例谈围绕生活设计数学问题

许映春

摘 要：新课程教学理念对于数学问题的设计有着较高的生活化要求，从教材给出的愈来愈多的实际问题来看，数学偏重生活的应用成为问题设计的重要因素，因此课堂教学中的问题设计也需要向生活化、情境化靠拢.

关键词：数学；应用；生活化；情境化；问题；设计

众所周知，数学一向相比其他理科而言，在趣味化上显得非常不足，因此数学往往被学生认为是枯燥、形式化、理论性大于实用性的学科. 很多调查资料显示，学生对于理科的兴趣排名最低的是数学，这与其他理科注重动手实践密切有关. 新课程标准在强调数学教学需要注重情境化、生活化的同时，也在教材中给出了很多相关的、类似的具备使用性质的例题，在无形中向学生渗透数学来自生活、在生活中的运用这一理念. 因此，笔者以为数学教师教学，特别是概念性的教学设计需要尊崇生活化、情境化的教学理念，需要精心设计. 笔者以《不等式与不等关系》第一课时为例，举案例给予说明：

案例设计：（展示第一幅图片：苏轼的《题西林壁》）（自然层面）

教师：同学们，看到图片有怎么样的“直观”感受呢？

学生：在山群中不会有两座一模一样的山.

教师：这就是“世界上没有相同指纹”的意思，这是大自然带给我们的不等. （展示第二幅图片：两名篮球运动员的身高）（人文层面）

教师：两名两球运动员的身高测量值均为188 cm，他们的身高绝对相等吗？

学生：不相等，身高测量有误差.

教师：其实在生活中做到绝对相等着实太难，相等是相对的，不等才是绝对的. （展示第三幅图片：古代杠杆原理）（历史层面）

教师：古代中国，老祖先已经学会了杠杆原理从井中取水，这是不等关系在生活中的体现.

教师：我们不仅要观察到生活中的不等关系，还要将其运用于生活生产当中，今天我们就一起来欣赏“不等关系与不等式”. （幻灯片、黑板显示课题）

“十一”小长假刚过，我们就一起来探讨一下小长假中的不等关系.

【实例1】 从2015年初开始，中国股市可谓风云莫测，十一长假前人们更关心的可能还是中国股市. 若某人持股a万元，第一天涨了10%，第二天跌了10%，这两天是赚了还是亏了？写出不等式.

【实例2】 国庆前夕，第21号台风“杜鹃”登陆浙江，使得浙江省宁波市沦为一座水城.庆幸的是苏州地区并未受其影响. 若台风半径为200千米，其中心位置距苏州为d千米，若苏州未受此台风影响，写出不等式.

【实例3】 在出游过程中，选择经济、节时的最佳路径非常关键.在这个过程中，我们通常用到数学模型“点到直线，垂线最短”，写出其中包含的不等式.

【实例4】 安吉“乐翻天”水上乐园是黄金周许多杭嘉湖游客的去处. 园内娱乐项目水上过山车要求身高达到160 cm、体重达到45 kg的游客才可参加. 写出其中包含的不等式.

【实例5】 10月2日西湖接待游客74.19万人次，西湖风景区可谓是“people mountain people sea”.苏堤全长2.8千米，堤上有映波、锁澜、望山、压堤、东浦、跨虹六桥. 若把苏堤看成数轴，望山桥为原点，则苏堤上到望山桥的距离大于500米的点M所组成的集合为_____.（师生分析过程略，学生轮流回答，教师将答案相应地写在实例后面）

教师：同学们看到了上述很多生活中的问题其背后均隐藏着数学的应用，要解决这些具体问题，需要进一步学会表示，用什么知识来表示这些数量关系呢？

学生：用不等式或不等式组来表示.

教师：能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的目的.

教师给出教材中两个例题：

【问题1】 某旅游景点售卖纪念品，原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？请用不等式或不等式组把此实例中的不等关系表示出来，不必解答. （分析过程略）

【问题2】某景区改造景点，要把长度为4000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍. 怎样写出满足上述所有不等关系的不等式？（分析过程略）

教师：解决这样的问题时，要看变量有没有设好，如果没有，就要先设变量再找出不等关系，让他们一一对应，同时要注意变量的实际背景，最后才能组建不等式.

自主探究：下面我们做一个糖水，在糖水中加入糖，糖水味道会越来越甜（前后均未达到饱和），你能表示其中的不等关系吗？（学生小组进行讨论探究）

学生1：题中没有设变量，应先设变量.

学生2：题中的不等关系是糖水变甜，也就是糖水中糖的质量分数变高.

学生3：我们可以把题目改写成“设b克糖水中含糖量为a克，现加入m克糖，糖的质量分数提高” .

教师：同学们分析得非常正确，能不能将其用数学语言进行描述.

学生4：>.

教师：这个式子完整了吗？有没有同学需要补充的.

学生5：在题目中其实隐含着一个条件，b>a>0，m>0.

教师：（板书不等式>（b>a>0，m>0））其实在同学们交流讨论的过程中，我们已经完成数学中的一个重要的课题——数学建模，我们围绕着一个生活中的现象，建立了合适的数学模型. 能不能进一步说明我们所建立的模型是正确的呢？要证明不等式成立，我们就需要知道不等式成立的依据.幻灯片：两个数比较大小的依据：a-b=0?a=b，a-b>0?a>b，a-b<0?a

教师：通过作差法比较大小看似简单，但我们仍需熟练掌握其过程. 我们再来回顾一下整个解答过程. 第一步：作差；第二步：变形，包括通分和因式分解；第三步：判断符号；最后下结论.这就是作差法的“四部曲”.

我们所建立的模型，在实际生活中是否还有其他的用处呢？

幻灯片：景区建筑要求窗户面积必须小于地板面积，但是按照采光标准，窗户面积a与地板面积b的比值应该不小于0.1，且这个比值越大，建筑的采光就越好. 若同时将地板面积和窗户面积增加m，建筑的采光是否会提高？（分析过程略）

教师：一个小小的不等式>（b>a>0，m>0），我们已经看到了它在两个实际问题中得到运用，这足以说明不等式的魅力. 学生们能不能说说生活中有什么现象同样可以对应上述的不等式模型呢？

学生1：篮球运动员在连续罚中几个球以后，罚球命中率变高.

学生2：芭蕾舞演员踮起脚尖，为了让自己的身材比例更接近于黄金比例.

教师：同学们说得都很不错，我们要有一双发现数学的眼睛，善于发现生活中的不等关系，并能够将其抽象概括，最终能够反作用于生活，用之于生活生产实践中，这才是华罗庚先生所说的“无处不用不等”的真谛. （课堂小结略）

从上述案例的设计来看，我们发现本课处处以生活中的实际问题为载体进行了课堂教学的设计，这种设计比较适合概念性的课堂，尤其是新知教学中的感知. 笔者认为：对于新知类的教学，要多思考如何从生活情境案例入手思考，本文所举案例不下数十个生活情境背景的实例，大大提高了学生对于数学来自生活的认知. 这种设计需要教师思考：

（1）数学本身是形式化的，但是好的教师在于将冰冷的文字转换为鲜活的生活问题，大大提高教学的兴趣，学生对于知识的理解正是从这些生活中的案例出发的；

（2）多思考生活化、情境化的案例，也从认知数学应用的角度去思考了数学知识，这种行为对于学生而言有一种从感性到理性的归纳过程，久而久之的学习也促进了学生认知水平和能力的增长，提高了其从事物背后观察本质的能力.