高考对高中数学新教材“拓展性课程资源”的考查

2016-05-20云南省大理第一中学王永生邮编233000

中学数学教学 2016年2期

关键词：课程资源课程标准

云南省大理第一中学　　王永生　　(邮编：233000)

聚焦新课程

高考对高中数学新教材“拓展性课程资源”的考查

云南省大理第一中学王永生(邮编：233000)

摘要高中数学新教材增加了许多“拓展性课程资源”.在实际使用教材的过程中，这些内容却陷入了高评价低使用率的尴尬境地.结合具体例子就高考对这些“拓展性课程资源”的考查进行了说明，以期引起大家对这些内容的重视.

关键词数学高考；课程标准；课程资源

《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《高中课标》)的一大特点是在课程的基本理念中指出：“高中数学课程设立‘数学探究’、‘数学建模’等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯.”

基于此，在人教A版教材中，以“探究与发现”、“阅读与思考”、“信息技术应用”和“实习作业”栏目形式给出了“拓展性课程资源”.下表为人教A版必修教材中几个栏目的数量统计.

教材版栏目数量人教A版探究与发现6阅读与思考24信息技术应用9实习作业5

在实际使用教材的过程中，这些内容陷入了高评价低使用率的尴尬境地.由于这些资源“在师生心目中地位的缺失，至今仍然没有引起师生的重视，当然也基本不能发挥其应有的功能与价值了”.

还好，近几年来的高考题中多少出现了一些“拓展性课程资源”的影子.虽然饱受争议，可这恰恰说明了命题者对新课程改革的支持，同时也为高中数学教学指明了方向，那就是不能太过于功利，对教材中的这些“拓展性课程资源”视而不见，而应适当用好这些资源，从而努力提升学生的综合数学素养.下面结合具体例子谈谈高考是如何对这些“拓展性课程资源”进行考查的.

1对“探究与发现”栏目的考查

在学完指数函数和对数函数的相关内容后，人教A版《数学1》(必修)(以下简称《数学1》，其它类同)安排了“互为反函数的两个函数图象之间的关系”这一“探究与发现”栏目，以五个问题的形式，试图引导学生得到“指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和它的反函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称的结论”.而下面的考题也正源于此.

解析反函数与原函数的对应关系是解决问题的关键，一般有两个处理方法，一是从原函数出发求其反函数，再求函数最大值，本题求反函数较困难；二是利用反函数定义域对应原函数值域，反函数值域对应原函数定义域，反函数与原函数对偶区间上单调性一致，求出函数最大值.

祖暅原理是中国数学历史文化的瑰宝.《高中课标》认为：“数学课程应适当反映数学发展的历史、应用和趋势.”并提出“应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.”《数学2》在第一章《空间几何体》的最后安排了“祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”这一“探究与发现”.在详细介绍了祖暅原理的内容后探讨了它在柱体、锥体、球体的体积公式推导中的应用.高考课标全国卷还没直接考过祖暅原理，但省市卷还是对其难以割舍.

图1

解析根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为π·12·2π+2·8π=2π2+16π．

2对“阅读与思考”栏目的考查

“阅读与思考”栏目在新教材中所占的份量最重.在必修教材中一般可分为四类：(1)知识拓展类：对教材已有数学知识的进一步扩展深化，如“斐波那契数列”、“错在哪儿”和“相关关系的强与弱”等.(2)数学史类：如“海伦和秦九韶”、“对数的发明”等.(3)学科介绍类：介绍现代数学的新进展，数学在其它学科中的渗透和应用，如“坐标法与机器证明”等.(4)实际应用类：运用已有的知识解决一些具有实际意义和趣味性的问题，如“广告中数据的可靠性”等.高考对此栏目的考查主要侧重于前两类.

点评本题主要考查回归直线，相关系数的知识.此部分知识源于《数学3》在第二章《统计》中的“相关关系的强与弱”.与此相关的考题还有：

(2011年高考江西卷理科第6题)变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5);变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量U与V之间的线性相关系数，则

A.r2

C．r2<0

解析由数据可以看出变量Y与X之间是正相关, 变量U与V之间是负相关,所以r2<0

p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,

p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,

p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,

p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.

其中的真命题是()

A．p2,p3B．p1,p2C．p1,p3D．p1,p4

解析此题求解的通法是画出可行域后求得x+2y≥0,于是真命题是p1,p2,选B.

例5(2009年高考全国福建卷文科第16题)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为______.

解析这样得到的数列称为斐波那契数列.由此可知，每四个出现一次3的倍数，30个数中有且仅有7个数是3的倍数，则五位同学拍手的总次数为7次.

点评此题以游戏形式构造了一个“斐波那契数列”的场景.利用其性质可容易得到求解.《数学5》在第二章《数列》中的“斐波那契数列”讨论了该数列.类似考题还有：

(2012年高考江西卷理科第6题)观察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10=()

A．28B．76C．123D．199

解析观察各等式的右边，它们分别是1，3，4，7，11，…，从第三项开始，每一项是前两顶的和，则a10+b10=123.此即为斐波那契数列的特征.

此外，“海伦公式”的应用也极其广泛.由此可见，“阅读与思考”栏目的知识一般不直接考查，但这些知识对开阔学生视野和提升学生能力是极有帮助的.

3对“信息技术应用”栏目的考查

“信息技术应用”栏目是最难进行考查的.也正因为如此，此部分资源在平时教学中是最不受重视的.《数学1》在三章书中的“信息技术应用”栏目依次就用计算机绘制函数图象；借助信息技术探究指数函数的性质和借助信息技术求方程的近似解问题进行了讨论.下面的问题与此相关.

图2

A．4B．5

C．6D．7

解析画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象，如图2，f(x)的最大值在x=4时取得6，故选C.

点评此题需在同一坐标系中作出三个函数的图象后数形结合求解.类似考题还有：

(2011年高考全国新课标卷文科第10题)在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()

解析可作出函数y=ex和函数y=3-4x的图象后近似求解，故答案为C.

4对“实习作业”栏目的考查

“实习作业”是高中数学新教材较有特点的一个栏目.《数学5》在第一章《解三角形》的最后安排了一个“实习作业”.要求“根据实际需要，利用本章所学的知识做一个有关测量的实习作业，并写出实习报告.”与之相关的考题较多，主要突出利用解三角形的相关知识解决实际中与距离和高度有关的测量问题.

图3

例7(2009年高考新课标全国卷理科第17题)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图3)，飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.