神，贯穿在数学发展的整个过程中，是在过程中逐渐形成的价值观念与行为规范。小学数学教学内容中也有机会让儿童感受数学的应用化精神、统一性精神、组织化系统化精神、思想经济化精神、研究发明发现的精神、严密化精神……数学精神活动蕴于解决实际问题的过程中。例如：数字符号、运算符号、字母符号的运用，可以简洁而准确地记录活动，显现思维过程，帮助儿童进行复杂的精神活动，长此而往，儿童的思维与生活必然会受到数学的求简精神的影响。数学精神可以贯穿在学生知识结构的丰盈中。例如：由于计数的需要，自然数产生了；当被减数小于减数时，为保证基本运算可以无限制地进行，人们创造了负数；当在测量中不能用整数表示测得结果时，人们引入了分数、小数……在满足人类生活的需要、去除限制的过程中，人们逐渐将数学内容构成了一个精巧的体系。儿童了解数学发展、创造的过程，感悟数学的组织方式，有利于其在数学系统化精神的影响下，提升组织才能，积累未来文明社会发展需要的素养。

数学思想方法是对数学知识的本质认识。在小学数学教学中接触的数学思想方法主要有模型思想、推理思想和抽象思想，由此展开又有不同的分支，如认识数时，可以为数在数轴上找到合适的位置，儿童能在数形结合中进一步理解数的意义；在探索图形面积时，可以将所求图形转化为熟悉的图形，探索转化前后两个图形之间的关系，感悟化归思想带来的解题路径；在探索数、形等规律时经历猜想、验证、归纳的过程，感悟归纳思想。只要教师有心，都可以在教学内容明线下找到另一条线索：数学思想方法，指导解题与思考的过程。

在数学教学中，只有当教师关注数学内容中的数学精神和数学思想方法，并有意识地让学生意识到数学中隐藏的这些力量，才有可能在学生的思维、观念上留下数学的痕迹，提高作为社会人推动社会发展的基础素养，这才是数学教育的价值所在。

二、向儿童传递数学精神与思想方法的最佳方式是数学活动

蒙台梭利指出：儿童对于活动的需要几乎比食物的需要更为强烈。让儿童在活动中学习既重视了儿童在数学学习过程中能力的提升与完善，又释放了儿童的天性，满足其好奇心，促使他使出全部的精力探索未知，促进情感、态度、价值观的形成。以下两点是关注儿童所参与的数学活动的重要原因。

1.由数学精神与思想方法的潜隐性决定

作为过程性知识的最高形态，数学精神和数学思想方法包含两种特征成分：一是技术性成分，主要指抽象、推理、概括、化归、推广及应用的各种意识；二是哲学性成分，主要指经过提炼、升华形成的信念，它能给所有反思提供方向和力量。[2]两种成分决定数学精神和数学思想方法是潜隐在数学学习过程中、数学知识的理解中，决不可以通过讲授、告知完成，而是需要在儿童的自我活动过程中积淀、内化，渐进地获得。

2.由儿童思维的层次性决定

运用数学知识促进儿童的发展，是数学课堂重要的目标，它包括对学习主体儿童的认识和对儿童数学思维的理解。数学教育家斯托利亚尔指出，数学活动可以分为三个阶段：(1)借助于观察、试验、归纳、类比、概括积累事实材料；(2)由积累的材料中抽象出原始概念和公理体系，并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论；(3)应用理论。[3]活动的阶段性反映了儿童思维发展的路径与层次性，体现在数学思维活动中则是经验材料的组织化、数学材料的逻辑组织化、数学逻辑结构的现实还原过程，儿童只有经历这样的过程，才能逐渐触摸数学的本质与核心，获得智慧启蒙。

数学智慧潜隐在过程中，儿童认知需在经历中激活、提升，儿童与数学的邂逅，数学活动是必经的桥梁。如果将数学比作一个好的食材，要将这食材变成儿童喜欢的美味，必须经过数学活动化的过程，否则，数学犹如在儿童世界外面的陌路人，彼此没有关系，更为可怕的是，让儿童以为这是一个不可以理喻的妖魔。

三、数学活动应契合儿童的思维特点与心理需求，体现数学的美与创造

不同视角下对数学活动内容的定义是多样的，这里的数学活动应该是狭义的，应该具有以下几点特质。

1.数学活动的内核应是数学美

教师对数学教育目标理解的不同，数学活动则显现为不同的状态。一是强制性的活动，关注知识的传授与技能的形成；二是道德约束下的活动，重在思维的训练与能力的提升；三是被学科魅力吸引的自我探索的活动，重在活动经验的积累、智慧的感悟与儿童作为人的发展。数学具有神秘美和形态美，数学活动应凸显数学的美，用数学的魅力维持活动的秩序、满足儿童的好奇心与求知欲，享受数学学习的过程。如教学分数乘整数时，通过猜一猜正方形后面藏着是什么，让孩子关注不变的是数，变化的是计数单位，发现分数乘整数的道理与整数乘法是相通的，在沟通算法联系的过程中，学生感悟到不同现象下的统一性，被数学的神秘美所震撼；又如，在学习乘法分配律时，儿童在探索规律、表达规律的过程中，逐渐接近规律的本质，其中用文字表达规律与用字母表达规律的对比，则让儿童感受到数学的形式美。类似的例子还有很多，当儿童运用已有的经验自觉重建、扩展自己的认知结构，构建联系，自然在理解、思辨的过程中感悟数学的美与力量，从而具有学习、探索的精神动力。

2.数学活动的起点应让每个儿童都拥有信心

当组织儿童参加一个活动时，应让每个儿童都能顺利地参与其中，并在过程中渐入佳境，从不同的层次、不同的角度获得对数学的领悟。例如，在探索三角形三条边之间的关系时，为儿童提供不同长度的小棒，让他们拼一拼，填一填，每个孩子都可以进行操作，在操作中都能获得数据，当收集的数据呈现时，有的孩子能意识到三条边数据之间有关系，但不能表述出发现的关系；而有的孩子不仅能发现关系，还能用语言完整地表述出来，孩子就在分享中丰富观察、分析问题的视角。让每个儿童在活动前拥有信心，不仅需要为儿童提供可操作、尝试的物质材料，解决问题的常用思路与策略，还需要用开放性的问题引领探索的方向，让每个儿童在活动中都有机会从个体的角度说出发现和思考。

3.数学活动的线索应是儿童的创造

费赖登塔尔认为数学教学的核心是“再创造”，即教师向学生提供充分从事数学活动的机会，让他们在实践与创造中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思维和方法。数学活动以儿童的创造为线索，不仅可以让儿童感受到发现的乐趣，破除数学的僵化，形成数学是一种人类活动的观念，也在体验数学研究的过程中发挥想象力和创造力，增强对数学的理解，获得精神的动力。如在教学“百分数的认识”时，活动的线索是“怎样比较男生和女生哪个组投球准”。让儿童在比较投球总数、总人数都不可以达到目的的情况下，尝试比较总数的相差数、投球总数与人数的比率……最终在讨论、比较和交流中，认可儿童创造合理性的基础上引出百分数。创造的过程中，学生感受到百分数的意义与存在的价值，体悟到数学概念的产生是来自于人类的需要和想象中的，为他们之后的创造孕伏了信心与方向。[4]

4.数学活动的空间应留有自由和独立

数学家克莱因指出：留给学生自由活动的空间，他获得的就不仅仅是一个数学问题的解决、一种数学方法的掌握，而是一个从整体意义上对数学活动的领悟。如：教学两位数加一位数时，刚出现例题就有孩子因为24+9等于33还是35产生争论，此时，需要教师放弃预定的教学，留给儿童创设自由、独立的思考空间，清晰、证明、暴露自己的思考，再来讨论。此时的交流会充满不同个体的声音，儿童在活动中不仅获得认知的提升，非认知素养也在潜移默化地形成。儿童的自由和独立是合作活动的基础，是分享交流的前奏。在数学活动中儿童拥有自由和独立的空间，可以脱离同伴和教师的任何帮助和暗示，独自实践和思考，形成富有个性色彩的认识和想法。即使没有更好的想法，困顿解脱时亦能感受数学的美与智慧；若自己的想法得到同伴的认可、与数学本质接近，则挑战、冒险的勇气得到增加，激发了继续探究数学的兴趣。

数学活动中应为儿童提供丰富、直观、具有生成性的背景材料，为儿童提供观察、实验、操作、猜想、归纳、验证的机会，重要的是儿童有自由独立的时间与空间，能够在多样化的活动中深度思考，能适度控制自我参与活动的节奏，在停留、试错、顿悟中获取丰富的过程性知识，同时，在自由探索、思考的过程中，体悟数学自由的本质。

四、在数学活动的组织中，教师的平衡智慧是数学活动效益的保证

作为课堂教学中的主导者，教师需充分运用实践性智慧设计、组织数学活动，将美好的想法变成现实。平衡，是教师进行数学活动组织中的重要智慧，是数学活动效益的保证。

1.具象与抽象的平衡

由实践中发现或提出数学问题，在解决实际的具体问题的同时抽象出一般的数学规律，再用演绎推理的方法推演出更多的结论，将所得的数学真理或结论(以公式、定理的形式)再应用于更广泛的领域，这是数学的聪明所在。所以，数学学习强调实践活动，但并未止于实践。儿童在活动中建立的具象是起点，而抽象、概括是终点，如果一直停留在起点，数学活动会变为玩耍，儿童所获得的经验与感悟停留在粗糙、片面的层次，如果直接到终点，高度抽象的数学会让儿童难以理解与接受，在活动中教师需把握从具象到抽象的平衡，让儿童在活动中积累感性的认知，再运用多种思维动作协同进行概括，有层次、渐进地接近数学的本质的同时，感悟数学的一般化精神。

2.思考与表达的平衡

数学活动中，无思考有表达，儿童的表达则没有数学的内涵，言之无物；有思考无表达，数学活动只是增加了儿童的一些经验，放弃了儿童对自己思考进行提炼、梳理和整合的机会。一般情况下，教师会注重通过活动激发儿童的思考、探索欲望，对表达的关注，则引导儿童将思维过程语言化、符号化，自觉进入将粗糙的、零碎的经验与认识进行概括的状态，促进思考，获得对数学的深入理解。把握两者的平衡时教师需给儿童一些指导，如转化、画图、列举、假设等解题策略，用符号、图形、语言等表达方法。在引导儿童口头表达时，可以提供一些常规开场白：我的想法是……大家同意我的想法吗？有谁补充呢？让儿童能自信、完整地阐释自己的观点，学会与他人交流的方式。

3.独立与合作的平衡

图1　小红与妈妈对话情境

在数学活动中，为保留个体原创性的思考、自由想象的空间，激发个体的创造性，儿童需要有独立的时间与空间；为促进思维的碰撞、问题解决的深入、多样观点的融合，需要群体的合作。独立过多，思路与视野难以打开；合作过多，个体的声音会淹没，大部分孩子会在几个前行者的带领下从众。教师需要把握独立与合作的平衡，在合作前等一等儿童确定自己的想法，在合作时鼓励儿童试一试自己的猜想，在合作后引导儿童想一想还有什么问题。为孩子留有独立的时间与空间，让他们在自由状态中确定自己的想法，践行自己的设想，勇敢的质疑，在拥有个人声音的状态下再进入合作和互动，分享、碰撞会有目的、有内容、有方向，当学生浸润在理性思考的过程中时，数学的独特魅力自然绽放。如“用字母表示数”的教学时，出示情境图(如图1所示)，追问孩子：如果用a表示小红的年龄，妈妈的年龄怎么表示呢？教师可以不让儿童交流，而是独自写下自己的思考，不同水平的儿童根据观察能获得不同的信息，让学生写下自己的思考，可以避免受其他人的影响。孩子们想到用一个字母b，或者是6a，a+25。此时再进行交流，评价各人的思考，儿童对字母表示数的价值会更有体悟。

教师运用实践性智慧把握儿童在数学活动过程中的平衡，实质是为了保证儿童经历认知平衡→认知不平衡→认知平衡的过程，在动态中往高层次平衡迈进。例如，从整体上看小学阶段“数”的认识，当认识数字时，儿童会为一个数字能概括出不同物体的相同的量而惊奇；在认识十进制时，只用10个字符可以创造出无限大、无穷多的数而满心欢喜；而当解读二进制时，数学语言在计算机原理中的运用又会引发儿童思考：十进制的价值又在哪里？除了二进制，还会有什么？数学是自由的，是人类的创造，儿童正是在经历平衡、不平衡中走向高处，感悟数学的精神。

综上所述，当教师让活动充满数学的美与创造，在活动中给予儿童自由与探索，数学，则可以成为儿童精神世界的养料；数学活动，则成为理性的数学与天真的儿童之间的催化剂，成为教师送给儿童最好的礼物。

[1] 米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛正中，美素华，译.成都：四川教育出版社，1986：36-37.

[2] 涂荣豹，宁连华.论数学活动的过程知识[J].数学教育学报，2002，11(2)：9-12.

[3] A·A斯托利亚尔.数学教育学[M].丁尔陞，王慧芬，等译.北京：人民教育出版社，1984：108.

[4] 于蓉.让儿童在数学活动中积累经验[J].新课程研究，2015，8：48-52.

[责任编辑：陈学涛]

2016-03-01

全国教育科学“十一五”规划教育部课题(FFB108202)。

于蓉(1971-)，女，江苏扬州人，高级教师，主任。

G633.5

A

1002-1477(2016)07-0049-04

[DOI]10.16165/j.cnki.22-1096/g4.2016.07.013