关注学习活动的实效，促进代数思维的有效发展——以“等量关系”案例研究为例

◇宋显庆

关注学习活动的实效，促进代数思维的有效发展
——以“等量关系”案例研究为例

◇宋显庆

【研究的问题】

在小学高年级及初中刚开始阶段，教师们经常会碰到这样的尴尬：虽然学生学习了方程，但依然不喜欢用方程解决实际应用问题，而喜欢用算术方法解决。其主要原因就是学生长期受算术方法的影响，用实验教师刘克群老师的话来讲就是对代数方法“学得少,用得到的地方少”。

列方程解决问题的关键是找等量关系，并且要让学生习惯找等量关系。鉴于等量关系的重要作用，北师大版教材为等量关系安排了独立的课时进行学习，将内容安排在“用字母表示数”之后和“认识方程”之前，这为更好地促进学生从算术思维向代数思维的发展架设了一座桥梁。教材结合具体情境，对如何找等量关系进行了重点讨论，在采用多种方法表示等量关系的活动中了解等量关系，知道同一个等量关系可以有不同的表示形式，初步体会等量关系在日常生活中的广泛存在，突出体现了数学核心知识的作用与价值。教材后续内容的编排也为学生提供了描述具体情境中等量关系的问题，有效帮助学生经历将现实问题抽象成等式与方程的过程，积累将等量关系符号化的活动经验。

本案例旨在通过研究，在深入细致分析教材内涵与外延的基础上，科学合理地处理和加工教材，精心设计好数学教学活动，找寻有利于促进学生代数思维发展的数学活动组织形式，促使学生结合具体的情境能够找到并建立等量关系，并使之成为一种思维习惯，为学生后续学习方程作好铺垫，促进学生从习惯的算术思维向代数思维的有效发展。

【研究的情境】

本案例研究的实验教师是江西省学科带头人刘克群老师，他有15年以上的教学经历。其学生为四年级学生，属于南昌市中心城区学生，学习习惯较好。

【研究实践描述】

本研究按照时间先后顺序分四步实施，采取两个班进行对比实验研究。第一步，做课前问卷调查；第二步，做教材加工；第三步，设计数学学习活动，组织课堂实施；第四步，做课后检测，特别关注课堂数学学习活动的实施效果。

前测能让研究更加具有针对性、实效性。“等量关系”在学生的日常生活中其实已经存在，但学生到底对这些是否有所关注或者了解呢？他们对“等量关系”的理解是怎样的？这些问题成为我前测的方向。我选择了两个班共计125名学生进行问卷调查。

1.下面哪幅图是平衡的？为什么会平衡？请说明理由。

图1

2.什么是相等？请你举个熟悉的例子说一说。

3.姐姐身高152厘米，弟弟的身高比姐姐矮37厘米，请用你喜欢的形式表示出姐姐和弟弟身高之间的关系，不用计算。

对于第1、第2两题，我选择两个班不同层次的8名学生的答卷进行分析。从学生的回答中可以发现：

1.学生都能正确判断哪幅图是平衡的，说明他们通过直观观察能发现生活中的平衡（相等）现象。基本能解释平衡是因为它们的质量相等，一样重，学生对平衡的理解具有一定的认知基础。

2.学生能通过具体事物质量相等、相同的东西等文字语言来直观描述相等的含义，但从数量或关系上描述相等的含义较少。

3.学生不习惯从数量上建立等量关系，更习惯用直观图形及文字语言描述相等关系。

对于第3题，我做了统计。（如下表）从统计表中可以发现，通过各种形式学生基本能够发现姐姐与弟弟身高之间的关系，只是无法规范地表示出等量关系，更不用说用字母来代替未知数列出等量关系式了。

学生回答形式 文字叙述 画线段图 算式计算所占比例 4% 27.2%68.8%

北师大版教材编排了三个问题，逐步加深学生对等量关系的了解：第一个问题是通过观察和描述跷跷板两边平衡的现象，了解等量关系；第二个问题是结合具体情境画图或用式子等方式表示等量关系；第三个问题是了解用式子表示相同的等量关系，往往可以写成不同的形式。（如图2）

图2

在北师大版教材中，编者精心设计了一个层层递进、不断引导学生深入思考的问题串，这不仅有利于教师教，也有利于学生学。在设计教学时，教师对整堂课的结构已经心中有数，可以花更多时间考虑教材的编写意图，让课本上静态的学习素材动起来，把与课本上有同样数学教育功效的生活素材搜集起来，使学生充分感受生活中的等量关系无处不在。在结合以往学过的天平平衡图帮助学生理解“相等”含义的基础上，教师还精心设计了抓棋子活动，帮助学生迁移数量间的相等关系。为提升活动的实效，教师通过试一试、说一说、画一画、写一写等活动，充分调动学生的学习积极性和求知欲，让他们在不知不觉中掌握等量关系的含义，并开始习惯寻找生活中的等量关系，有效促进他们代数思维的发展。

活动一：通过跷跷板让学生直观感受相等关系。

师：你们玩过跷跷板吗？一群小动物也来到了跷跷板上，我们一起看看。（播放课件，如图2）从图中，你发现了什么？说一说，什么时候相等？

生：第三幅图是相等的，因为跷跷板平衡了。

师：是什么相等了？

生：1只鹅的质量等于1只鸡的质量加2只鸭的质量。

师：你们都听清楚了吗？谁还能再说一说？

（生答略）

师：掌声送给他！你们都是这样想的吗？的确，跷跷板平衡了，表示1只鹅的质量等于1只鸡和2只鸭的质量。这样一种相等的关系我们就把它叫作“等量关系”。

设计意图：让学生观察，直观感受生活中的平衡关系，尝试用语言描述生活中的平衡关系就是相等关系，为构建等量关系做好铺垫。

活动二：从天平平衡中寻找并叙述等量关系。

师：（课件出示天平）用天平称物体质量时，一般左边放物体，右边放砝码，左右两边平衡也能反映出物体间的等量关系。

出示图一：1个苹果和1个梨一共重300克。（图略）

师：这幅图中有等量关系吗？你的依据是什么呢？

生：我觉得这幅图中有等量关系，因为天平平衡了，说明两端的物体质量相等。

生：物体的质量相等了，就存在等量关系。

师：了不起！那谁能用一句话描述这幅图的等量关系？

（课件出示：1个苹果的质量加上1个梨的质量等于300克）

设计意图：再次感受生活中的平衡现象，尝试用文字来叙述生活中的质量相等关系。

活动三：借操作理解数量间的等量关系。

1.从跷跷板、天平的平衡直观现象过渡到活动体验，通过抓棋子游戏在体验中寻找数量上的等量关系。

师：看来同学们都能根据天平平衡说出等量关系，在我们的游戏里也能找到等量关系。下边进行抓棋子游戏：请一位同学上来，和老师都用一只手从棋盒里抓棋子，数一数，比一比。

（记录在黑板上。老师抓了22颗，学生小明抓了26颗）

师：谁来说一说我与小明所抓棋子数量之间的关系？

生：老师比小明少抓4颗，小明比老师多抓4颗。

师：说得不错！这里没有了天平、跷跷板，难道也有等量关系？

生：有，只要用老师的棋子数加上4颗就得到小明的。

师：你真会思考，说说你是怎么想到的。

生：就像刚才的天平一样，本来老师和小明的棋子数不相等，但是只要把老师的加上比小明少的4颗就相等。相等了就有等量关系。

师：大家听明白了吗？尽管这里没有平衡的天平，但它们之间有等量关系吗？（生：有）是什么？谁再来说一说？

生：把老师的棋子数加上4颗就等于小明的。

生：我还发现把小明的棋子数减去4颗就等于老师的。

师：真了不起！那你们能不能想办法把自己的想法表示出来？

2.学生尝试表示等量关系。

教师让学生尝试用自己的方式表示出等量关系。学生有的画出平衡的天平图，左边写上老师的棋子数加4，右边写的是小明的。有的学生画了线段图，还有的学生写出了式子。

3.学生动手，全班体验找、写等量关系式。

师：刚才我和小明同学比一比，你们想不想和同桌比一比？

（出示游戏规则并要求记录和写出等量关系式。表扬根据一条信息写出多个等量关系式的学生）

4.变换数量，由找含加减的等量关系过渡到找含乘除的等量关系。

学生汇报结束后，教师在此基础上出示条件：小东抓了24颗，是小芳抓的2倍。然后提问：它们之间的等量关系，你们能找到吗？

设计意图：在操作活动中体验数量间的相等关系（含加减乘除运算），通过数量的变化找到建立等量关系的条件，体验变化、未知，为后续学习方程做铺垫。

活动四：结合情境写一写等量关系式。

学生在活动中积累了活动经验，又进一步理解了等量关系的含义，接下来从活动过渡到具体情境，并写等量关系式。（略）

活动五：结合图形，用字母表示等量关系。

教师用课件出示：长方形的长、宽、周长、面积分别用字母a、b、C、S表示，写出它们之间的等量关系。

活动六:找一找，感受生活中的等量关系。

师：生活中有很多等量关系，请大家找一找、说一说。

设计意图：活动四、五、六旨在帮助学生进一步理解等量关系，在无痕中渗透存在未知量时可以用字母表示，渗透代数思维，为思维水平的提高奠定基础。

后测题目如下：

1.王阿姨今年 36岁，她的年龄是笑笑的4倍。用你喜欢的方式表示出王阿姨跟笑笑年龄间的等量关系。

2.图书馆藏有故事书1200本，故事书比科技书多500本。用你喜欢的方式表示出故事书跟科技书之间的等量关系。

对学生解答的情况统计如下：

非实验班统计表（62人）

实验班统计表（63人）

【反思和启示】

要实现课程目标的整体落实，在教学设计中就要把知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面的目标有机结合起来。在组织数学学习活动时，不仅要重视学生获得知识技能，而且要充分发挥学生的主体地位。在充分感受和体验的基础上，让学生通过独立思考或合作交流感悟数学的基本思想，引导学生在参与数学活动的过程中积累基本经验，帮助学生形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯。

基于这些思考，本案例通过多次实践，不断改进，最终确定通过六个精心设计的活动，将抽象的等量关系与生活紧密联系，充分发挥学生的主体地位，让学生有充足的时间感受和体验。通过观察和体会跷跷板平衡与天平平衡两个生活中的现象，让学生用语言描述生活中的平衡现象，初步感受和体验生活中的等量关系；通过抓棋子游戏，让学生经历从具体情境中的多少关系到数量间的相等关系，进行初步的抽象，积累抽象思维的经验。

在“等量关系”的认识和建构过程中，教师通过前测了解学生的学习困难，知道学生在建立等量关系时的重点、难点是抽象出数量关系。基于这一认识，教师把握住了数学学习内容的本质，注重让学生自己经历、体验和感悟。课堂上，人人参与活动，个个动脑思考，时时体验快乐，融知识、技能、思维、情感、意志、想象、创造于一体，焕发出生命的活力！

一系列有层次的活动设计，基于前测加强了活动的针对性，旨在通过情境描述、结合图形直观感受与生活的紧密联系，在看一看、找一找、说一说、写一写等活动中，把抽象的知识与直观的活动进行整合，帮助学生自然建立等量关系的概念。

活动三的设计源于前测中了解到学生在建立数量间的等量关系时存在困难，通过抓棋子游戏，让学生意识到数量间可以建立相等关系，进而发展到已知量与未知量之间也可以建立等量关系，做到了代数思维的无痕渗透。活动五的设计是有意识地渗透符号化的思想，沟通前后知识之间的联系，为后续学习方程做好铺垫，逐步渗透代数思维，促进算术思维向代数思维的进一步发展。

活动中学生边动手边思考，既积累了活动经验，又丰富了思维经验，知识与技能在自然中掌握，学习习惯在自然中形成。“四维”目标得到了有效的落实，课堂教学活动的实效得到了很好的提升。

江西省教育厅教学教材研究室）