高三数学综合测试

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一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)

1.已知集合A={x|-1

2.若复数z满足iz=1+i(i为虚数单位)，则z=______.

3.命题“∃x∈R,x2+x+1=0”的否定是______.

5.下面是一个算法的伪代码.如果输出的y值是20，则输入的x值是______.

6.在区间[-1,2]内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是______.

7.在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，则三棱锥P-ABC的体积为______.

8.已知tanα=2且α为锐角，则cosα=______.

9.在平面直角坐标系xOy中，如果直线l将圆x2+y2-4x-2y=0平分，且不经过第四象限，那么l的斜率的取值范围是______.

12.设函数

若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______.

二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

(1)求ω的值；

(2)当-1≤x≤1时，求函数f(x)的最值.

16.(本小题满分14分)在三棱锥P-SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且AB=3，BC=8，CD=5.PA⊥BC.

(1)求证：平面PSB⊥平面ABCD；

(2)若平面PAD∩平面PBC=l,求证：l∥BC.

17.(本小题满分14分)某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m元(其中m为常数，且3≤m≤6).设该工厂黑色水笔的出厂价为x元/百支(35≤x≤40)，根据市场调查，日销售量与ex成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支.

(1)当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值；

(2)已知工厂日利润达到1 000元才能保证工厂的盈利.若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m最多为多少元？(精确到0.1元)

(1)求证：线段AB的长是一定值；

(2)若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点(如图)，求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率.

19.(本小题满分16分)数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，它的前n项和记为An,数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，它的前n项和记为Bn.若a1=b1≠0，且存在不小于3的正整数k,m,使ak=bm.

(1)若a1=1,d=2,q=3,m=4,求Ak;

(2)若a1=1,d=2,试比较A2k与B2m的大小，并说明理由；

(3)若q=2,是否存在整数m,k,使Ak=86Bm,若存在，求出m,k的值；若不存在，说明理由.

20.(本小题满分16分)已知函数

(1)求函数f(x)的单调递减区间；

(2)当x∈[1,2]时，f(x)的最小值是0，求实数a的值；

(2)试问过点P(0，2)可作多少条直线与曲线y=f(x)相切？并说明理由.

参考答案

一、填空题

1.{0，1}；2.1-i;

二、解答题

15.(1)f(x)=(a+b)·(a-b)

=a2-b2

=-cos(ωx+2φ).

16.(1)∵A,D分别为边SB，SC的中点，且BC=8，∴AD∥BC，且AD=4.

∵AB=SA=3,CD=SD=5,

∴SA2+AD2=SD2,

∴∠SAD=90°，即SA⊥AD，

∴BC⊥SB.

∵PA⊥BC,PA∩SB=A,PA、SB⊂平面PSB，

∴BC⊥平面PSB.

∵BC⊂平面ABCD，

∴平面PSB⊥平面ABCD.

(2)∵AD∥BC,AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.

∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l,

∴l∥BC.

令y′=0,得x=31+m.

①当3≤m<4时，34≤31+m<35,

∴当35≤x≤40时，y′≤0.

∴当x=35时，y取最大值，最大值为1 000(5-m)e5.

②当4≤m≤6时，35≤31+m≤37,函数y在[35,31+m]上单调递增，在[31+m,40]上单调递减，∴当x=31+m时，y取最大值1 000e9-m.

∴当3≤m<4，x=35时，日利润最大值为1 000(5-m)e5元，

当4≤m≤6，x=31+m时，日利润最大值为1 000e9-m元.

则h(x)在[35,40]上单调增，则

∴每百支水笔的加工费m最多约为4.9元，

答：每百支水笔的加工费m最多约为4.9元.

∴AB=3为定值.

(2)设P(x1,y1),∵AB∥PQ,

点M到直线PQ：2y0x+x0y=0的距离

∴S四边形MPNQ=2S∆MPQ

令t=3y20+1,t≥1,则

19.(1)ak=b4=33=27,即

2k-1=27,k=14,A14=196.

(2)依题意，A2k=4k2,且

qm-1=2k-1,显然q>1.

所以当x>1时，f(x)>f(1)>0,即B2m-A2k>0，所以A2k

(3)依题意，ak=bm=a1·2m-1.

由Ak=86Bm,得

因为29=512,故m-1≤9,且516=4×129=4×3×43,且2m-1+1为奇数，

故m-1=7,m=8且k=340.

当a≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，则f(x)的单调递减区间为(0,+∞);

②a≥1，f(x)在[1,2]上单调递增，∴f(x)min=f(1)=1≠0，无解；

(3)当a≤0时，有1条切线；当a>0时，有2条切线.

设切点坐标是(x0,f(x0)),依题意，

故函数F(x)在(0,+∞)上零点个数，即是曲线切线的条数.

故F(x)在(1,+e)上有且只有一个零点，

即当a<0时，F(x)在(0,+∞)上恰有一个零点.

故F(x)在(0,+∞)上至多有两个零点，且F(1)=2-2-a=-a<0.

又函数y=lnx在(1,+∞)单调递增，且值域是(0,+∞),

-2-a

若a∈[2,+∞)，构建函数

φ(x)在[2,+∞)为增函数，

=a2+2a+3+(a2+2a+5)

>a2+2a+3,

∴当a>0时，F(x)在(0,+∞)上有两个零点.

综上，a≤0时，有1条切线；a>0时，有2条切线.