探寻适合学生需要的数学探究教学方式

杨朝云

[摘 要] 课改推进的数学探究，需要教师根据课程标准进行个性化内化，而内化的重要依据就是学生的学习需要. 正弦定理作为高中数学的重要内容，对其探究可以强化问题的提出与解决两个环节. 通过问题的设计与探究反思，可以提升学生的探究品质.

[关键词] 高中数学；数学探究；学生需要；学生视角

课程改革以来，探究式教学从概念理解到课堂实践，经历了理论学习、案例模仿、自主更新等过程，这样的过程使得数学课堂上的探究更趋合理. 对于高中数学教学而言，这样的探究教学，也更大程度上激发了学生的学习兴趣，提高了数学教学的效果. 同时又应当看到，对于探究教学的适应过程，更多的还是基于知识本位，即更多地考虑数学知识怎样才能有效地为学生所有效构建，而忽视了学生在构建过程中可能的学习状态，也就是说当前的探究式教学更多的关注“应该怎么样”，而相对少有关注学生思维中的数学学习过程“实际是怎样”. 这样的定位显然不利于真正发挥数学探究的作用，甚至还会造成探究无用的教学结论.基于这样的认识，笔者以为高中数学教学须探寻一套真正切合学生需要的探究式教学途径. 本文试以苏教版教材中的“正弦定理”教学为例，谈谈笔者的思考.

高中数学探究的基本原则

从课程标准及相关解读来看，数学探究更多地注重技术性，譬如从数学问题的发现与提出，到对于数学问题的猜想，到基于数学逻辑或数学建模的数学例证等，这样的探究技术指导下的数学探究，其价值在于可以迅速地将一线教师导引上探究教学之路. 但需要注意的是，这也仅仅是一种技术性的指导，并没有直接涉及数学探究的本质与背影，因而不容易让教师产生持久的教学驱动力. 从这个角度讲，高中数学探究需要建立更为基本的原则理解，这样数学探究更容易有一个源头活水.

对此，笔者翻阅了一定数量的教学资料，也从相关的数学史中试图发现数学探究需要遵循的基本原则. 研究之后笔者认为，福建师范大学数学与计算机科学学院的李祎老师提出的二十四字教学方针有较强的指导意义. 这二十四字是：精立内容，大作功夫；少占多让，少扶多放；绝对主动，相对自主. 下面结合教学实践谈谈对这二十四字的理解.

其一，精立内容，大作功夫. 笔者的理解是，在高中数学教学中，对于探究的内容需要精心选择确立，而不是铺天盖地地实施探究. 在教学实践中的一大发现就是探究式教学相对耗时，有些知识也没有探究的必要，因此内容需精立，但一旦精立之后，就必须大作功夫，要让学生的探究成为真的探究过程. “正弦定理”是高中数学的重要内容，在三角函数知识中也具有承上启下的地位，因而适合探究式教学. 至于如何大作功夫，下面第二点会有详细阐述.

其二，少占多让，少扶多放. 这是数学探究的核心原则，意思是说在数学探究的过程中教师要充分放手，通过让与放来实现学生的自主探究. 研究表明，这是一项对教学习惯极具挑战性的工作，因为传统讲授式教学强调的恰恰是占的基础上的扶（讲授甚至是灌输），而要改变这一习惯，最迫切需要的其实不是教师内心的自我强制，而是探究式教学理念的意识驱动.

其三，绝对主动，相对自主. 数学探究与其说是一种形式，不如说是一种指向思维培养的实质. 在这个过程中，学生的主体地位必须坚决得到保证，这也是“绝对主动”的含义. 至于相对自主，强调的是学生探究自主性的适当发挥. 这似乎是一种理念上的后退，但近年来的实践却表明，真正有效的数学探究，不是让学生去进行一些肤浅的热闹行为，而应当是紧扣数学知识构建与问题解决的思维参与. “正弦定理”中需要的是定理本身的证明与运用，只要学生的思维能够锁定在这两点之上，那数学探究才是有效的，其他的延伸基本上都是不必要的，因此探究中的自主必须是相对的.

笔者以为，真正理解了这二十四字的含义，就可以为数学探究提供一个有效的保障.

基于学生需要的数学探究

用“精立内容，大作功夫；少占多让，少扶多放；绝对主动，相对自主”作为高中数学探究的指导性原则，实际上是将探究的重心真正放到了学生身上，也就是说只有真正基于学生需要进行的探究，才会是真实有效的探究. 下面就以“正弦定理”一课的探究式教学为例，来做一个说明.

苏教版教材中对于“正弦定理”的教学确定了这样的教学目标：从知识与技能的角度来看，要求学生能够通过对任意三角形的边与角的探究，掌握正弦定理的探究过程（证明方法）与定理本身的内容，并能够以之解决相关问题；从过程与方法的角度来看，其要求学生在探究过程中经由从特殊到一般的思路，逐步构建出正弦定理；从情感态度与价值观的角度来看，其要求学生在探究的过程中认识数学探究的魅力，体会不同数学知识体系（三角函数、向量等）之间的联系与辩证关系.

基于这样的教学目标，笔者对本课的教学进行了探究式设计，下面分步说明.

第一步：创设探究情境. 经验表明，正弦定理的探究过程最好以学生熟悉的数学对象作为加工对象，这样探究的大门可以迅速打开，且可以面向全体让全部学生迅速准确判断需要进行的探究任务. 笔者的设计是这样的：给出一个任意三角形ABC，并固定其中的一条边如BC及任意一个邻角∠B，使边AC绕着顶点C转动，提出问题：边AB与其对角∠C之间存在着什么样的量的关系？

第二步：学生自主猜想. 根据探究教学中学生的表现可以发现，学生一般可以发现两者之间的定性关系，而难以发现定量关系. 这个时候教师可以进行一定的引导，即基于学生的已有知识，先让学生假设给出的三角形是直角三角形（∠C为直角），则可得出==的关系. 这样的基础性理解是否可以推向任意三角形呢？实践表明，学生此时的认识一般来说是对半的：即认为可以与不确定（不可以）的学生一般来说各占一半.

第三步：实施数学探究. 数学探究的过程一般可以分为两步，即将直角三角形转换为锐角三角形和钝角三角形，并分别加以证明. 证明方法一般是：作高证明，同行们相对熟悉，此不赘述. 需要在探究中重视的是，对于最终正弦定理的得出，除了作高证明的方法之外，是否存在其他的证明方法. 这种发散性思维，是正弦定理探究的重要关注点，也就是说正弦定理的证明不只是为了得到最终的结论，而是为了丰富探究的过程，充实学生的思维过程. 在这样的要求之下，本课的探究会更加深入，而在此过程中教师可以做进一步的引导，比如说可以利用三角形的面积计算来证明，即S△ABC=absinC的应用；也可以让学生利用向量法来证明（拓展）.

第四步：反思探究过程. 这是数学探究中非常重要也很容易被忽视的一个环节，在笔者看来，反思探究过程最能提高学生的探究质量，最能将学生内隐的探究认识显性化. 在正弦定理的探究反思过程中，教师应当着力这样的几个问题的回答：正弦定理的理解有没有困难？正弦定理是怎样被发现的？如果不是老师提出的问题，自己有没有可能发现这一规律？正弦定理的不同证明方法怎样才有可能自主发现？这几个问题分别指向正弦定理探究难易程度本身，以及正弦定理被发现的过程，笔者以为，既然是一个探究式的教学过程，那就需要关注探究问题的由来以及证明方法这两个核心，前者着重于培养发现问题的意识，后者指向探究思路的确定，这些都有助于提高学生的数学探究品质，也与学生内在的数学探究需要密切相关.

“生需”视角下高中数学教学

将数学探究从纯粹技术的需要，转向学生需要的视角，是一种以生为本的切实体现.“生需”作为一种教学视角，在高中数学探究的过程中究竟能起多大的作用，事实上可以从正弦定理的探究中窥得一斑.

在实际教学中，当在情境中提出问题之后，学生会有什么样的直觉反应？这是笔者研究的第一点，事实证明当教师以特殊的直角三角形作为引导时，学生还是有些意外的，因为此时他们意识不到面临的问题与直角三角形之间存在什么直接的联系，而在探究反思过程中明确了这个问题时，学生就已经能够发现基于直角三角形去研究并发展思考，其实就是一种从特殊到一般的探究思路；又如在探究中深究有多少种证明方法时，学生的思维也就没有集中在作高证明这一种思路上，而是从已经得出的正弦定理本身去研究，进而就有学生自主发现其与三角形面积公式存在一定的联系；而事实上也有学生提出问题：怎样才能在没有教师提醒的情况下自己想到证明方法呢？这样的问题，实际上就可以在探究反思中给予回答.

总之，高中数学探究只有基于学生视角，才能从学生的已有认知出发，从而构建出适合学生思维需要的探究途径，而教师的引导作用发挥，则在于通过恰当的问题与教学环节，提升学生的探究品质.