受迫振动的拉普拉斯变换分析法探讨

梁明智（赤峰学院　物理与电子信息工程学院，内蒙古　赤峰　024000）



受迫振动的拉普拉斯变换分析法探讨

梁明智
（赤峰学院物理与电子信息工程学院，内蒙古赤峰024000）

摘要：本文通过拉普拉斯变换分析了受迫振动的几种可能情况，并介绍了受迫振动时的主要特征.

关键词：受迫振动；拉普拉斯变换；拉普拉斯反变换；位移振动

1　拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换

一个定义在[0，∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为

式中s=σ+jω为复数，F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数.由原函数经上式变换为象函数，称为拉式正变换.拉式正变换的符号为

如果F(s)已知，要求出与它对应的原函数f(t)，由F(s)到f (t)的变换为拉普拉斯反变换，求出它的定义式为

式中c为正的有限常数.拉式反变换的符号为

2　在复频域上牛顿定律的拉普拉斯形式

牛顿定律在一维坐标系中的形式：

其中x(0)、v(0)表示t=0时物体所在位置坐标及速度.

3　受迫振动

振动系统因受阻力作用作振幅减小的运动称为阻尼振动，一般来说，在振动速度较小时，所受阻力正比于物体运动的速度.在阻尼振动系统的基础上加上一个周期性的外力所发生的振动称为受迫振动.所加的周期性外力又称策动力.设策动力按余弦规律变化且其初相位为零.即：

则弹簧振子运动的动力学方程为：

设初始时刻有：x(0)=A0x'(0)=V0则拉普变换后的形式为：

则有：

其中K1、K2、K3、K4为待定的系数，由恒等式知识有：

⑴设β＞ω0（即阻力很大时）

其中：

对X(S)进行反拉普拉斯变换则有：

上式表明，当阻力很大时，前两项会单调地趋于0，达到稳定时其振动方程为：

⑵设β=ω0

对X(S)进行反拉普拉斯变换则有：

从上式可以看出第一项在极短的时间内就会衰减为0，达到稳定时其振动方程为：

⑶设β＜ω0

对X(S)进行反拉普拉斯变换则有：

上式表明，前两项做振幅以指数规律减少的振动，达到稳定振动时的振动方程为：

通过以上的分析可知受迫振动达到稳定时，不论是何种情况，其振动方程都是：

下面对受迫振动的主要性质进行分析：

1、稳定的受迫振动时的振动频率并非是固有频率ω0，而是策动力的频率ω.且其振幅A与初相φ0只决定于振动系统本身的性质、阻尼的大小与策动力的特征，与初始条件无关.

2、而φ0可理解为稳定的受迫振动时位置坐标与策动力的位相之差.

若ω＜ω0时，φ0＜0表明位移的相位落后于策动力的相位.当ω→0时，φ0=0二者的相位相同.

若ω=ω0时表明位移的相位落后于策动力的相位

若ω＞ω0时，φ0=-π表明位移的相位与策动力的相位相反.

3、稳定受迫振动的振幅随策动力频率的改变而改变，当策动力频率取某一数值时，振动系统受迫振动时其振幅达极大值的现象，称为位移共振.由：可得最大振幅时策动力的频率为：

4、稳定的受迫振动时，其振动速度为：

很显然，当策动力的频率为某一数值时可使振动的振幅取最大值，即振动的速度的最大值，这种现象称之为速度共振，其共振的条件为：

即策动力的频率与振动系统固有频率相同时才会发生速度共振.

从以上分析可知，发生位移共振与发生速度共振的条件是不同的.

通过以上的分析过程可知，利用拉普拉斯变换分析受迫时振动不必处理繁复的微分方程，可将复杂的高等数学运算中的微分方程转化为初等数学运算，将计算难度大大降低.

参考文献：

〔1〕贺洪江，等.电路基础[M].北京：高等教育出版社,2004，7.

收稿日期：2015-12-20

中图分类号：O193

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2016）04-0005-02