抛物线切弦的比例性质探究

上海市育才中学 　　龚新平　　(邮编：201801)



抛物线切弦的比例性质探究

上海市育才中学 龚新平(邮编：201801)

本文记录了我最近在教学时碰到的一个关于抛物线切线问题的解析和在该问题背景下的思考与探究，从而得出涉及抛物线切线与过切点的弦(不妨称之为”切弦”)之间的比例性质定理，并在此基础上探究了一些相关应用及若干变式，现整理出来和大家一起分享.

1探究抛物线切弦比例性质的过程

问题若抛物线y2=4x上有一点T(1,2),则点T处的切线与对称轴的交点M的坐标为______.

解析易得点T处的切线方程为y=x+1,与对称轴交点M坐标为M(-1,0).

思考考虑过T的切弦通径TA,焦点F是其中点，点O也恰是MF的中点，

于是我从不同角度进行了如下探究.

探究1取垂直焦点弦上不同于焦点的点时：

探究2取不经过焦点的切弦TA上的某点时：

2抛物线切弦比例性质定理

3探究抛物线切弦比例性质的应用

应用1抛物线y2=4x上有点T(1,2),求通径TA与抛物线围成的弓形面积S.

解易得点T处的切线为y=x+1,通径TA的长度为4，取TA上任意点B,过B作对称轴平行线BPM,交抛物线于P,交切线于M,设AB=x,

注抛物线切弦比例性质定理为求抛物线弓形面积提供了一种独特方法，有兴趣的读者可以进一步尝试探求抛物线与斜切弦所围成的弓形面积.

应用2过抛物线外一点M作抛物线的两条切线，切点分别为A、B,与抛物线对称轴平行的直线NM交切点弦AB于点N,探究点N与切点弦AB的位置关系如何？

解如图分别过G、H、J、I作抛物线对称轴平行线，分别与AB交于点C、D、E、F,由上述应用2知：AD=DB,且GC与AJ的交点K也是AJ的中点，由GC∥JE,进而知AC=CE.

4探究抛物线切弦比例性质的变式

注事实上任意变换T、A两点坐标，只要点P满足题设的条件，点P的轨迹一定为抛物线.

变式3已知抛物线的对称轴及抛物线上一点T,如何利用尺规作图求作点T处的切线呢？

(1)过点T任意作一条切弦TA,并取切弦TA的中点B；

(2)作该抛物线的对称轴的平行线BP,交抛物线于点P；

(3)延长BP,截取PM=PB,连接直线TM即为所求切线.

参考文献

1龚新平.抛物线内接三角形与外切三角形的又一性质[J].中学数学教学，2008(1)

2卢荣邦.抛物线切线的一个新性质[J].数学通讯，2013(5)

(收稿日期：2015-12-27)