对一个最小值问题的探讨

吕伟波

1 问题

如图1，在一条河流的同旁有两个圆形区域，现在要在河边选一点P，从这点分别向两个圆形区域修路，但要求所修的路笔直且都要和圆形区域的外围擦边而过.如何选取P点才能使两条路的长度之和最小呢？

上面的问题可以抽象成如下的数学问题：如图2，在直线l的一侧有圆O1和圆O2，在直线l上取一点P，从P点分别作两个圆的切线PA和PB，A和B为切点，如何选取P点才能使PA+PB的值达到最小？