论数学教学设计的心理取向

2016-05-20淮北师范大学数学科学学院邮编235000

中学数学教学 2016年2期

淮北师范大学数学科学学院　　张　昆　　(邮编：235000)

论数学教学设计的心理取向

淮北师范大学数学科学学院张昆(邮编：235000)

依照自由主义思想，人都是理性与经济的，时时处处为自已着想，由此，自我意识、本体思想充斥人的内心中.由于逻辑思维方式是数学的本质性思维方式，数学教科书的部分编者与全体数学教师在入职前都受到了逻辑思维的长期训练，他们已经对数学知识逻辑发生了若指掌.因此，他们在处理教材与学生发生数学认识的关系时，就有可能形成教师“自我中心”的偏向：重视数学知识的逻辑过程，轻视学生发生数学认识的心理过程.“自我中心”意指一个人只从自己所处的位置来看世界，唐纳德逊指出：“对一件事情知道得越清楚，那么根据自己的知识而自我中心地行动的危险性也就越大.因此，至少在这方面，教师与学生之间的差距越大，教学就越难适应于学生心理需求”.[1]本文对此加以分析.

1教师“自我中心”对数学教学设计的影响

教师的“自我中心”倾向，造成了实际数学教学设计的取向基本上偏向了数学知识发生的逻辑过程，而避离了学生发生数学认识的心理过程.如此，许多教育工作者(也包括非教育工作者)长期受到这种观念的“濡化”，使数学教育过分强调客观知识的力量，误以为：通过教育，客观逻辑化了的数学知识最终可以转化为受教育者个性的优良行为与崇高品德，都可以转化为提升受教育者精神境界与思维的创造性，都可以转化为促进个体对自己与社会的责任感与使命感等内隐层面上的数学教育目标.

这种观念的蔓延对数学教育价值的发挥极其不利，它把知识的发生与主体的心理发展割裂开来，认为只要将知识装入主体的这层“皮囊”，就能提升他们的精神品格.要突破这种观念的束缚，就要认识到客观知识促人发展的有用性是有条件的，这些条件在于如何通过数学教育，将这种客观知识作用于人的精神结构，深入到人的心灵深处，从而对人的一系列的心理特征萌生与发展施加积极影响.这就要求教师在数学教学设计时，有意识地选择合理的设计路线.对于此，我们研究的结果是：依据数学知识发生的逻辑线索，偏向于重视主体数学知识发生的心理过程，将二者进行整合，形成教学设计的优势，促成数学教育高层次目标的发生.

数学教育的高层次目标要求数学教学必须要作用于学生的心灵：完善意识结构，提升精神品格.这一切，要求学生伴随着发生数学认识的同时，心理的某些优秀特质得以不断地生长与磨砺，组织这些特质解决问题的动态性经验不断得以积累与综合，经由这些特质的连结与组合而生成的观念不断得以运动与重组，并在这观念的运动与重组的过程中吸纳新材料形成再生性的观念.奥古斯丁说：“精神存在的持续寓于意识的内容总体或可再生的观念之中；观念所带动的精神运动和精神活力体现于这些因素在判断时进行结合与分离的过程中”.[2]正是这种“再生性”观念真正使学生的精神资质得以运动与协调，意识机能的创造性得以生成与发展，“思维的能产性”[3]得以形成与发展.

2探究发生数学认识的心理过程

思维活动经历了怎样的活动过程，从解决数学问题中获得数学知识的呢？我们经过反思自己发生数学认识的过程，获得这样的启示：当面临数学问题时，问题所提供的一鳞半爪的孤立信息可能对问题的解决帮助甚微，这就需要将这些分散的信息组织起来使其形成关联.在形成关联的过程中，又绝非问题所提供的这些外在信息在心里进行粗放式叠加，而必须深入到主体思维活动中，经由意识机能的“工作台”进行锻造，给外在的具体材料打上“人”的精神的印记，由此来组织、调整、重组，甚至于进行构造等活动，主体思维在这种探究的过程获得了磨练.此时，精神活动的载体——数学观念在组织外在问题所提供的信息过程中，发挥的作用中至关重要，它是作用于意识之外的物质性材料(而非经由逻辑加工好了的材料)的“工作台”，它整合着面临的各种数学问题信息.

这种整合的过程可以如此近似地描述：主体已经预先(通过遗传或者先前的学习，柏拉图在《枚农》篇中，通过苏格拉底与牧农的对话，认为许多知识是与生俱来的[4])掌握了不少数学知识，并形成了它们各自的结构框架，这些结构框架构成了组织新信息的“凝聚核”，从而形成了解决新的数学问题的工具.学习数学知识就是不断地在意识结构中增加这些工具，作为观念储存在我们的记忆库中.但仅有这些工具还远远不够，更为重要的是，对具体数学问题，如果意识结构中没有信手拈来的整理外在信息的“凝聚核”时，如何改造记忆库中已经存储的离套用外在信息较远的“凝聚核”，或者干脆制造出新的“凝聚核”作成框架来作用于面临的外在信息？这就促成意识机能的创造性，形成“思维的能产性”的关键所在.

当我们面临数学问题时，一般情况下，对于受教育者而言，相对来说问题所提供的信息杂乱无章，不是轻而易举就能理出头绪的.于是，要达到真正地解决问题，就必须经由意识机能的过滤、比较、辨别，从中选择出一项，或几项的关联作为支点信息，并且依据这一支点信息，在记忆库的众多知识框架中大致地选择出某一“知识框架”作为套用支点式信息的“凝聚核”，将其他诸多信息吸附到这个“凝聚核”的周围，意识机能再对其进行调整与排列等运作，使外在于主体的信息构成一种不稳定的结构轮廓.意识机能又通过自己的监控系统，对由于自己的工作所选择出来的结构轮廓进行评价、判断，最终将外在问题提供的支点信息生成的结构轮廓，与主体所选择出作为“凝聚核”的记忆库知识框架之间的相关元素进行对比、比较，试图匹配(如图1所示).

图1　数学思维活动框架图

由此可知，数学知识的重要性在于它提供了解决问题的框架——组织外在信息的“凝聚核”——解决问题的工具.但是，我们知道，工具是客观的、物质性的材料，它不能自行地直接作用于问题.这些可套用外在信息的知识框架的“凝聚核”是人的意识机能的产物，就是说，在解决面临的数学问题时，意识机能始终处于激活的状态，具有能动性的一面，它不断地对已经具有的工具进行组合、调整与重组，使之变成适应性更广泛，使用更方便，或者直接创造出全新的工具.例如，加罗华引进了“置换群(加罗华群)”这一工具彻底解决了高次(五次或五次以上)方程根式解不存在的论断，这完全是意识机能的创造性发挥的产物，并不是加罗华对前人所获得的数学知识的累加而自然产生了这一论断.

数学教学正是在主体的精神资质的创造性获得套用外在信息的“知识框架”过程中，促成了数学教育高层次目标的实现.就是说，经由数学学习，活化学生的思维结构，发挥意识机能的创造性，实现“思维的能产性”，提升学生的精神品格，即在改造客观世界的同时，也改造着主观世界.

严群如此论述心物二元性之间的关系，“心好比工匠，物好比材料，材料是已有的，工匠用他心中的计划，把材料组织起来而成器皿；有工匠，无材料，工匠莫能施其计，有材料，无工匠，材料不能自成器皿，所以杂乱无章，混然一团的物种必须有心把它们整理起来，才成宇宙万物，心也必须有物种，才能实现它的条理与功用”.[5]人通过发挥自己的意识机能，或思维能力揭示出了物质内在联系，发掘了物质的有用性.也正是在这种创活动之中，激活了精神本体潜存的优秀特质，提升了自己的精神品格.而就数学教育意义而言，这种追求物质的有用性至多只是一种副产品，更为重要的结果是促成主体的意识结构自身的优化.

我们观察数学史中所出现的事实：“圆锥曲线的发明为的是要解决祈祷神坛的加倍问题，结果却变成了诸行星绕太阳环行的轨道.卡尔丹和邦别利所发明的虚数数量，能够奇怪地描绘出交流电的特点.黎曼的幻想所产生出来的绝对微积分，变成了相对论的数学方法.而在凯雷和西尔维斯特时代完全是抽象的矩阵，却可惊奇地适用于由量子论所揭示出的原子的奇异位置.”[6]这些都是先在数学家的意识结构机能中进行了形式化的创造，再将其应用到了具体的物理实践中去，这就是数学家在无意识中所创造出的数学模式给探究客观世界提供了框架，突出了数学的有用性层次.

数学家承认，他的行业根基的独创技能，来源于感觉印象，他把这种感觉印象等同于原始实在，当他有时发现这些技能和产生此技能的实在十分吻合时，他并不感到奇怪.但是，数学家拒绝承认用这种吻合作为其成就的判断准则：从他的创造性想象中跳出来的东西，其价值是不能在物理实在性中使用程度的有效性来衡量的.虽然如此，形成的令人惊奇的事实是，尽管数学知识纯粹为精神的创造物，为什么却是如此地富有成效？尽管数学具有建构的特性，这可能成为不合理性产生的根源，但为什么数学仍然具有必然性从而保证着恒常的严格性呢？尽管数学只有演绎的性质，那为什么却跟经验或物理现实是一致的呢[7](读者注意后文有黑格尔与谢林的解释)？

这就充分证实了我们反复强调的，就教育意义而言，数学知识只是利用其作为优化意识机能，发展思维能力，进而提升学生的精神品格的物质性载体.因此，数学教学设计的要旨在于，如何通过数学知识的这种载体，拔高人的精神资质的创造性，追求人的心灵的完整，达成由人的躯体所承载的精神与外在于精神的物质这两者之间的协调与和谐，从而洞明作为个体对自然与社会的责任感与使命感，进而形成高尚的人格与崇高的品德.这些高层次数学教育目标的实现都是数学教育义不容辞的责任，数学教育工作者自身必须要提升自己的精神境界，才能适应数学教育的这种高层次目标的需要，而不仅仅只是传授数学客观知识的逻辑过程.

为了比较清楚地说明数学知识发生的内在精神过程，依据数学知识逻辑发生的过程，通过数学教学设计达到促进学生精神资质的创造性，我们举一个具体的例子(仅仅只是为了说明问题的例子)加以说明：

①

②

这里的关系式②就形成了套用恒等式①左边的知识框架，它是解决这一问题的有效工具.它的得来是在主体已经形成数列概念的作用下(读者注意后面进一步的说明)，抓住了①式的左边所有项的相似结构的外在信息，决定将通项进行变换，获得了公式②这一“凝聚核”，以此套用到恒等式①左边的所有项中去，构造出了利于计算的一种新结构解决问题.

由于主体怀有的数学知识结构与性质的不同，对于这种知识结构与性质的解释也不相同，形成了主体的数学观念的多样性，这种多样性对主体解决问题时意识技能的活动提出了较高的要求，它在面临问题时，必须要经由选择的“凝聚核”，以此来生成外在信息的结构轮廓，而不存在唯一的放之四海而皆准的“知识框架”，形成了由观念所组织成的结构轮廓的不稳定性，即作成结构轮廓的支点信息可以调整与更换.如果结构轮廓与知识框架匹配不成功，就应该更换支点信息，重新选择新的知识框架，又由于观念使用的是表征实体性的符号系统进行整理材料的运作，这就是观念的去实体性(物质虚空性)——只是利用物质的符号所形成的概念进行(非实体)的精神活动，而摒弃了外在物质性实体设置在我们的感官面前的重重障碍.于是，外在信息在观念这一“工作台”中就极容易通过想象、联想等意识机能的发挥，比较自由地进行组合，调整与重组，将外在信息构成新的结构轮廓，进行新一轮的运转，以此循环往复，直到知识结构框架对外在问题信息在观念提供的“凝聚核”中所作成的结构轮廓的适应为止.对于数学观念的作用，让我们体会黑格尔与谢林的精辟论述.

黑格尔说：“在意识里发生于自我的对象的实体之间的非同一性, 就是它们两者的差别，一般的否定性.我们可以把否定性视为两者的缺陷，但它实在是两者的灵魂和推动者.正是因为这个理由，有些古代哲学家曾把空虚理解为推动者，他们诚然已经知道推动者是否定的东西，但还没有了解它就是自身.如果这个否定性首先只表现为自我与对象之间的非同一性，那么它也是实体对它自己的非同一性.看起来似乎是在实体以外进行的，似乎是一种指向实体的活动, 事实上就是实体自己的行动，实体因此表明它自己本质上就是主体.当实体已完全表明自己就是主体的时候，精神也就使它的具体存在与它的本质相同一了，它既是它自己又是它的对象，而知识与真实性之间的直接性和分裂性，使已经具有了的那种抽象因素被克服了.存在于是排除掉了绝对的中介而成了实体性的内容，它同样是自我的财产，是自身性的，或者说，就是概念”[9].

谢林更辨证地指出，“观念的活动是作为什么被固定下来.就观念活动一般地被固定下来而言，它就不再是纯粹的活动.它在统一行动内是同那种在界限以内受到阻滞的活动对立起来，因此就被理解为被固定下来的活动，不过是被理解为和现实的自我对立的活动.就观念活动被理解为被固定下来的而言，它就得到了一个观念的基础，就其被理解为是和现实的自我对立的活动而言，它本身就成了现实的活动，成了某种同现实的自我现实地对立的东西的活动”[10].

这说明数学所构成的模式对物理世界构成如此的有效性的原因，那就是观念活动与现实活动是同构的，两者其实是同一的，而由于观念剥离了事实特性的重重障碍，更易于促成精神资质(想象，联想，直觉等)创造性作用的发挥，因为它是在没有任何阻碍的、虚空的精神空间中进行自由的结合与离散，从而获得了极大的自由.彭加勒说：“在数学活动中，人类精神似乎从外部世界所取走的东西最少，人类精神所起的作用，或者只是自行起作用和按照自己的意志起作用”[11].这也说明数学教育对主体的意识机能发展，人性能力展开的作用巨大.

如在问题1中，对于恒等式①的证明，有的同学在试图处理通项过程中，出现了麻烦，他们一时没有得到公式②这种“凝聚核”，就不能将外在信息构建成有效的结构轮廓.他的意识机能中的监控结构要求他停止进一步的试探，同时，选择与调用其他的观念：如他可能得到的“凝聚核”是与“正整数”有关的命题的解法的观念，他就会试图采用“数学归纳法”来解题，于是，“数学归纳法”就构成了组织问题所提供的信息，证明恒等式①的“凝聚核”.

那么，在意识结构机能中，这种“凝聚核”的知识框架究竟起源于何处？设若这种知识结构框架所形成的链条无限后退，结果就必然要有一个最初的知识框架(“凝聚核”)来套用他所面临的最初的问题，这个最初的“凝聚核”从何而来？是先天赋予的，还是后天习得的？它已经涉及到了一个很深的哲学问题，通俗地说，这就是“先有鸡还是先有蛋？”的问题.这个哲学问题就是横贯古今的知识发生，即主体知性产生的“两难问题”.对于现代人来说，柏拉图对知识发生“两难问题”的解决似乎太富幻想性，而显得难于接受，但是，他用以逃避循环论证的原则至今仍然有效.他所采取的原则是：“知识是天赋的，当人诞生时，知识已经被安置在人的心灵之中了”(或请读者阅读引文[4])[12].

3数学教学设计心理取向及其实现

我们不去讨论是我们遗传基因提供了先天的知识框架(“凝聚核”)呢？还是感官的通道对外在的知觉的不断积累，经由意识机能长期酝酿而得到了这一框架呢？重要的是，在数学教学设计中，当学生面临数学问题时，如果他找不到现成的、可套用外在信息的知识框架，那么，是教师将这种作为“凝聚核”的知识框架直接提供给学生呢？还是让学生从自己意识机能中创造性地构建出知识框架，以此来套用问题提供的信息，从而使那些问题所设定的分散的信息构成相对有序的结构轮廓呢？如何回答这一问题，对能否发挥利用数学资源的教育价值，实现数学教育高层次目标影响巨大且至关重要.例如，对于问题1所提供的逻辑过程，在数学教学设计中，教师如何处理好关系式②，是将其直接给予学生呢？还是让学生通过运作自己的精神资质自行地创造出来呢？

从教育的本质要义上说肯定是选择后者(数学新课程理念也是如此)，因为，它是真正的发生数学认识过程，也是发挥意识机能创造性的紧要之处，只有如此，才能使数学教育资源深入到主体的精神层次，触及到学生的灵魂.然而，在实际教学设计中，如果对于每一个知识点都让学生如此创造性地生成，既不现实，也无必要.在数学教学中，如何既使数学知识自主流畅地发生，即在课堂教学中，讲究知识发生的效率，同时，教师又不至于直接将这种组织外在信息的知识框架直接“奉献”给学生，在知识发生的主体部分上促进学生意识机能的创造性呢？这就要在教学设计中，处理好逻辑取向与心理取向的关系，使它们两者之间达到一种平衡.

我们的长期教学经验表明，数学教学设计的目标应该设置成借助于数学知识发生的逻辑线索，导向于学生知识发生的心理过程，将这两者结合起来，既讲究数学课堂教学的效率，又不失通过课堂教学促进意识结构的创造性.如此，就要求教师在教学中与学生进行“心理换位”.所谓“心理换位”，就是教师对学生的知识发生心理过程感同身受，在进行教学设计时，设身处地地站在学生的立场上，摹仿学生的心理去探寻与获取知识.教师把自己设想成学生，体会学生已经掌握的知识，现实思考问题的方式、解决问题的能力，处理问题的心理活动意向等等.教师要将自己在施教某一知识之后所获得的东西(知识、思维能力、心理意向等)假想成一无所知，以此来揣摩学生知识的心理发生过程.如此，就会深切体会学生发生认识的心理过程，即深切体会选择或构建知识框架时的深陷重围的痛楚，举步维艰的困惑，欲行又止的难局，有针对性地设计出利于学生学习的教学.

如果教师不能与学生进行“心理换位”，不设身处地地置于学生的心理立场上思考问题，就有可能只关注知识的逻辑发生过程，而忽略学生知识发生的心理过程.在实际教学中，我们常常经历到如此场景：教师讲得神采飞扬，学生听得愁眉苦脸，这就是出于教师只讲知识的逻辑程序，而没有考虑到学生的心理需求.这种课堂教学设计产生的根源在于，教师只见知识不见“人”，他把构建外在信息的“凝聚核”的意识机能的创造过程完全舍弃了，而是将知识发生过程中整理好的逻辑捷径“下载”给学生，这就迫使学生通过记忆与机械训练来发生知识，而这种发生知识的方式只要求学生的感官的介入，就能解决问题.使得数学教育教学过程触及不到学生的灵魂深处.

还是以问题1为例，我们给出的恒等式①的证明过程就是典型的知识逻辑发生的过程，如此设计，就是教师将关系式②这种外在信息的“凝聚核”直接地“奉献”给学生.于是，通过教师的教学，学生只是记住了这种数学知识，而非从心理上发生数学认识.因为，解决问题的过程没有经过意识机能的“工作台”的锻造，即学生意识结构的深层次功能在问题解决中没有发生作用，达不到优化学生意识结构的目的.

要知道，“逻辑是论题的一种属性，并非精神过程的属性，而猜测与探究不论在心算中还是在创造性思维中都是最本质的东西”.[13]于是，这种教学失去了磨练意识机能创造性的机会，就摒弃了数学教育的本真意义.对此，我们在数学教学设计中，作怎样的处理才能使数学知识的高层次教育价值得到体现，这就要考虑对公式②的得来作出符合学生知识发生的心理意义上的解释，这是教师处理数学知识的能力所在，也是教师教学的创造性所在，他要求从知识的逻辑发生过程中，模拟出知识发生的心理过程，即将数学知识发生的逻辑过程赋予以可操作的物性序列，以此给数学知识赋予学生可以理解的心理意义.

这给数学教师提出了极高的要求，课堂教学时间有限，教师不能让学生无时间限制地去独立构造这种套用问题提供的信息的“知识框架”，因为，许多学生终其一生也未必能够构造出一种某一具体问题的“知识框架”.这就形成了一种“两难处境”，在教学设计中，教师如何求得“供给”与“创造”这两者的平衡，这已经成了一个新的课题，它没有固定的方法，只有教师仔细分析数学知识特性，准确把握学生的认知特点，特别是保持对后者的警惕，将这两者有效地结合起来，针对具体的数学问题，开拓出具体的方法.

作者从学生发生数学认识的心理活动出发，提供针对问题1在安徽省庐江中学所上的一节示范课的课堂教学设计的片段实录(这是庐江二中艾学宏老师所作的记录，进入本文时，作者进行了整理)，以期抛砖引玉，求教于同行.

生：议论纷纷(提出了许多方案，但大多数都是直接给出了恒等式②，在学生所给的这些方案中，教师没有寻找出一种合理的、有利于构造知识“凝聚核”的心理解释).

师(给出一种合理的心理解释，当然还可以有其他的心理解释，不同的教师可以有不同设计)：③式的分母为(2n-1)(2n+1),是一个以n为参数的变量；分子1是一个常量.分子与分母不成对等的关系(分子与分母应该具有对等结构，笔者在②前的教学中已经郑重地渗透了这样的观念)，我们先试探可否使分子与分母统一起来，形成对等的结构？

生甲：(板书)因(2n+1)-(2n-1)=2,

师：非常好！生甲可否解释你的想法的产生？

生甲：分母是一个变量，将它变成常量是办不到的.由分子与分母的对等性，我们可以将分子1转换成一种含有变量n的组合，这样做的目的是使③式的分子与分母从都是变量的角度和谐与统一起来.

这种教学设计，我们没有给许多课堂上的珍贵时间让学生自己去构造这种套用问题信息的“知识框架”的“凝聚核”，也没有将公式②直接地“奉献”给了学生，而是将知识产生的逻辑过程(论题的过程)利用了一种学生已经存在的数学观念，即分式的分子与分母的“对等”观念，赋予了知识的逻辑过程的一种可操作的心理活动程序，这就是对逻辑过程进行了一种心理解释.

对数学学习者而言，这种解释极有意义，他要从自己的意识结构机能出发，通过艰苦的探究活动，生成了观念——心理意义的解释，观念的形成就使这种逻辑过程转化为意识机能中的一个项目，增加了精神资质中的活性因素，为“观念的再生”创造了条件，于是，它变成了干预新的客观数学活动(设计操作程序)的因素.这种解释活化了意识结构与机能，促进了的“思维的能产性”的发生，我们有研究显示出这种“对等”观念的大范围迁移的运用，这里不再赘述.

就数学教育(不是科学上的)意义而言，数学知识在现实物理世界中的应用只是它低层次的副产品，数学知识的最为重要的价值与作用在于促进人的意识结构机能的创造性的发生，使主体把所拥有的精神资质形成人性能力，从而，达成优化人的意识结构，提升人的精神品格的目的.如此说来，在教师进行数学教学设计时，参照数学知识逻辑发生线索，适应学生知识心理发生过程，整合这两者的优势，是发挥数学资源教育价值的前提，也是实现数学教育高层次目标的保证，由此达成利用数学资源提升学生品格的本质诉求.

参考文献

1[英]玛格丽特·唐纳德逊.儿童的智力[M]，北京：教育科学出本社，1982

2[德]文德尔班，罗达仁译.哲学史教程(上册)[M].北京：商务印书馆，1997

3[美]G·波利亚，刘远图等译. 数学的发现(第二册)[M].北京：科学出本社，1987

4[古希腊]柏拉图，王太庆译.柏拉图对话集[M].北京：商务印书馆，2004

5严群. 分析的批判的希腊哲学史[M].北京：商务印书馆，1981

6[美]T·丹齐克，苏仲湘译.科学的语言[M].北京：商务印书馆，1985

7[瑞士]皮亚杰.发生认识论原理[M].北京；商务印书馆，1996

8刘紹学主编.数学(高级中学课本，选修2-2)[M].北京：人民教育出版社，2007

9[德]黑格尔.精神现象学(上册)[M].北京：商务印书馆，1997

10[德]谢林，梁志学等译. 先验唯心论体系[M].北京：商务印书馆，1997

11[法]彭加勒.科学与价值[M].转引自：李浙生.数学科学与认识论[M]，北京：北京师范大学出本社，1992