构造“直线隔板” 巧解导数题中的不等式问题

安徽省合肥一六八中学　　陆　勇　　(邮编：230601)



解题方法

构造“直线隔板” 巧解导数题中的不等式问题

安徽省合肥一六八中学陆勇(邮编：230601)

摘要导数压轴题中出现不等式问题是常见题型，但是，如果指数与对数形式并存，则会因函数差异过大带来解题困难，设想如果构造一条直线作为“隔板”，利用不等式的放缩思想，将指数形式与对数形式并存的形式拆分为指数形式与一次函数并存及对数形式与一次函数并存的形式，化陌生为熟悉，会极大降低解题难度.

关键词构造；直线隔板；放缩；不等式

2016年合肥市第一次教学质量检测的文科及理科数学试卷压轴的两道导数题，设计精巧，对图象的细致分析要求很高，但由于难度颇大，学生感觉求导后深入困难，导致得分率很低，平均得分不到3分.笔者试图以直线为“隔板”，利用不等式的放缩方法，给出全新解法.

1原题及难点分析

2016合肥一模文21题原题如下：已知函数f(x)=ex-xlnx,g(x)=ex-tx2+x,t∈R.

(Ⅰ)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)若g(x)≥f(x)对任意x∈(0,+)恒成立，求t的取值范围.

忽略第一问，我们分析第二问，题面中，指数形式与对数形式并存，这是学生感到无从下手的主要原因，无论是解题心理还是变形过程、图象分析都有相当的压力.

其实，问题的本质是不等式恒成立问题，只不过，在研究过程中，我们是以导数为研究手段而已.不等式的本质是不等关系，放缩法是研究问题的重要方法.过多地关注导数应用而忽视了不等式的本质，却是大多数学生的思维盲点.

2“以直线为隔板”的解题思路

化陌生为熟悉，是转化思想的重要体现.如果我们能将指数形式与对数形式并存的形式拆分为指数形式与一次函数并存及对数形式与一次函数并存的形式，难度就极大降低，因为这是学生极为熟悉的题型，而直观地从图象上看，指数函数与对数函数图象在凹凸性上的不同，恰为这种想法提供了可能.

第一问较为简单，可求得函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e-1)x+1.

我们以此切线为“隔板”解决第二问：设h(x)=(e-1)x+1,将g(x)≥f(x)对任意x∈(0,+)恒成立转化为g(x)≥h(x)及h(x)≥f(x)对任意x∈(0,+)均恒成立.详解如下：

因t≤1,故g(x)=ex-tx2+x≥ex-x2+x,设h(x)=(e-1)x+1,

构造函数G(x)=ex-x2+x-h(x)=ex-x2+(2-e)x-1,x∈[0,+),易知G(0)=G(1)=0,因G′(x)=ex-2x+2-e,G″(x)=ex-2,由G″(x)=ex-2=0解得x=ln2.

可知x∈(0,ln2)时G″(x)<0，G′(x)单调递减，x∈(ln2,+)时G″(x)>0，G′(x)单调递增，而G′(0)=3-e>0，G′(1)=0,

则存在x0∈(0,ln2),使得G′(x0)=0,且x∈(0,x0)时,G(x)单调递增，x∈(x0,1)时G(x)单调递减，x∈(1,+)时，G(x)单调递增，由G(0)=G(1)=0易知G(x)≥0对x∈(0,+)成立.

即t≤1时，g(x)≥ex-x2+x≥h(x)对x∈(0,+)成立

①

再构造函数F(x)=h(x)-f(x)=xlnx-x+1,

则F′(x)=lnx,由F′(x)=lnx=0解得x=1.

且x∈(0,1)时，F′(x)<0，F(x)单调递减；x∈(1,+)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，

可知F(x)在x=1处取得最小值，F(x)min=F(1)=0,

②

由①②知，当t≤1时，g(x)≥f(x)对任意x∈(0,+)恒成立.

上述解法过程中，以直线为隔板，其作用在于拉近函数形式之间的差距，以减小思维量及解题困难，其理论基础为不等式的传递性，所构造的隔板即为中间过渡量.

3解法应用

按同样的思维模式，我们尝试解决2016年合肥一模理科21题，原题如下：

(Ⅰ)设g(x)=(x+1)f′(x)(其中f′(x)为f(x)的导函数)，判断g(x)在(-1,+)上的单调性；

(Ⅱ)若F(x)=ln(x+1)-af(x)+4无零点，试确定正数a的取值范围.

突然，几枝步枪啪啪地响起。不用说，是国军的一支侦察小分队，他们与这拨鬼子遭遇上了。枪声一响，受了惊的大洋马便嘶鸣着四散开去，不一会儿，有马撞了地雷，轰轰作响。一匹马朝陈大勇方向撞来，眼看要踩上了，陈大勇猛地站了起来，照着马上的鬼子猛扣扳机。

考虑到f(0)=1,则f(x)>0对x∈(-1,+)成立.

由F(x)=ln(x+1)-af(x)+4，易知F(0)=4-a,F(e-4-1)=-af(e-4-1)<0.故当0

构造函数G1(x)=ln(x+1)-x,x∈(0,+),则，而G1(0)=0,易知G1(x)=ln(x+1)-x<0对x∈(0,+)成立，即ln(x+1)

②

通过上述两例，我们看到，以直线为过渡，对于题面中指数与对数并存模式有着化繁为简的巨大作用，类似问题可借鉴此法进行.比如 2013年新课标全国Ⅱ卷理科21题第二问 ：已知函数f(x)=ex-ln(x+m).

(1)略； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

考虑到当m≤2，x∈(-m,+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，

故只需证明当m=2时，f(x)>0，即只需证明ex>ln(x+2)对x∈(-2,+)成立.

构造“隔板”h(x)=x+1,只需证明ex≥h(x)及h(x)≥ln(x+2)对x∈(-2,+)均成立且等号不能同时取得即可，以下解题过程略去，请读者自行完成.

(收稿日期：2016-02-18)