在探究中学习新知 在活动中收获成功——以《勾股定理》教学为例

安徽省合肥市第五十中学(西区)　　胡志杰　　程海兰　　(邮编：233000)



在探究中学习新知在活动中收获成功
——以《勾股定理》教学为例

安徽省合肥市第五十中学(西区)胡志杰程海兰(邮编：233000)

1教学背景

《义务教育数学课程标准》(2011年版)较《义务教育数学课程标准》(实验稿)与时俱进地明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验”.把数学教学中的“双基”发展为“四基”,即除了“数学基本知识”和“数学基本技能”之外,增加了“数学基本思想”和“数学基本活动经验”.把“双基”改为“四基”，“数学基本思想”得到了突出，“基本活动经验”则把理性的与感性的、显性的与隐性的学习过程与学习结果都概括了进去.可见《标准》(2011年版)强调数学课程必须充分关注学生的数学活动经验.学生的数学活动经验不仅是数学教学的重要目标、数学课程的重要组成部分，也是数学课程生成和发展的基础.鉴于此，安徽省合肥市第五十中学(西区)专门成立了以胡志杰校长和张化副校长为课题负责人的课题组，申报了安徽省教育科学规划课题《初中生“数学基本活动经验”积累的教学实践研究》(课题批准号：JG14178).

在省、市、区教育局领导和专家大力支持和指导下，课题于2015年2月4日顺利开题.课题组查阅大量资料发现，国内关于“数学基本活动经验”的研究主要分布在其定义、分类等理论研究方面，而从实践层面上去研究这些栏目在教学上的作用及意义的内容则涉猎较少，特别是对数学活动经验评价的研究很少，实践定量分析的研究更少.因此，本课题的研究具有一定的实际意义.课题组制定以下几种方法来展开研究：(1)行动研究法：充分发挥课题组成员大多为一线骨干教师的优势，在教学中通过实验者自身的实践进行实证性研究，具体分为以下几个步骤：自主选题——确定主题——制订活动计划——活动展示——活动研讨——总结经验——发现问题——寻找对策——验证对策；(2)调查研究法：通过对当前学生积累基本数学活动经验的调查分析(问卷调查、访谈)，发现问题，制定研究计划，有针对性地开展案例分析研究；(3)案例研究法：基于真实的课堂教学案例的分析，形成高质量的案例集.

根据课题组安排，由课题组成员周丹、邢丽娜老师开设了“PBP”(partner伙伴互助+back to back背靠背+polish反复打磨)教研模式下同课异构的数学活动课——《勾股定理》的市级展示课，于2015年4月1日下午在合肥市第五十中学(西区)八(3)班教室进行.结合课题组前期的行动研究、理论提炼，这次展示课在数学活动设计上有所突破.在课后的评点中，得到了听课专家的好评，给与会教师留下了深刻的印象.本文以邢丽娜老师的展示课为例，就“如何设计和组织数学活动，才能有利于学生积累基本数学活动经验”，谈一点自己浅显的看法，以供商榷.

2教材分析

2.1内容简析

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是前面所学“三角形三边关系”的知识延伸，又为九年级学生学习“解直角三角形”奠定了基础.同时，勾股定理也是学生认识无理数的基础，将形与数密切联系起来，在数学的发展过程中和现实世界中有着广泛的作用.本节课是以探索直角三角形三边关系为内容的学习，在整个中学数学知识结构中处于非常重要的地位.教科书上的设计重在引导学生“探索”，通过在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理，同时又安排了用多种拼图的方法验证勾股定理，试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展学生的探究能力、合情推理能力.

2.2目标定位

(1)教学目标

(i)利用测量和借助网格发现勾股定理，能验证勾股定理并应用定理进行简单计算.

(ii)在发现勾股定理的过程中经历“观察—猜想—实验—归纳”等活动，发展推理能力，体会数形结合、转化的思想.

(iii)了解勾股定理历史,感受数学美，激发学习热情.

(2)教学重点

探索勾股定理.

(3)教学难点

勾股定理的探索过程.

突破难点方法：勾股定理的探究是通过图形面积割补得到的，而课本中没有专门讲面积的理论，学生不易理解推理的依据，要根据图形面积之间的关系列出代数式，再利用代数式的变形得出结论，过程比较复杂.突破难点的关键是以启发性的分析思路，让学生主动探究，通过对图形的割、补，熟悉面积说明问题的思路，通过动手操作、合作交流来解决问题.

2.3方法阐释

本节内容重在探索，教学中通过设计问题引导学生积极思考，动手操作，采用 “问题情境——建立模型——理解应用与拓展”的模式展开.

3教学过程与评析

3.1活动一创设情境，引入新课

首先创设这样一个问题情境：如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面4.5米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部6米处，请问旗杆折断之前有多高？

图1

教师引导学生将实际问题转化成数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边长，如何求第三边”的问题.学生会感到困难，教师指出学习了今天这一课就有办法解决了，从而自然引入新课．

评析以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活，数学是从人们生活的需要中产生的基本观点，同时也体现了知识的产生过程、解决问题的过程就是一个“数学化”的过程．问题设计具有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，实践证明，这样处理能较好地调动学生的积极性，开启学生的思维，快捷引入新课．

3.2活动二发现勾股定理

(1)实践思考——直角三角形的三边有怎样的关系？

问题请同学们动手画任意一个直角三角形，测量其三边长度并计算，交流自己的发现.学生很快发现：(1)斜边大于直角边;(2)两条直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.教师顺势追问：三边之间是否存在等量关系？

图2

评析追问三边之间是否存在等量关系，指明学生探究的目的性．

(2)探索思考——借助网格发现直角三角形三边平方(即正方形A、正方形B和正方形C的面积)之间的关系．

(i)等腰直角三角形

观察图2，对于等腰直角三角形，将正方形A、正方形B和正方形C的面积填入下表，它们的面积之间有什么关系？

三角形的形状正方形A面积正方形B面积正方形C面积等腰直角三角形

结论正方形A面积+正方形B面积=正方形C面积．

图3

(ii)直角边长为整数的一般直角三角形

观察图3，对于直角边长为整数的一般直角三角形，正方形A、正方形B、正方形C面积又有什么关系呢？

三角形的形状正方形A面积正方形B面积正方形C面积一般直角三角形

结论正方形A面积+正方形B面积=正方形C面积．

(3)观察 验证——借助几何画板验证直角三角形三边平方之间的关系．

教师改变直角三角形三边a、b、c的长度,学生观察两条直角边平方与斜边平方间的数量关系的变化情况．结论仍然是：正方形A面积+正方形B面积=正方形C面积．

再将直角三角形改为非直角三角形，通过几何画板的测量功能计算三边的平方，观察三者之间是否具有上述关系？结论：正方形A面积+正方形B面积不等于正方形C面积．

对比之后可知，上述关系是直角三角形所特有的性质．

(4)得出猜想.

=在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.

在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b表示两条直角边，c表示斜边，那么a2+b2=c2．评析本环节设计的问题，引导学生经历了四个活动过程：首先结合教科书中正方形的面积求法做出研究，让学生进行割、补、拼图的数学探究活动，算出正方形面积，探究不同求法.这样设计有利于突破难点，而且为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的过程和乐趣，也让学生分析问题和解决问题的能力在过程中得到提高.这种活动经验的积累对后面的继续学习有很重要的意义．其次，针对教科书中给出的探究题目，用前面总结归纳得到的方法来求以直角三角形三边长为边的三个正方形面积之间的关系，不难得出“正方形A面积+正方形B面积=正方形C面积”的结论．而教科书中给的探索图形，直角三角形三边长度均为整数，这样的正方形不具有一般性，对于边长任意的正方形这个结论是否也成立呢？在这里，让学生画图探讨较为困难，因而可利用几何画板进一步验证上面的结论，在此基础上进一步探讨出本节课的重点——勾股定理．这样由浅入深，充分地让学生经历了探索解决问题的过程，积累了经验，较好地突出了重点，突破了难点．

3.3活动三证明勾股定理

图4

教师为每个学习小组提供四个全等的直角三角形硬纸片，直角边长是a、b，斜边长c．

提出问题：你能用四个全等的直角三角形拼成一个什么样的正方形？拼出的正方形的面积怎么表示？

各个小组利用集体的智慧一起拼图并计算面积．拼图游戏结束后，学生代表分别上台展示拼图(图4、图5)和不同方法计算所拼正方形的面积，从而得出a2+b2=c2的结论．

学生代表我们组还想到了一种可以得出a2+b2=c2的拼图方法(图6)，只需要将两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形．

教师结合学生的拼图及证明介绍数学史：赵爽的弦图及总统证法，得出勾股定理：

勾股定理

图5

图6

在直角三角形中，两条直角边的平方等于斜边的平方.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b表示两条直角边，c表示斜边，那么a2+b2=c2

教师介绍定理名称的由来：人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，所以我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.我国早在三千多年就知道了这个定理，国外称之为毕达哥拉斯定理.

由此延伸，开始介绍数学史．

评析因为勾股定理的面积法证明的构造性已超出学生的能力范围，所以教师直接引导学生用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，再让学生用不同的方法表示拼成的正方形的面积，从而得出的结论．在小组合作探究活动中发现不同的思路，并面向全体学生做适当的比较和讨论，有利于开阔学生的视野，增强论证的趣味性，激发学生对数学证明的兴趣和掌握数学证明方法的信心，丰富学生的数学活动经验，提高思维水平．大量数学史实的介绍，可增强学生的数学文化素养，提升学生的爱国主义情怀．

3.4活动四巩固应用

回顾开头情境中的问题，利用勾股定理解决实际问题．

评析首尾呼应，解决问题.让学生在熟悉定理、运用定理的同时，再次体会到数学源于生活，又服务于生活．

3.5活动五课堂总结 课外延伸

(1)该定理揭示了哪一类三角形中的什么元素之间的关系？

(2)在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？

(3)这节课中你还有什么收获？

(4)你还有哪些不懂的，或是还想要继续探索的？

课后作业：

搜集有关勾股定理的资料和其他的验证方法，下节课交流．

评析围绕四个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课学习的收获．教师从知识内容、应用到的数学思想方法、获取知识的途径等方面引导学生多角度地进行归纳总结，感悟点滴，将知识系统化，有利于提高学生素质，锻炼学生的归纳总结及语言表达能力．将作业延伸到课外，拓展了学生视野．

4总评

纵观邢丽娜老师的这节展示课，以问题为载体，数学活动为主线，教师的启发引导与学生的思维同步，引导学生经历了一次发现和验证勾股定理的过程．全程渗透数学思想及方法，使学生的活动充满了探索和创造，有利于发展学生数学思维能力，并积累数学活动经验．总之，这节课中组织学生活动的形式有很多值得我们学习和借鉴的，现举一二．

4. 1通过数学活动，注重教学目标的整体实现

结合本课例目标，邢老师根据教学内容和学生的情况设置的四个教学活动围绕教学目标，重点突出，难点分解．学生经历了将生活中的问题转化为数学问题，主动参与拼图、数据测量计算的操作活动，经历了从特殊到一般的猜想和验证，并在实践中探索并发现新知识，运用新知识解决实际问题．

4.2巧用生活情境，培养学生构建数学模型的能力

本课例首先提出一个问题情境，要想解决这个实际问题需要先将其转化成数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边长，如何求第三边”的问题，体现了数学是从人们的生活需要中产生的基本观点，同时让学生经历了知识的产生过程、解决问题的过程，感受“数学化”的过程．学生在课堂上积累的活动经验，可以启发学生在实际生活中找到数学原理的原型，并通过实际操作，发现数学规律．当学生掌握了勾股定理的数量关系后，遇到相关问题时就会自然而然地联想到构建直角三角形模型，从而运用勾股定理去求解．

4.3经历定理的发现和证明过程，积累数学活动经验

章建跃教授在《数学教育之取势明道优术》一文中指出：“教好数学”的内涵应该是“为学生建构前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考” ．数学活动经验是一种过程性知识，是学生在数学活动过程中内化了的数学知识、技能及情感体验，既包括学生的日常生活经验，又包括学生在学校数学课程中获得的经验．帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果．本课例从解决实际问题引发认知冲突开始，激发学生探索直角三角形三边之间关系的欲望．设置几个由浅入深的探索性活动让学生在“做”的过程和“思考”的过程中体会直角三角形三边的关系，从等腰直角三角形到非等腰直角三角形，从整数边直角三角形到任意边长直角三角形，逐渐从特殊归纳出一般猜想，再有目的地去证明猜想，得出勾股定理，最后解决开始的冲突．这一完整的过程不仅可以完成勾股定理的学习，也能帮助学生积淀学习其他几何定理学习的基本经验．

4.4感悟数学思想，发展数学能力

勾股定理的面积法证明不同于其他几何命题的证明，其构造性已超出学生的能力范围，所以教师直接引导学生做拼图游戏，用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，并让学生用不同的方法表示拼成的正方形的面积，从而得出a2+b2=c2.学生在操作活动中尝试找出勾股定理的证明方法，再次加深对勾股定理的理解．学生在这一探究活动中充分体会数形结合思想，感受几何证明的新方法，丰富了学生的数学视野，发展了学生的数学能力．

5结束语

综上所述，学生不是从老师那里获取知识，而是在数学活动的过程中发现规律、积累经验．我们的一切数学教学活动都应该促进学生的成长与发展，应该以帮助学生积累数学活动经验为目的．数学教学活动的设置要围绕教学目标启发学生进行有效的思考，使学生在动手操作的实践基础上，探索数学知识的规律，从而建立数学模型，更应该尊重学生各自的知识经验、思维方式和习惯，培养学生用思维的眼光去发现问题、分析问题并解决问题，使学生的感性认识通过实际操作上升为理性的思维认识．同时要求教师在教学活动中应是一个促进者、协作者、组织者，要善于做点燃学生探究欲望和智慧火花的人，要善于让学生说教师要说的话，做教师想做的事．问题的设置，要注意其层次性，使问题的提出由浅入深、由简单到复杂，循序渐进，满足不同层次学生求知探索的欲望，从而获得直接经验的体验和理论知识的收获，在实际的应用中不断地培养学生的动手验证意识和创新精神．

参考文献

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3詹高晟，陈冠文.贵在体验过程重在引导思考[J].中学数学教学参考(中旬)，2015(6)

4邬云德.愚“过程教育”于“认识不等式”教学探索及反思[J].中国数学教育(初中版)，2014(1/2)

5顾广林.初中数学活动课教学策略[J].教学与管理，2014(8)

(收稿日期：2016-01-25)