新课标全国卷立体几何考题分析及2016备考建议

安徽省芜湖市沈巷中学　　胡　浩　　(邮编：201801)安徽师范大学附中　　　　马　林　　(邮编：241000)



新课标全国卷立体几何考题分析及2016备考建议

安徽省芜湖市沈巷中学胡浩(邮编：201801)安徽师范大学附中马林(邮编：241000)

摘要从2016年开始，安徽等省份将采用全国卷进行高考.全国高考卷与分省高考卷有什么异同？如何适应全国卷高考？如何开展2016年高考数学复习？本文从立体几何模块展开具体论述，并提出2016年立体几何的备考建议.

关键词全国卷；立体几何；试题分析；备考建议

立体几何是高中数学的主干知识.课程标准下的高中数学教材螺旋式地安排了两部分内容：《数学2》(必修)；《数学》(选修2-1).“空间几何体”、“点、直线、平面之间的位置关系”、“空间直角坐标系”和“空间向量与立体几何”作为高考必考内容，在历年的试卷中已成保留“节目”.笔者以2013-2015年新课标全国高考数学卷(理科)为例，分析立体几何试题的命题特点与规律，并提出几点备考对策，供各位同仁高三复习参考.

1新课标全国卷立体几何试题归纳

纵观2013—2015年新课标全国高考数学卷，从年份、卷号、题号、分值、问题的载体、考查的知识点与方法等几个方面，制成下面的表格，从中可以透视近三年立体几何的命题视角和考查方向.

年份卷号题号分值问题的载体知识点与方法2013I卷6、8、1822球、组合体的三视图、三棱柱球、组合体的体积计算,两平面垂直的性质,线面角的找法及计算.考查计算能力、空间想象能力和推理论证能力.II卷4、7、1822线与面的位置关系、三视图、三棱柱线面的位置关系,三视图,线面平行的判定,二面角的求解.考查推理论证能力、空间想象能力、转化的思想方法.2014I卷12、1917三棱锥的三视图、三棱柱三视图还原成几何体,线面垂直的判定与性质,二面角的求解,空间向量的坐标运算.考查空间想象能力、推理论证和计算能力.II卷6、11、1822组合体的三视图、直三棱柱、侧棱与底垂直的四棱锥几何体的体积公式,求异面直线所成角,线面平行的判定,二面角的向量求法.考查运算能力、数据处理能力和推理论证能力.2015I卷6、11、1822组合体的三视图、圆锥、组合体圆锥的体积,圆柱和球的表面积,两平面垂直的判定,两条异面直线所成角.考查还原几何体、运算求解能力与转化的思想方法.II卷6、9、1922组合体的三视图、球、长方体计算几何体体积,线面间的位置关系,直线与平面所成角.考查空间想象能力、运算求解能力和转化的思想方法.

2新课标全国卷立体几何试题分析

从2013—2015年新课标全国高考数学卷汇总表可以看出，立体几何注重能力考查，题型题序相对稳定.一般命制两个选择题，一个解答题，合计22分.选择题一易一难，难易相间；解答题一般在18或19题的位置，属容易题或中档题，难度不大.下面从命题立意、考查重点等技术层面分析近三年立体几何高考题.

2.1创设实际情境，考查数学应用

高考中考查应用题已成为常态.创设一个实际情境，考查学生阅读审题和数学建模的能力，呈现“数学来源于实际”的课程理念.这类题题号靠前，承载的几何体较简单，难度适中偏易，学生容易得分.

例1(2013年I卷题6)有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()

例2(2015年I卷题6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺 ，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

试题分析立体几何应用问题近三年均在第6题中考查不是偶然的巧合，反映出命题者的立意：考查数学的实际应用，但又不想增加试题的难度，保持该型题难度的相对稳定中等略偏下，要求学生有较强的数据处理能力和运算求解能力.另外，2015年I卷考题6(例1)渗透了数学文化与数学史，这是全国高考数学命题的新动向，值得我们关注！

2.2坚持通性通法，考查主干知识

所谓通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法.全国高考数学命题的基本原则是淡化特殊技巧，注重通性通法，强调对具有普遍意义的方法和相关知识的考查.通性通法不仅能全面透视出立体几何的本质与内涵，而且对全国考生来讲背景也是公平的.立体几何中的核心概念、主干知识、常规思想方法是常考并力求创新.

例3(2014年II卷题11)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°,M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()

例4(2014年II卷题18)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.

(1)证明：PB∥平面AEC；

例5(2015年I卷题18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°,E、F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

试题分析用几何法或向量法求空间角：异面直线所成角、线面角、二面角，证明线面平行或垂直、面面平行或垂直，求几何体的体积等都是全国高考立体几何的“常客”，命题者的意图在于用主干知识挑大梁，但在知识点的分布上力求均衡即：线面平行或垂直只考其一，空间角只考其一，且都是“一拖二”型，一题证明推理，一题计算求空间角或体积.

2.3揭示逻辑关系，考查推理能力

数学能力的核心是逻辑思维能力，突出考查的是理性思维，而思想的过程是靠逻辑推理来完成的，因而推理论证能力是高考考查的着力点.说一个命题为假，只需要举出一个反例；判断一个命题为真命题，必须给出证明过程，这是进行逻辑推理的基本范式.在推理过程中，要求理由充分、层次清楚、书写规范.清晰而规范的解题思路来自对立体几何相关定义、定理、公理的准确理解和灵活应用.

例6(2013年II卷题4)已知m、n为异面直线，m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()

A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交，且交线垂直于l

D.α与β相交，且交线平行于l

例7(2013年I卷题18)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=600.

(1)证明AB⊥A1C;

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

例8(2015年II卷题19)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16,BC=10,AA1=8,点E、F分别在A1B1、D1C1上，A1E=D1F=4.过点E、F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；

(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.

试题分析全国高考对推理能力的考查是客观题和主观题双管齐下，考查的对象是立体几何中的主干知识——空间中点、线、面的位置关系.必须要指出的是2015年II卷题19，要求画出两个相交平面的交线，此类题在消失多年后又“卷土重来”，绝非只是命题者的一时兴起，它与人民教育出版社章建跃博士“作图是立体几何学习的第一大事”的理念遥相呼应，这个变化也值得关注！

2.4重视动态问题，考查探究能力

运动、变化是几何的重要特征之一，在运动、变化中探究几何性质，在变化中寻求规律，在变中探究不变，在动中探索不动，是对学生高层次思维能力的考查.这类问题常在解答题中出现，但也有年份在客观题中出现.

例9(2015年II卷题6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()

例10(2015年II卷题9)已知A、B为球O的球面上的两点，∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()

A.36πB.64πC.144πD.256π

试题分析解决立体几何中的“动态问题”，关键是要引导学生探究图形运动过程中的“不变量”，抓住它，问题就能得到解决.在例10中，动点C运动的不变量是点C到球心O的距离即球半径，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径端点时，三棱锥O-ABC体积最大，据此得到球半径的大小，问题获得解决.让学生的思维在关键处闪光，能力在要害处增长，弱点在隐蔽处暴露，意志在细微处磨砺，这是数学解题教学的根本任务.

通过以上的分析，我们可以得出：全国高考数学卷立体几何考查的立意、方向、重点等与安徽卷大体相同，但题号、题型较安徽卷更加稳定，题数比安徽卷多一小题，解答题的形式都是“一拖二”，分值增加到22分.更加注重能力的考查，更加关注动态背景下点、线、面位置关系的考查.数学文化、数学史，几何画图水平进入考查的视野等都是全国高考数学卷立体几何命题的新形式、新变化，必须引起我们的高度关注.

32016年高考立体几何备考建议

从2016年开始，安徽省将用教育部考试中心命制的全国卷进行高等学校招生统一考试，所以剖析近三年全国高考立体几何试题，有利于日常教学，更有利于复习备考.

3.1回归课本，夯实基础，抓纲务本求真

高考数学复习强调回归课本是基于以下事实：

1.高考命题的原则：依据考纲，源于教材，高于教材.高考命题的依据是《考试大纲》，而《考试大纲》编写的依据是《课程标准》，教材又是《课程标准》的具体化和形象化.高考命题坚持稳定，而又注重在稳定的基础上创新.那么，靠什么来维持稳定呢？不是应考热点，也不是参考资料，而是课本！只有课本才是相对稳定的，这种回归课本的导向，不仅有利于命题的稳定，而且有利于教学秩序的稳定，对中学数学教学中事实上存在的资料泛滥、滥用资料现象也是有力的矫正.

2.安徽省特级教师、合肥市教研室王道宇老师在合肥市2016年高考研究报告《明确策略求实效，刚柔并济求发展》中指出：“全国高考数学试卷相当数量的试题都源于课本的例、习题，或稍加改造，或做拼合，或稍做提高，使常规题型、常见思路、常用方法在试卷中占了主体地位.突出了基础知识、基本技能和基本方法的考查.”又强调指出 “高考试题多数是课本习题的变式、改编，难度与课本试题的难度相当，也有的试题高于课本的难度，思维量高于课本试题的思维量.”

3.笔者通过对2015年高考数学课标Ⅰ卷(理科)的研究，得出取材于课本的考题有：1、2、3、4、7、8、9、14、17 、18等.

对回归教材的几点建议：(1)引导落实.教师思想重视，在例题讲解时适当引入课本例题或习题，或引导学生看课本；复习训练中得到的一些规律性的东西，要注意从课本中寻求这些经验、方法和规律的依据.(2)上课落实.改变知识串讲方法，以知识+问题形式，使知识问题化，教师引领，学生参与解决；解题教学中解题方式的表达，应以课本为标准.很多复习资料中关键步骤的省略、符号的滥用、语言的随意性和图解法的泛化等，都是不可取的，应通过课本来规范.(3)训练落实.在作业或单元测试中，设计部分课本例题或习题的变形或引申.如果遇到障碍，尽可能把问题回归为课本中的例题和习题，应有查阅课本的习惯，通过课本查明我们在知识上的缺陷.重视教材的二次开发，主要是对课本例题引申、拓展、举一反三，重在迁移，探讨如何使课本习题发出新枝.关注课本中可探究型素材，实现课本与高考的无缝对接.

3.2讲清道理，展现思维，彰显数学本质

笔者认为：提高学生的数学学习与考试水平，必须回归基础知识与方法的本源，要把眼睛紧紧盯在问题背后隐性的道理上.无论是概念、定理的教学，还是解题教学和解题训练，都必须紧紧围绕基础、道理去展开，使得基础知识、基本技能和基本方法真正成为学数学、做数学、用数学的“加油站”.因此，在“三基”的复习中，既要回忆知识的发生过程，又要关注问题的抽象特征，使得学过的知识容易被激活，能够被迁移.在数学解题训练中，应围绕数学基础知识的合理组织、运用与基本思想方法的不断深化来展开，而不仅仅只是题目类型、解题技巧的训练与归纳.我们要清醒地认识到，盲目的解题训练非但无益，甚至有害，“一类题目一种解法”的训练，使学生养成“填鸭式”的解题习惯，造成他们的认知惰性，即只是从形式上去思考问题，而不从本质上去探究.例如，“线面平行”本质的把握是线面平行复习的关键.所谓“线面平行”是指一条直线和一个平面没有公共点，如何刻画这一特征？可以从线面关系或面面关系两个方面来进行，进而得出判断线面平行的两种基本方法：线线平行⟹线面平行⟸面面平行.抓住了“线面平行”的本质，线面平行就不需要用大量的重复练习来定型，复习就可以全面突破，既提高了考点的复习效率，又切实减轻了学生的复习负担.

3.3突出主干，扎实训练，注重通性通法

全国高考数学试卷坚持能力立意，注重对数学思想方法的考查，突出考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力，运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.淡化特殊技巧，注重通解通法，回避繁难偏怪的试题.

重视立体几何中画图能力的训练，作图是立体几何学习的“第一大事”(章建跃语)；强调向量法的作用是立体几何改革的基本方向(章建跃语)，“基本图形”是立体几何的树根和树干，有“自我生长功能”，因而要重视 “基本图形”在立体几何中的复习功能.加强两种基本方法——几何法和向量法的扎实训练，常规题型的分析思路以及解题方法要求学生要记忆在脑海中，消化在血液里.例如，求二面角的大小就是求其平面角的大小，用几何法解题关键是找平面角，找角的方法有哪些，必须要通过典型的训练掌握找平面角的常用方法即通法；用向量法解题关键是求出两个半平面的法向量，借助法向量的夹角来求其平面角的大小，那么如何求平面的法向量就是该类问题的通性通法，要扎实训练加以掌握.

教师在引导学生用通性通法解题的同时，也要注意特定方法、特殊技巧的运用，尤其在选择与填空类的试题中，避免“小题大作”，要“小题小做”、“小题巧做”.要建立“在客观题中尽量用特殊法解决，在解答题中以特殊法探路”的意识，这样可以快而准地解决问题.当然，在教学中我们必须以通性通法为基本原则，否则就又进入另一个认识上的误区了.

我们觉得2016年立体几何的复习备考，在突出主干、扎实训练的同时，还要注意另外两种题型的训练，(1)平面图形的翻折问题：例如数学课本必修②第79页B组题1，选修2-1第118页题12；(2)旋转体中点、线、面之间的关系：例如2013年安徽卷对旋转体的考查，我们的印象是深刻的，很值得玩味，这两种题型在训练时，要督促学生掌握解决问题的常用方法，不玩特法特技.

4结束语

高考数学复习一个首要问题，就是要能够对高考复习的课程资源做出正确的判断、恰当的取舍和合理的运用，要知识与能力并重，思想和方法同行.这样的高考复习课堂才会焕发出生命的活力，才能保证复习效率的最大化，才能用高考复习的“不变”应对全国高考试卷的“万变”.正如安徽省教育厅程艺厅长指出的那样“只要老师教的好，学生学得好，不管怎么出题都不怕”.

参考文献

1章建跃.立体几何教学中的几个问题[J].中学数学月刊，2015(10)

2黄严生.近五年高考数学全国卷的命题特点[J].中学数学教学参考，2015(12)

(收稿日期：2016-01-12)