准确把握学情 科学实施教学

李国良

一、问题提出的背景

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：数学活动应该建立在学生认知发展水平和已有知识经验的基础之上。了解学生的认知基础，正确把握学生的探究起点，教学才能真实有效。教学前测正是帮助教师找准教学起点和把握学情的有效手段。

“两位数乘两位数笔算乘法”是人教版数学三年级下册的内容，它的知识基础是“多位数乘一位数笔算乘法”和“口算两位数乘两位数”。本节课的主要目标是让学生理解算理，掌握算法。那么在教学过程中，哪些是学生已经理解、掌握了的？哪些又是学生学习过程中会遇到的困难？笔者试图通过对学生的学前调查，找准教学的起点和重难点，以期达到事半功倍的教学效果。

二、教学前测的思考

教学前测是指教学过程中教师在上课前的一段时间内，通过不同的调查方式对学生进行相关知识储备和相关方法的预先测试，然后进行有针对性的分析并设计教学活动，提出相应的课堂教学策略。

1.前测内容的确定

笔者仔细翻阅了人教版、北师大版和苏教版等教材，查看了“两位数乘两位数笔算乘法”的教学内容。发现此内容前均安排了两位数乘整十、整百数的口算乘法，人教版和北师大版安排了“14×12”作为新课教学内容，并采用点子图协助思考与验证，而苏教版仅安排了“24×12”作为教学内容。根据对相关教材的分析，笔者拟定了以人教版例题为蓝本，提供相应的点子图作为前测题。要求学生能用自己熟悉的方法和多种方法进行计算。

2.前测对象的选择

笔者随机选取城区和农村中心小学各一所学校的三年级两个班级，共162名学生（分别是80人和82人），在他们学习了“两位数乘整十、整百数口算乘法”后进行调查。

3.前测目标的定位

通过对不同学生的前测，目标有三：一是了解学生寻求计算两位数乘两位数乘法不同的方法，分析每种方法背后的思维水平；二是了解前期的多位数乘一位数笔算和口算两位数乘法对本知识点的迁移与影响；三是了解学生每种算法是否有正确的算理作为支撑。

4.前测过程的规范

两所学校的前测均由笔者单独进行，以班级为单位进行检测，不提供任何学习材料，要求学生在10分钟内独立自主地进行，如规定时间内不能解决，也可以上交。

三、前测结果的分析

为准确、全面了解学生的前测情况，笔者从以下两个维度进行了统计与分析。

1.计算正确性和方法的多样性统计与分析

本题设计时就倡导开放性、发散性，鼓励学生采用多种方法进行计算，学生答题情况如下表：

由此可以看出，有87%的学生至少能用一种方法计算出正确的得数，显然，他们对于“两位数乘两位数”的计算并非空白。但从统计表来看，学生的思维水平有一定的差异。在同学的错误答题中，发现了这样的计算（如下图），共8人，较有代表性。笔者随机采访了一名同学，他认为：12×14是一道两位数乘两位数的计算，可以借鉴笔算加法，先2×4=8，再10×10=100，最后相加是108。笔者觉得，笔算加减法的计算方法对学生有较深的影响，造成的原因还是学生对加减法的意义与乘法的意义理解不到位。

2.计算方法有效性的分类与分析

前测过程中，学生究竟采用了哪些方法进行计算？这些方法反映了学生怎样的学习基础？有哪些可以作为教学资源？进一步分析后，我发现，学生的计算主要涉及四个大类，十种方法。

一是连加法。它从乘法意义理解的基础上进行计算，学生知道12个14连加的和与14个12连加的和就是14×12或12×14的计算结果。这种方法无可厚非，但是，对帮助学生掌握笔算的方法和理解笔算中每一步所表示的算理作用不大甚至有干扰。

二是分配律法。他们都将其中的一个因数拆分成两个数并与另一个因数相乘，其中将一个因数拆分成整十数和一位数居多。显然，受到多位数与整十数的口算乘法影响，这种方法与竖式计算有着本质的联系，因此，这是这节课的教学中要重点关注的内容之一。笔者还与拆成9和3的这种方法的两个学生进行了交流，他们认为在乘法的笔算范围内只学过最大能乘9的计算。由此，三年级上学期多位数乘一位数的笔算对学生学习更复杂的乘法有一定基础，但在思维上也有所束缚。而把计算过程用点子图来呈现，几乎都只有一半的学生能正确地表示出来，换句话说，这些学生只会计算，不懂每一步为什么这样计算，也就是缺乏对算理的理解。

三是结合律法。学生能将其中一个因数拆成两个一位数相乘再依次与另一个因数相乘，是受到多位数乘一位数的启发。但是，这种方法有其局限性，当两个因数分别为质数时就无法采用这样的方法来计算，当然这与笔算乘法也没有本质的联系。因此，这种方法不是课堂上要着重研究和讨论的。

四是笔算法。笔者发现城区和农村学生分别有32.5%和25.6%的学生采用了竖式计算的方法，但只有8个学生能用点子图的方法来阐述计算的过程。再仔细翻阅他们的前测卷，发现这些学生中，分别只有3个和1个学生用分配律的方法来进行第二种计算。显然，前置的预习或家长的指导对他们的学习有一定干扰，只停留在简单的模仿与记忆上，没有真正理解笔算的本质所在。

基于以上调查与分析，可以发现，学生面对两位数乘两位数笔算（不进位）乘法时，大部分能将其转化为已学的知识和技能加以解决。因此，笔者认为，本堂课的知识与技能目标可以定位在以下两点：一是重点讨论分配律法中，让学生通过寻找其与竖式笔算法的联系，理解竖式计算的算理，学会竖式计算的方法；二是通过讨论，使原来只知算法不知算理的学生形成新的、更深层次的认识和理解。

四、前测后的教学实践

基于对前测内容的梳理与分析，笔者重点设计了如下的环节开展教学。

1.呈现多种解题的思路，寻找计算方法的优化

在出示问题情境后，先请学生说说题中包含哪些信息，可以怎么列式。接着请学生尝试用多种方法算出结果，并用点子图表示这些算法。

独立完成后，笔者重点展示了学生的不同做法，并组织四人小组交流。交流过程中，学生主要呈现了以下四种方法并结合点子图对算法做了说明：

生1：我们觉得方法1采用3×14=42，再4×42=168，而且也能用点子图来表示，这个方法是可以的，但是遇到如14×13时就不能将13拆成两个一位数相乘，所以它的方法有局限性。

生2：我们也认为，当13×13时，不能用这样的拆分法进行计算。

生3：方法2分成9和3还不如方法3来得简单，因为14×10=140计算快速，比14×9的正确率要高；14×12我们还拆成了10×12+4×12=168的计算方法，在点子图中都能比较清楚地表示出它的计算过程。

生4：方法4采用摆竖式进行计算，我觉得这个方法好，它能比较清楚、正确地计算出结果，还用点子图把计算的过程呈现出来，所以我比较赞同这个方法。

通过讨论、质疑，学生不但理解了各种算法的含义，体会到计算方法的多样化，实现了方法之间的沟通与共享，在辨析的过程中认识到虽然方法有很多，但是各种计算方法侧重点不同，在特定情况下还是有优劣之分的。

2.沟通口算与笔算的联系，明确每步计算的意义

在上述交流、优化后，让学生找找：哪些方法之间存在联系，存在怎样的联系，并用连一连、画一画、写一写等方法表示出这种联系。学生找到联系后全班展示、交流，其中比较有代表性的如下图：

交流过程中，部分小组意见如下：

小组1：左边（分步计算）有28，右边（竖式计算）也有28，左边有140，右边也有140，结果都是168。

小组2：左边的2和10就是右边竖式里的12，竖式中就是2和10都乘以14。

小组3：左边有14×2=28，右边也有14×2=28，左边有14×10=140，右边也有14×10=140，左边28+140=168，右边也是28+140=168。

师：刚才说竖式中也有14×10，可是10在哪里呢？

小组4补充：十位上的1就代表10，所以是14×10。

……

从上述几个小组的展示交流中可以看出，学生对两位数乘两位数笔算乘法的算理有了一定的理解，知道了竖式中分别计算的方法其实就是笔算方法中每一步的计算过程。通过交流，学生认知水平之间的差距进一步缩小，这为理解算理、概括算法奠定了坚实的基础。

随后，笔者质疑：竖式中2×14和10×14分别表示什么，而168又表示什么？

生1：2×14表示2套一共有多少本，10×14表示10套有多少本，168表示2套与10套合起来一共12套，这样一共有多少本。

生2：结合点子图更能发现，一个点子代表一本书，横的一行为1套14本，两行就是2×14，也就是2套书一共有28本。下面十行每行14本，就是10×14，也就是10套一共有140本，合起来就是12套一共有168本。

……

通过上述提问、讨论，学生对每一步所表示的意义更加清楚与理解，在掌握算理的基础上促进了笔算乘法计算方法的形成与掌握。

3.梳理笔算乘法的脉络，提炼竖式计算的方法

计算规则的学习，需要在理解算理的基础上概括出计算方法，使之成为快速、实用的方法。为此，笔者出示右边的一组题目，要求学生独立完成，写出每一步计算的步骤，并说说每步计算所表示的意义。通过研究过的三个题目的类比、抽象、概括，帮助学生从三个竖式计算的过程中总结出两位数乘两位数笔算乘法的计算法则。

接着，教师出示右边一组计算，让学生先说说这两题的计算方法，再让他们进行比较：这两题在计算上有什么联系与区别？

生1：我发现两位数乘两位数第一步和两位数乘一位数是一样的。

生2：第二步是在第一步上面继续算下去的，这一步以前是没有的。

生3：区别是一个是两位数乘一位数，一个是两位数乘两位数，它们都有因数13。

……

通过比较两者的异同点，帮助学生找出两位数乘两位数笔算乘法的关键之处，让学生明白今天的学习是多位数乘一位数笔算乘法的深化。这样既寻找了它的“根”，也能更好地理解算理、掌握算法，进而重新认识算法的意义。

有了上述研究后，笔者出示313×12（如下图）的竖式，提问：你能试着用竖式计算342×11吗？想一想与今天学习的两位数乘两位数笔算乘法有什么联系？学生饶有兴趣地马上计算出结果是3756。

生1：其实这道题的计算过程与13×12的计算过程是一样的，只不过是变成了313×12，也就是第一个因数有了百位。

生2：13×12与313×12都可以把12拆成10乘第一个因数，再用2乘第一个因数，最后把结果相加，无非是结果大了一点，其实方法是一样的。

师：同学们，笔算乘法我们从三年级上学期开始研究，先学习了多位数乘一位数的笔算，今天学习笔算两位数乘两位数（不进位）。其实，第三题是四年级上册的内容，现在你是否觉得四年级学习的笔算乘法也可以在今天进行正确的计算了呢？

通过这个环节，整体梳理并呈现了笔算乘法在教材中的分布与走向，让学生不仅回忆了原来的知识，还展望了未来将要学习的知识，但它们的目标指向都集中在对算理的理解和算法的掌握上。这印证了南京大学教授郑毓信所说的：数学知识不求全，而应求联；数学技能不求全，而应求变。

从上述教学实践中，笔者体会到，教学前测不仅可以帮助我们了解学生基础，让我们的教学设计更贴近学生实际，更有针对性，避免闭门造车的现象。而且，前测过程中学生呈现的不同做法和暴露出来的重点问题可以作为课堂上研究的素材，这样我们的课堂教学就能更“接地气”，更能够体现“生本教育”的理念。