不同换元方式对不定积分计算过程的影响探讨

邓昌瑞

【摘要】针对一类被积函数带根号的不定积分计算，介绍了用三种不同的换元方式或方法进行求解.得到了只有合理使用换元方法，才能使积分计算过程变得更加简单的结论.

【关键词】换元法；直接去根号法 ；化简法；变形法

【中图分类号】O数学类

一、引 言

在微積分中，如果被积函数带有根号，这种不定积分的计算过程往往比较复杂.求解这种类型的不定积分，一般都用换元法先把根号去掉，然后再进行下一步的计算.不过，用换元法去根号也要讲究方式方法，因为稍有不当，虽然把根号去掉了，但也可能使不定积分的计算过程变得非常繁杂而导致求解失败.也就是说，在计算被积函数带有根号的不定积分的过程中，一定要根据不定积分的具体情况合理使用换元法，尽量使其计算过程变得简单.下面通过举例方式说明这一点.

二、不定积分的三种去根号方法

为体现用换元法去根号也要讲究方式方法的重要性，下面以计算不定积分∫ax-1ax+1dx（a≠0）为例进行说明.可以看出，这个积分的被积函数中含有一个较为复杂的二次根号.根据该题的实际情况，去掉这个根号采取的方法一般有三种：一是不做任何变换，直接用换元法去掉根号（这里简称为直接去根号法）；二是先化简，把它变得更简单后再去根号（这里简称为先化简，后去根号法）；三是先变形，将复杂根号变成若干个简单的根号后再逐步一个一个的去掉根号（这里简称为先变形，大根号化小根号法）.具体如下：

1.直接去根号法

四、结 论

从上面对不定积分的计算中我们可以看出，本题不定积分的计算如果用直接去根号法进行求解，会使得求解过程变得十分繁杂，稍不留意就会出错；但用先化简，后去根号法进行求解，求解过程就相当简单，也就不容易出错；而用先变形，大根号化小根号法去做，难易程度则适中.这道题目的求解介绍也就告诉我们：对于一些较为复杂的不定积分的计算，计算方法或过程往往不止一种，只要找对方法，可以把复杂的不定积分计算问题变得非常简单，但如果找不对方法，那么较为简单的积分计算也可能会变得相当复杂.要做到这一点，只有勤加练习，学会融会贯通，就一定能掌握好不定积分的计算.

【参考文献】

[1]朱孝春.一元函数不定积分中换元积分法与分部积分法的教学研究[J].数学教学研究，2011，30（11）：51-53.

[2]张艳桃.不定积分第一类换元法的讲授与训练[J].湖北科技学院学报，2013，33（12）：25-26.

[3]王闪闪.微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结[J].新校园旬刊，2014（4）：27-28.

[4]崔惠敏.巧用第一类换元法求解不定积分[J].课程教育研究：新教师教学，2015.

[5]侯春娟.关于“第一类换元法求不定积分”的学习方法[J].数学学习与研究，2011（7）.