一个猜想的再推广及其拓展的简证

湖北省阳新县高级中学　　邹生书　　(邮编：435200)



一个猜想的再推广及其拓展的简证

湖北省阳新县高级中学邹生书(邮编：435200)

文[1]给出了如下不等式猜想：

文[2]证明了该猜想并对字母系数作了如下推广：

推广若正实数a、b、c∈(0,1),且a+b+c=1,且0<λ≤2,

文[3]对系数作了更加宽泛的如下再推广：

再推广若正实数a、b、c∈(0,1),且a+b+c=1,且λ≥-2,

文[4]在上述再推广命题的基础上，从常数和项数作了如下更具一般性的推广：

(*)

文[4]又对再推广的命题从指数作了如下拓展：

拓展若正实数a、b、c∈(0,1),且a+b+c=1,-2≤λ≤2,

文[5]在上述拓展的基础上又从常数和项数作了如下推广：

笔者认为这个拓展再推广不等式中的指数与项数相等有点特殊不具一般性，稍作修改可得具有普遍性的较完美的不等式如下：

(**)

下面笔者对上述推广后的一般性不等式(*)和完美不等式(**)给出简证如下：

证明(一般性推广)因为A>0,λ≥-A,ai∈(0,1),所以λai≥-Aai,

A+λai≥A-Aai=A(1-ai)>0.

由“Cauchy求反技术”和柯西不等式的变式，得

证明(完美不等式)因为A>0,-A≤λ≤A,ai∈(0,1),所以-Aai≤λai≤Aai.于是A+λai≥A-Aai=A(1-ai)>0,A-λai≥A-Aai=A(1-ai)>0.

由幂均不等式和不等式(**)，得

不等式(**)是本文所有不等中最具一般性最为完美的一个不等式,在不等式(**)的条件下,其余不等式都是它的一个特例.比如：在不等式(**)中，当m=n时，就是拓展再推广中的不等式；当m=A=2,n=3时，就是拓展中的不等式；当m=1时，就是一般性推广中的不等式.

参考文献

1宋庆，周玉芽.关于证明不等式的一些思考[J].中学数学研究，2012(2)

2李韶.两个猜想不等式的另证及推广[J].数学通讯，2013(4)

3辛智文.一个猜想推广命题的再推广[J].中学数学教学参考，2013(11)

4石盛松.一个再推广问题的思考[J].数学教学，2014(8)5王亚辉.简证一个猜想的再推广及拓展命题[J].数学教学，2015(7)

(收稿日期：2016-01-17)