关于实函数零点的若干判别法

王有明

【摘要】 主要利用函数的单调性、函数微分中值定理与次数以及结合解析函数的儒歇定理讨论实函数在某区间根的个数。本文给出这三种解题方法，来说明如何在高等数学的教学中培养学生的类推与归纳总结能力，谨仅供教学参考。

【关键词】 单调性； 次数； 儒歇定理

中图分类号：O174.5 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）01（a）-0000-00

高等数学是本科生的公共基础课程，既为后续课程的学习打下基础，也有助于培养学生分析问题与解决问题的能力、逻辑推理能力。为了提高学习高等数学的效率，教师需要在以后的教学中启发学生独立思考，培养学生学习数学的积极性与主观能动性，开阔学生的思维与视野。下面用一些例子来说明一点这方面的体会。在学习高等数学中，我们知道大家经常利用介值定理判断实函数在某些区间有没有实根，但是通常比较难以确定根的个数。本文根据函数的性质及实函数与解析函数的关系，结合自己的长期的教学经验，给出三种简单实用的方法来确定解的个数或方程根的个数。

一 利用函数的单调性判断函数零点的个数

定理1 如果函数 在闭区间 连续单调且 ，则 在 内有且仅有一个零点。

证明（略）。

根据上述讨论得知 至少有四个零点，由于 是五次多项式，则 是四次多项式，因此 最多有四个零点，于是由定理 3知 有且仅有四个零。

三 利用儒歇定理判断函数零点的个数

定理 3 假设

（1） 与 在简单闭围道 上及其内部均是解析的；

（2） 在围道 上每点均有 ，

则函数 与 在围道 内的零点个数相同（零点按重数计）。

证明（见[4，5，6]）。

由儒歇定理可知， 利用一些简单的解析函数可以判断比较复杂的解析函数在某区域的零点个数。

由儒歇定理， 与 在 内的零点个数是相同的。由于 在单位圆内显然有一个零点，所以 在单位圆内也有一个零点。因此原方程有一个根。

我们根据实函数与解析函数的关系与性质. 也可以利用儒歇定理来考虑某些实函数根的个数问题。

由儒歇定理， 与 在 内部的零点个数是相同的。由于 在单位圆内内按重数计算有2 个零点，所以 在单位圆内也有两个零点。因此 在 内有且仅有两个零点。

说明： 对于某些实变函数， 由介值定理可判断在给定的区间根的最少个数. 再结合函数的单调性、微分中值定理与系数以及复变函数中的儒歇定理， 可以确定在给定区间根的具体个数。每一门学科都有规律，这种规律需要总结与归纳。找到这些规律与学习方法，发挥主观能动性，学好高等数学就不难了。

参 考 文 献

[ 1] 同济大学应用数学系，高等数学[M]， 北京： 高等教育出版社， 2007.

[ 2] 陈纪修， 淤崇华， 金路. 数学分析（上册）[M]， 北京： 高等教育出版社， 1999..

[ 3] 刘玉琏， 傅沛仁， 等. 数学分析讲义[M] 4 版， 北京： 高等教育出版社， 2003.

[ 4] 譚小江， 伍胜健， 复变函数简明教程[M]，北京： 北京大学出版社， 2006.

[ 5] 张锦豪， 邱维元， 复变函数论[M]， 北京： 高等教育出版社， 2001.

[ 6] 龚晟， 简明复分析[M]， 北京： 北京大学出版社， 1996.

On the zeros of real function

three discriminant method

Department of Applied Mathematics， College of Science，

Hunan Agricultural University， ChangSha 410128， China

Abstact： In this paper， we mainly use the monotonicity of function， function of differential mean value theorem of analytic function with the degree of polynomial， and use Rouche theorem by relation from real functions and analytic functions. This paper gives the three methods， we only use teaching reference.

Key words： monotonicity， degree， Rouche theorem