经历形成过程 促进理解建构

【关键词】函数；教学设计；初中数学

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）33-0068-03

【作者简介】王新奇，江苏省苏州工业园区星湾学校（江苏苏州，215021）教科室主任，一级教师。

一、设计理念

1.概念形成要让知识逻辑与心理逻辑自然融合。

概念的形成过程应是学生知识逻辑与心理逻辑的自然融合。在教学“函数”这一概念时，应始终抓住一个变化过程、两个变量、一种对应关系进行探究，让学生知道往哪里走。在探究两个变量之间的关系时，应始终将“一个量变化时，另一个量如何变化；一个量确定时，另一个量是否确定”作为思考的切入点，让学生知道观察的点在哪里。在提炼概括函数定义时，应围绕一个变化过程、两个变量、一种对应关系进行表述，以期达到水到渠成的效果，促进学习的真正发生。

2.概念理解要抓住关键字词。

函数的定义表述是初中数学学习中文字最长的，学生要做到准确理解有一定的困难。教学中，从细节上找到“每一个值”“唯一值”，按层次将关键字词标出，会对理解定义起到化难为易的效果。

3.概念应用要回归定义本质。

学习函数概念，其根本目的在于让学生用函数的观点认识生活中变化的事物，只有把握了变化事物中两变量之间的对应关系才算是掌握了函数的本质。围绕函数定义的本质，设计不同层次的问题进行训练，以提高课堂训练的针对性与有效性。其中，我所设计的第3道练习题是一道开放性的问题，引导学生尝试提出问题、解决问题，目的是给学生独立思考、合作交流的机会，也是在检验学习是否真的发生。

二、学情分析

1.学生原有知识的分析。初中生在函数概念形成之前，研究的是常量数学——数、式的运算和方程。函数概念是从常量数学到变量数学的转折点，学生缺乏对变量数学的了解，因而也缺乏同化函数概念的固着点，给学生学习带来一定的困难。函数概念的形成过程，其本质是学生建构数学认知结构的过程。函数概念和学生原有的认知结构无直接联系，因此，通过4个生活情境，建构这类问题的问题系，从而使学生建构良好的认知结构，为同化函数概念做好准备。

2.学生原有生活经验的分析。4个情境的选择均源于学生的生活，充分利用学生原有生活经验，引领学生经历函数概念的形成过程，能有效促进学生理解函数概念本质，促进学习的真正发生。

3.学生的情感分析。函数概念由模糊到清晰经历了近300年，足以说明其困难程度。在本节课的教学中，笔者多次采取小组合作交流学习的方式，消除学生情感上的畏惧，同时选择贴近学生生活实际的情境进行研究，促进学生积极、有效地学习。

三、教材分析

本节课所用教材为（苏科版）《义务教育教科书·数学八（上）》，所教内容为第6章第1节“函数”的第1课时。函数概念的建立，标志着学生对数学的学习已从常量数学迈向变量数学。函数是“数与代数”中的重要内容，是学生难以建立的一个抽象数学概念。让学生准确而深刻地理解函数概念是学好与函数相关内容的关键所在，是后续学习一次函数、反比例函数、二次函数的奠基工程，是高中阶段学习其他函数的必要准备，同时也是培养学生用运动变化的观点分析问题和解决问题的有效载体。通过对变量之间对应关系的研究有利于增强学生综合运用数学知识的意识，有利于提高学生的数学素养和综合能力。教材从学生似曾相识的实例中引出对变量的认识，让学生在发现问题的共同点中形成函数概念，这种处理问题的方式遵循了学生的认知水平，关注了学生的亲身体验，体现了循序渐进、由具体到抽象的原则。

四、教学目标及重点、难点

1.教学目标。

（1）通过简单实例，了解常量与变量的意义。

（2）让学生经历分析具体问题中变量之间对应关系的过程，感知函数是描述变化过程的一个数学概念；让学生经历从几个简单的具体问题中找出共同点，逐步过渡到抽象定义的过程，从一个变化过程、两个变量、一种对应关系中领悟和理解函数概念。

（3）让学生学会用函数的观点观察、分析现实生活中的简单问题，初步学会建立简单的函数模型，不断培养学生学习和运用数学的能力。

2.教学重点、难点。

教学重点：函数概念的形成过程。

教学难点：理解函数概念中的对应关系，深刻理解和灵活应用函数概念。

五、教学过程

（一）问题情境

问题1：同学们知道给汽车加油吗？在给汽车加油的过程中，一般关注哪几个量？

问题2：在给汽车加油的过程中，这几个量有变化吗？

（设计意图：从学生身边的生活实例出发，引发学生的思考。播放给汽车加油的视频，生动展现几个量的变化情况，加深学生对这几个量的认识，既贴合课题，又易于拨动学生的思维之弦。通过这个问题情境，一方面引出常量与变量概念，另一方面有意识渗透“在某一变化过程中”这个建立函数概念的前提条件，为分析变量之间的一种对应关系做准备。）

（二）建构活动

情境1：让学生观看给汽车加油的视频（如图1所示）。

（师生互动：同学们喊“开始”，老师就点击开始，同学们喊“停”，老师就点击暂停。）

提出问题：这两个变量是如何变化的？你能用一段话来描述这两个变量之间的关系吗？

情境2：南京某日气温变化图（如图2所示）。

2013年10月1日南京市整点气温曲线图

提出问题：在南京某日气温变化图中，有哪两个变量？请描述在气温变化过程中，时间和气温这两个变量之间的关系。

情境3：观察水库的水位变化与水库蓄水量变化表（如表1所示）。

提出问题：在水库蓄水量变化过程中，有哪两个变量？请描述在水库蓄水量变化过程中，水位和蓄水量这两个变量之间的关系。

情境4：“搭小鱼”火柴游戏（如图3所示）。

提出问题：在“搭小鱼”游戏的过程中，有哪两个变量？请描述小鱼的条数和火柴根数这两个变量之间的关系。

（设计意图：通过观察这4种情境，引导学生认识情境中的变量，并描述变化过程中变量之间的关系。这样设计，一方面能让学生清晰地体会到观察点在哪里，发展学生的认知逻辑；另一方面学生通过图表、图象和表达式能够清晰地揭示两个变量之间的关系。）

（三）数学化认识

问题1：刚才研究了4个生活情境，你发现有哪些共同点？

问题2：谁能尝试着给函数下一个定义？

函数定义：如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

问题3：谁能说一说定义中的关键字词？

问题4：谁能说一说在我们的生活中有关函数的例子？

（设计意图：通过深入研究4个生活情境，充分感受和理解一个变化过程中两个变量之间的关系，并引导学生围绕“一个变化过程、两个变量、一种对应关系”归纳出函数的定义。在实际教学中，学生的回答不一定很到位，几经磨砺再形成定义才是真实的。学生对函数的表述一定是自己容易理解的，一定是理解很深刻的，这样的学习才会真正发生。作为教师应有不迷信教材而赏识学生的胸怀和胆识，把学术的知识形态转化为真实的教育形态才是教师所必须努力的。让学生从熟知的实例到函数概念形成，会觉得函数好学。问题3的设计让学生从细节上找到“每一个值”“唯一值”，按层次将关键字词标出，对理解定义起到了化难为易的效果。举例的目的是让学生逐步领会函数的定义，逐步学会从函数的视角观察分析实际问题，形成实实在在的能力，有助于学生对函数的认识，有助于学习的真正发生。）

（四）尝试运用

1.用一根40cm的绳子围成一个长方形，

（1）当长方形的宽为5cm时，长为 cm；

（2）当长方形的宽为8cm时，长为 cm；

（3）当长方形的宽为acm时，长为 cm；

（4）长方形的长是宽的函数吗？为什么？

2.下表中的y是x的函数吗？为什么？

3.如图4，线段AB=6cm，D是线段AB上的一个定点，在垂直于AB的线段DE上有一个动点C（点C与点D不重合），分别连接CA、CB。

（1）请说出图形变化过程中的常量与变量。

（2）结合今天所学的函数知识，你还能提出什么问题？

（设计意图：第1题和第2题是进一步加强学生对函数概念的认识。对刚刚接触函数概念的学生来说，判断两个量之间是否具有函数关系需要把握三点——一个变化过程、两个变量、一种对应关系。第3道练习，设计了一道开放性的问题，引导学生结合所学习的知识尝试提出问题、分析问题、解决问题，目的是给学生独立思考、合作交流的机会，帮助学生理解，也是在检验学习是否真的发生。）

（五）分享与作业

观察生活与社会，你能发现哪些实际问题与函数密切相关，并能用函数思想予以解决，把你的想法告诉你的同伴与家人。

结语：函数是我们在学习方程、不等式、概率之后的又一个数学模型。世界是变化的，生活中的变化无处不在，函数正是研究运动变化的重要模型，函数就在我们身边，希望同学们认真学习函数。学习的效果与我们的勤奋程度也成函数关系，希望大家通过自己的勤奋获取学习效果的最大值。

（设计意图：通过结语，把函数纳入学生的知识结构，对学生的后续学习产生激励作用，通过开放性作业，让学生在成功中获得最大的心理满足感。）