一种汽轮发电机组轴系受迫振动响应分析方法

刘博

（哈尔滨汽轮机厂，黑龙江 哈尔滨150040）



一种汽轮发电机组轴系受迫振动响应分析方法

刘博

（哈尔滨汽轮机厂，黑龙江 哈尔滨150040）

摘要：研究了汽轮发电机组的自由振动以及受迫振动响应问题，并通过特征值与特征向量的求解获得了轴系的固有频率和模态。并针对某型实际汽轮发电机组轴系，获得了该轴系突加载荷时机组的扭转振动响应。

关键词：汽轮发电机组；受迫振动；瞬态响应

1　概述

受迫振动是指力学系统在外界周期驱动力作用下产生的一种振动。受迫响应振动分析通常包括两个主要方面：正弦激励下的稳态响应和随时间变化的激励扭矩下的瞬态响应。

对于稳态响应以及瞬态受迫响应，运动的矩阵方程可以采用模态转换的方式进行解耦处理。对于稳态响应，列出的二阶微分方程属于封闭式。而对于瞬态激励下的响应，可以通过数值积分的方法来进行计算。

受迫振动的一般运动方程为：

其中，[M]，[C]和[K]为n×n阶的方阵（n为模态中的节点数），分别对应着惯性矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵。方程中其它带有θ的各向量，则分别对应了扭转运动的加速度、速度、位移。[TA]为外力扭矩向量。

求解式（1）时，经常将变量从实际的物理响应值θ1…θn，转化为模态坐标q1…qm的函数。在这里n代表节点数目，m代表所使用的模态数量。

模态转化方程如下：

式（2）中的矩阵[R]包含了通过预先固有频率计算得到的m个模态阵型。通过矩阵变换，将位移向量θ1…θn转换为一个新的向量q1…qm.这个新的向量左乘模态阵型矩阵[R]所得到的矩阵，在任何时刻都等价于位移向量q1…qm.这个新的向量可以看成是模态系数。举例来说，在任何时刻都可以表达出矩阵[R]中所列出的模态振型参与实际振动响应的情况。

如果分析中用到了所有的n个模态振型，那么m=n，最终得到的分析结果将与不使用模态转化方程的计算结果一致，相当于直接求解式（1）。如果只是选定的模态振型被使用，也就相当于m

将式（2）代入式（1），并进行矩阵变换

在这里[M']，[C']和[K']分别为模态转动惯量矩阵、模态阻尼矩阵、模态刚度矩阵，它们都是m×m阶矩阵，其中，m为所选择的模态数量。另外，模态转动惯量矩阵、模态刚度矩阵均为对角阵，这是因为固有振型为正交阵。试验或者估测的模态阻尼值经常被直接添加进预设的阻尼矩阵中，这些预设的矩阵均为对角阵，并且非对角项均设为0.利用上述假设，运动模态方程变为非耦合，可以单独的进行求解。[T'A]为外力扭矩模态向量，也同样是m阶。

2　稳态正弦激励响应

稳态正弦激励响应是在给定的外力扭矩向量下，得到各节点的稳态响应值，包括扭转角位移、相位、振幅等。由于是在稳态的条件下，所以响应和激励的频率是一样的。

在进行分析过程之前，首先要建立转子振动的数学模型[1]，包括阻尼特性、作用在每个节点上的外力扭矩幅值及相位、以及外力频率ω.在本例中，外力扭矩向量元素TAI的形式为：Te（jωt+σ），其中j=.一般来说，作用在各节点上的外力扭矩的振幅和相位均不相同。除了给出外力扭矩幅值及相位外，激振频率ω也必须给定。

如前所述，式（3）矩阵方程是非耦合的，也就是说，每个方程都可以单独求解。列出r阶模态方程如下，

矩阵变换得到，

在式（5）中，ωnr和ζr分别为无阻尼状态下的固有频率和r阶模态下的无量纲阻尼率。

采用qrejωt形式的稳态正弦响应得到如下结果

因此

任一个向量都用同样的方式求解

通过对式（8）中向量{q}量级的观察，可以直观的了解响应情况，因为通过向量{q}可以直观的了解到在谐振频率ω时，哪一阶模态的响应最剧烈。

接下来可以将式（8）回代入到式（2）中，求得模态中n个节点处的旋转角位移的幅值和相位，最终得到受迫振动的响应分析结果。

3　瞬态响应分析

本节所要讨论的问题是响应的时域分析，既所得到的结果为时间的函数，在给定的随时间变化的外力扭矩向量下，得到各节点的扭转角位移、响应扭矩[2]。

分析过程中的已知项为转子振动的数学模型，包括阻尼特性，以及随时间变化的外力扭矩。

待解模态方程如下，

T'r（t）为随时间t变化的r阶模态下的外力扭矩，M'rr为r阶模态下的转动惯量。

方程（9）通常在将二次方程降阶为两个一次方程后，采用数值积分的方法进行求解。

令

因此

将式（5）代入（4）得

对于数值积分求解，必须要提供qr和它的一阶导数的初始条件（Y1r（0）和Y2r（0）），上述初始条件可以通过以下的矩阵变换，由确定的角位移及速度矢量的初始条件求得，由式（2）可得

上述方程左侧的矩阵，包含了n阶指定的角位移初始条件（t=0时刻），而在方程右侧，包含了m阶待求位移初始条件。因此

为了方便起见，定义[S]=[R]T[R]，[S]为m×m矩阵，同样定义包含m元素的{α}

因此，

加速度的初始条件计算方法与速度的计算方法类似

到此为止，对于1阶方程（5）和（6），每一节点上的初始条件都已经具备了，包括q以及它的一阶导数，这样我们就可以应用数值积分进行求解。

在进行数值积分的过程中，一般要设定一个足够小的积分时间段，以保证结果的稳定。时长大约应为分析中最高频率周期的四分之一左右[3]。

4　实例计算

4.1模型简化

根据有限元理论，对汽轮机转子进行有限元模型轴段划分[4]，划分结果如图1所示。

图1　汽轮机转子有限元模型

图中节点编号未全部标出，如图中所示，从汽轮机的左端起依次进行编号。图中黑色圆点表示汽轮机转子扭矩加载的位置，12、13、16、19、22、25、28、31、34汽轮机均布载荷点，节点42为负载载荷加载点。

对电机转子进行有限元模型轴段划分，划分结果如图2所示。

图2　电机转子有限元模型

图中节点编号未一一标出，如图中所示，从电机转子的左端起依次进行编号。图中灰黑的点表示电机转子扭矩的加载位置，其中，节点1为输入扭矩加载点，节点30至40为电机负载扭矩的均布加载点。

4.2突加载荷时机组的振动特性结果与分析

4.2.1突加载荷时汽轮机振动特性

汽轮机转子空载运转稳定的情况下，在20 ms内突加额定载荷，对汽轮机转子的振动特性进行分析。载荷的加载方式，根据功率5 MW计算得到总扭矩-7 150.88 N·m，并将其加载在汽轮机的末端截面，将均布载荷794.54 N·m加载在汽轮机各轮盘节点。在0~20 ms之间，汽轮机处于空载稳定运行阶段；在20~40 ms之间，汽轮机末端载荷由0变化到-7 150.88 N·m；在40~60 ms之间，汽轮机处于满载稳定运行阶段。以汽轮机末端节点42为基准，选取关键节点考察扭转角随时间的变化，得到结果如图3所示。

图3　各节点扭转角随时间变化比较

由突加载荷时，汽轮机各选取节点扭转角随时间的变化可以看出，汽轮机各节点的扭转角随载荷的增加而不断增加，并有很小的波动，加载结束后转子各截面扭转角在固定值附近小幅波动，波动是由于转子的转动引起。

4.2.2突加载荷时电机转子振动特性

电机转子空载运转稳定的情况下，在20 ms内突加额定载荷，对电机转子的振动特性进行分析。载荷的加载方式为：在电机的首端面加载由功率5 MW计算得到的总扭矩31 830.98 N·m并保持不变，电机上的负载载荷均布加载电机30~40的各节点上。在0~20 ms之间，电机各均布载荷由0变化到额定载荷；20~40 ms之间，电机为满载载荷稳定运转阶段。以电机末端节点76为基准，选取几个关键节点考察扭转角随时间的变化，得到结果如图4所示。

图4　各节点扭转角随时间变化比较

突加载荷时，由选取各节点扭转角随时间变化图可以看出，在电机负载扭矩和电机首端加载扭矩之间的节点，其扭转角随时间变化为波形，在突加载荷时，扭转角随电机负载的增加而增加；在电机负载扭矩节点至电机末端之间的各节点，扭转角随时间变化为多个频率的波形叠加形式，并且其值随电机负载的增加而减小。

5　结束语

本文提出了一种计算汽轮发电机组轴系受迫振动响应的分析方法，并利用相关程序对于实例进行

了计算工作，验证了该方法能够合理准确的对于机组的受迫振动瞬态响应进行分析、模拟。

参考文献：

[1]杨建国，夏松波，刘永光，等.旋转机械整机固有特性分析[J]．汽轮机技术，1998，40（6）：329-331.

[2]陆明万，罗学富.弹性理论基础[M].北京：清华大学出版社，2001：78-99.

[3]傅行军.汽轮发电机组扭振[M].北京：中国电力出版社，1997：3-7．

[4]王勖成.有限单元法[M].北京：清华大学出版社，2003：55-63.

中图分类号:TK261

文献标识码：A

文章编号：1672-545X（2016）04-0037-03

收稿日期：2016-01-19

作者简介：刘博（1982-），男，黑龙江哈尔滨人，本科，工程师，从事汽轮机组设计分析工作。

A Turbo-Generator Set Shafting Forced Vibration Response Analysis Method

LIU Bo
（Harbin Steam Turbine Plant，Harbin Heilongjiang 150040，China）

Abstract：This paper studies steam turbine generator set free vibration and forced vibration response of the problem，obtained shafting natural frequency and modal by solving eigenvalue and eigenvector.For a certain type of actual steam turbine generator shaft，calculate the shafting torsional vibration response of the unit when a sudden load happen.

Key words:steam turbine generator unit；forced vibration；transient response