基于拟可积Hamilton系统的铁路桥梁动力可靠度计算研究

赫中营， 王根会， 叶爱君， 夏修身

（1.河南大学 土木建筑学院，河南 开封 475004；2.兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070；3.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092）

铁路桥梁在服役期间，将不可避免的受到诸如地震、风和车辆等动力荷载的作用，动力破坏是其最主要的失效模式之一［1］。由于铁路桥梁在铁路运输网中具有特殊地位，其动力破坏将造成交通运输中断，甚至车毁人亡。自1997年以来，我国铁路运输大幅度提速增载，使一些既有铁路桥梁出现振幅和频率超限问题，桥梁的动力工作性能面临着巨大的挑战，迫切需要对铁路桥梁动力可靠性的分析计算［2］。因此，研究铁路桥梁结构的动力可靠性将具有十分重要的理论价值和经济、社会效益。

结构动力可靠性理论是用结构动力学和概率论相结合的方法研究结构在动力随机荷载作用下的可靠性及相应的设计方法。经过七十余年的发展，国内外结构动力可靠性理论取得了重要成果，并逐步得到完善，其分析方法主要分为以下三类［3］：（1）基于随机振动理论解析解的动力可靠度计算方法；（2）基于Montecarlo法的动力可靠度计算方法；（3）将动力可靠度问题转化为系统可靠度问题的计算方法。另外，近年来同济大学李杰和陈建兵［4－5］基于概率密度演化理论，建立了结构随机响应分析和动力可靠度分析的广义概率密度演化方程，可求解线性、非线性及随机结构的随机结构反应及动力可靠度，在结构的动力可靠度分析中也得到了一定应用。

由于动力可靠性分析计算的复杂性，对于第一类方法，即使对简单的首超失效问题，只有Rice S O［6－7］于1945年提出精确解，那也是针对一定前提下的简单情况。我国工程院院士朱位秋先生等［8－11］提出的随机动力学与控制的哈密顿理论体系（Hamiltonian system），为研究多自由度体系哈密顿系统的首超问题、估计首超概率及平均首超时间提供了新的思路和解决方法。本文基于哈密顿理论体系中的拟可积Hamilton系统［12－15］，推导出了铁路桥梁的等价拟可积 Hamilton方程，确定了其在列车荷载作用下的条件可靠度函数及其初始条件和边界条件，并将理论推导公式应用于一座实际桥梁，对其动力可靠度进行分析，验证了该方法的合理性和适用性。

1 既有铁路桥梁的等价拟可积Hamilton系统

所谓等价拟可积Hamilton系统，是指状态参数（广义动量、广义速度等）与相应 Hamilton函数（可积）之间满足一定关系的物理力学体系。铁路桥梁的广义动量、广义速度与其相应可积Hamilton函数之间满足的这种物理力学关系（方程）即可称为其等价拟可积Hamilton系统。

在外荷载激励下，铁路桥梁结构体系的振动方程可写为［16］

式中：M、C、K分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；s、s和¨s分别为各自由度的位移、速度和加速度列向量，是关于时间t的函数；f（t）为外部激励荷载。

为便于能量分析，将结构体系的动力学力向量分为保守的和非保守的分量，则式（1）可改写为

式（2）等式左边为结构惯性力和结构抗力组成的保守力向量，等式右端为外作用力和阻尼力组成的非保守力向量。

对于空间结构，基于有限元法的能量表达式中未知参数个数为结点个数的6倍，这给计算带来很大的困难［17］。因此，可考虑利用振型叠加方法表示铁路混凝土桥梁的振动位移，则其能量表达式将得到极大简化。

对于桥梁结构动力方程的解s，可通过结构的振型表示为

式中：φi（i＝1，…，n）为结构振型，可通过特征方程求得；qi（i＝1，…，n）为振型空间中的坐标值，称为广义坐标或结构的正则坐标，表示第i振型（φi）的贡献。

如果假定阻尼矩阵也适用正交条件，将式（3）代入到式（2），并前乘第i个振型向量的转置φTi，可得

式中：i＝1，…，n；Mi＝分别为结构的广义质量、广义阻尼和广义刚度。

对于线性n自由度离散结构体系，φi为n维列向量，其动能和势能可分别表示为

如果体系的各振型对应的频率都不相等，则任意两个不同的振型，质量和刚度适用正交条件，式（5）简化为

对于连续结构体系，i可表示为结构轴向坐标的函数，质量和刚度也都是结构轴向坐标的函数，线性体系的动能和势能可表示为

如果体系的各振型对应的频率都不相等，式（7）简化为

该桥梁结构体系对应的Lagrange函数为

式中：U＝为非保守力所做的功；cij为阻尼系数。qi与qi分别为广义位移（坐标）与广义速度，广义动量可定义为

式（10）称为由Lagrange函数L生成的Legendre变换，式（10）为非奇异变换、可逆，则其逆变换也是Legendre变换。据Legendre变换的逆变换定理［18］，式（10）之逆变换的生成函数为

则结构以qi，pi为基本变量的Hamilton方程为

以记随机激励的耗散的Hamilton系统的耗散力。以＝fik（q，p）ζk（t）记耗散的Hamilton系统的激励力，可根据Hamilton原理和Legendre变换导出Gauss白噪声激励下n自由度耗散Hamilton系统的运动微分方程形为

式中：i，j＝1，2，…，n；k＝1，2，…，m，珨H＝珨H（q，p）为未扰Hamilton系统的Hamilton函数；ζk（t）为激励荷载强度的Gauss白噪声。

显然，对于桥梁结构等耗散的Hamilton系统，fik不依赖于p，Wong－Zakai修正项为0，从而珨H＝H，则式（14）等价的Ito随机微分方程为

式中：Bk（t）为第k维标准 Wiener过程。

设阻尼力与随机激励强度同为ε阶小量，即

式中：ε 为一正小参数；c′ij、σ′ik为有限量。

式（15）可改写成

式（17）称为拟 Hamilton系统，对应于H（q，p）为可积函数的系统称为拟可积Hamilton系统。

在物理上，只要振动一周，随机激励输入系统的能量与阻尼消耗的能量之差同系统本身能量相比为小，即可视为拟Hamilton系统。

根据以上的等价拟可积Hamilton系统理论，铁路混凝土桥梁系统的广义动量、广义速度、Hamilton函数及拟Hamilton方程为

式（18）～式（21）的位移、质量、刚度和阻尼分别为广义振型坐标、广义质量、广义刚度和广义阻尼。

进一步，将式（4）两边同除以第i振型广义质量Mi，则可得

式中：fi（t）＝为第i振型阻尼比；ωi为第i振型相应的频率。

式（22）所示的振动结构体系，宏观上可视为各自由度互不耦合的n维单位质量振动体系，该体系对应的广义质量、广义阻尼和广义刚度可分别视为

则其对应的广义动量、广义速度、Hamilton函数及拟Hamilton方程为

式中：i＝j＝1，2，…，n；k＝1，2，…，m；κi＝fik（q，p）／mi（i＝1，2，…，m）定义为激励荷载的第i维广义质量。

由式（26）可看出，该系统相应的Hamilton函数为可积函数，则该系统为拟可积Hamilton系统。

2 既有铁路混凝土桥梁动力可靠性分析

一般的桥梁结构体系均为连续结构体系，其各阶振型可用连续函数表示，取少数几个起控制作用的振型能准确的反应其振动特性，这就极大的减少了计算Hamilton系统时的位移和动量参数。

此处仅考虑铁路混凝土桥梁的横向位移和扭转位移，并以随机量（Q，P）代替（q，p），则根据式（27），其运动微分方程为

式中：下标1表示横向位移各参数；下标2表示扭转位移各参数；ζ1、ζ2分别表示横向和扭转激励源，是强度为 2Di的 独 立 高 斯 白 噪 声；κi＝相应的Hamilton函数为H＝H1＋H2，设ωi不满足共振关系，按文献［19］中的随机平均法，可得式（28）的平均Ito方程为［12］

式中（H1，H2）＝－2ξrωrHr＋κrDr；当r＝s时，（H1，H2）＝2κrDrHr，当r≠s时（H1，H2）＝0。根据Ito微分法则，其条件可靠性函数R（t满足下列后向Kolmogorov方程［12］

初始条件为

设安全域边界由Γc和Γ0组成，见图1，即

图1 安全域及其边界

相应定量边界条件为

对于上述偏微分方程，可用有限差分法进行数值求解［20］。只考虑在离散能量点 H1i＝iΔH1（i＝0，1，…，N1）、H2j＝jΔH2（i＝0，1，…，N2）和离散事件点的tn＝nΔt（n＝0，1，…）的R的值，H1i、H2j和tn将空间（H1，H2，t）化分成矩形网格，将R 的一阶和二阶导数用相邻点的R值表示，代入后向Kolmogorov方程和边界条件，就能由已知的初值求出任意点在任意时刻的R值。

3 工程算例

西安铁路局管内阳（平关）—安（康）线于60年代末“三线”建设时期修建，为单线Ⅰ级干线，电力牵引区段，全长351.566km，牵引定数4 000t，通行能力为37.5对／天。线路允许速度100km／h，全线共有桥梁351座／27 221延米；其中圬工桥347座／1 016孔（23.8m跨度预应力圬工梁369孔，31.7m 跨度预应力圬工梁255孔），这两种跨度的预应力钢筋混凝土梁图号分别为“大（65）138”、“叁标外桥006A”、“丰70－1”、“丰70－2”、“叁标桥2019”等。跨度23.8m 的预应力梁ANSYS模型及单片T梁的截面特性分别如图2（a）和图2（b）所示（31.7m 的预应力梁模型及截面特性与23.8m梁相似）。

图2 23.8m梁有限元模型及界面特性

3.1 计算参数的取值

从第2节的分析可看出，在计算桥梁的条件可靠性函数时，需要知道桥梁结构的自振频率、阻尼比、激励强度等。对于阳安线混凝土桥梁，阻尼比取最大阻尼比ξ＝0.05［1］；激振源取文献［1］中随机模拟的82 km／h的货车构架加速度蛇形波，强度为D＝σp＝100 cm／s2，文献［19］中已证明该随机蛇行波为平稳Gauss过程，此处进一步假设其为Gauss白噪声过程；一节货车质量取为80 000kg，每个构架对应的质量取为m车＝40 000kg［21］；参考文献［1］的研究成果，桥梁横向和扭转的一阶振型函数取为i（x）＝sinπx／L，m1＝ρAx，m2＝h3m1／3，ρ＝2.6×103kg／m3为混凝土密度，A＝1.618m2为 T 梁截面，h＝2.46m 为 T 梁高度。用有限元计算软件ANSYS计算出23.8m梁的一阶横向和扭转频率分别为4.543Hz和12.277Hz，31.7m梁的一阶横向和扭转频率分别为3.036Hz和8.905Hz［17］。用中心有限差分法（边界处用向前差分法）计算可靠性函数和可靠性概论密度函数时，参照文献［20］中的精度要求并经必要试算，取N1＝N2＝N＝51（即将H1、H2等分为51份），dt＝0.004（即计算时间间隔为0.004s）。对于桥梁的临界破坏能量Hc，可根据规范规定的振幅界限、列车脱轨能量界限或桥梁结构破坏能量等不同的依据和计算需要确定。因目前对铁路桥梁的各种临界能量并无明确的取值和计算规定，此处所取的临界能量仅为分析比较之用。

3.2 计算结果分析

用MATLAB编写程序计算M 文件JS1.m按式（30）求解条件可靠性函数R（t）和转移概率密度函数p（t）［22］。23.8m梁的计算结果如图3（a）～3（h）所示。31.7m 梁可靠性函数R（t）、概率密度p（t）与23.8m梁相似，部分图形如图4（a）、4（b）所示。

从图3、图4中可以看出：

（1）桥梁初始能量越大，则桥梁的可靠性越低；

（2）桥梁的临界能量Hc1、Hc2越大，则桥梁的可靠性越高，可靠性由Hc1、Hc2共同控制；

（3）桥梁的初始能量越大，则其概率密度的峰值越大，概率密度函数的分布越集中；

（4）桥梁的临界能量Hc1、Hc2越大，则其概率密度函数的峰值越小，概率密度函数的分布越均匀。

实际情况中，在其他参数（刚度等）相同的情况下，桥梁的初始能量较大，则意味着列车过桥前，桥梁的变形或振动较大，则列车过桥时，桥梁的破坏概率就较大，桥梁的可靠性较低；同样，桥梁的临界能量越大，意味着桥梁变形能力越强，桥梁的可靠性越高。

在相同条件下，H10＝H20＝0时23.8m 梁和31.7m梁的可靠性对比见图5，两者的可靠性差值见图6。从图5和图6中可看出，在初始能量为零，临界能量相等的情况下，31.7m梁比23.8m梁的可靠性大，这说明，在其他参数相同的条件下，31.7m梁比23.8m梁的变形能力强，这与结构越柔变形能力越大的力学理论相符。

图3 23.8m梁R(t)和p(t)计算图

图4 31.7m梁R(t)和p(t)计算图

从以上分析可知，基于拟可积Hamilton系统的阳安线混凝土桥梁的动力可靠性函数符合实际情况，说明这种计算方法是合理的。

图5 相同条件下23.8m和31.7m梁R(t|Hc1=5,Hc2=10)对比图(H10=0,H20=0)

图6 相同条件下，23.8m和31.7m梁R(t|Hc1=5,Hc2=10)差值图(H10=0,H20=0)

4 结论

本文通过对拟Hamilton系统理论的研究，基于振型叠加法建立了既有铁路混凝土桥梁的等价拟可积Hamilton系统方程。通过对此系统方程的分析，得出了铁路混凝土桥梁在Gauss白噪声激励下的条件概论可靠性函数和其定量边界条件、初值条件，借助MATLAB软件使得方程求解非常容易。工程算例分析结果表明，该方法对铁路桥梁的动力可靠性分析是合理的，分析结果和实际情况相符。

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