基于均值—方差模型的股票投资组合构造分析

黄璐

[摘 要] 股票投资逐渐成为企业与个人投资的重点，如何选择行业股票随之成为社会的热点话题。根据Markowitz的投资组合理论，并结合因子分析，对如何构造股票投资组合进行了理论分析和实证分析。首先建立综合评价体系，利用因子分析筛选出各项指标总体最优秀的上市公司的股票建立股票池;再根据均值-方差理论建立模型，得到股票池中各支股票的投资比例，构造出股票投资组合;之后运用Jensen和Treynor指数对该投资组合进行评价，认为该投资组合业绩比较优良。文中构造股票投资组合的方法比较合理且易于操作，具有一定的可行性和推广性。

[关键词] 投资组合;均值-方差模型;因子分析

[中图分类号] F620[文献标识码] B

一、研究意义与研究方法

随着我国市场经济的进一步发展，股票投资已成为企业与个人投资的重点，而同时股票投资的一大特点是收益与风险并存。股票市场受多重因素影响，投资者应该用综合的眼光分析上市公司的财务状况和发展潜力，才能选择收益大而风险小的上市公司进行投资。投资组合优化理论研究的是投资者在权衡收益与风险的基础上最大化自身效用的方法，将这一理论联系到实际中，探索如何分析公司的综合实力，怎样构造投资组合，有一定的理论和现实意义。

为解决此类经济决策问题，本文将统计分析与投资组合理论相结合。中证100指数具有很多优良特性，其样本股跨沪深两大市场，覆盖很多行业，许多指标均优于市场情况。本文选用中证100指数的样本股作为最初待筛选的样本。首先运用多元统计分析中的因子分析法对上市公司投资价值的多项指标进行了综合分析，建立综合评价体系，筛选出排名较高的上市公司的股票并建立股票池。再在股票池的基础上，结合均值-方差模型等相关投资组合理论确定股票池中各个股票的投资比例。

二、样本股上市公司综合水平的因子分析

（一）指标选取

为能够使指标比较全面地描述涉及到的上市公司的发展水平，选取多个方面的指标，包含有反映偿债能力的指标（流动资产率），反映获利能力的指标（总资产利润率、净资产报酬率），反映发展能力的指标（每股收益增长率、净利润增长率、净资产增长率、总资产增长率、每股未分配利润），和反映现金流量情况的指标（净利润现金含量）。数据为中证100指数样本股的上市公司财务指标（2015年第一季度）。

（二）因子分析结果

首先进行KMO和Bartlett检验，结果说明相关矩阵并非单位矩阵，可以进行因子分析。

之后运用主成分方法提取公因子，提取四个公因子后，累计方差贡献率为86.195%，可以较好地解释总体方差，所以提取四个公因子。结合因子得分系数矩阵，计算各上市公司的四个因子得分后，按照相应的方差贡献率进行加权平均，可得最终各公司的综合评价得分。根据综合因子得分对100个上市公司进行排序，取前10个公司股票建立股票池。结果如下：

表1 前十位上市公司综合得分排名

三、股票投资组合构造

（一）均值-方差模型理论概述

本文沿用Markowitz所创建的资产组合选择问题的框架，建立相关模型，以构造股票投资组合。Markowitz确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论，建立了资产优化配置的均值-方差模型：

目标函数： min σ■■=∑∑ωiωjσij

RP=∑ωiri （1）

假设条件：  1=∑ωi，ωi≥0  （允许卖空）

1=∑ωi，ωi>0  （不允许卖空）

其中，RP为投资组合收益，ri为第i支证券的收益，ωi、ωj为证券i、j的在投资系组合中的权重，σ■■为投资组合方差，即资产组合的风险，σij为证券之间的协方差。公式表明，在限制条件下求解ωi证券收益率，使组合风险σ■■最小。其经济学意义是，投资者可预先确定一个期望收益，通过上式可确定投资者在每个股票上的投资比例，使其总投资风险最小。

（二）基于均值-方差模型的股票投资组合构造

为了分散风险，我们需要把资金投资在不同的证劵上，也就是建立股票投资组合。模型数据选取的是上述10支股票2015年第一季度的日收盘价，运用下述公式计算日收益率：

收益率=（当日收盘价-前日收盘价）/前日收盘价

并进一步求得这10支股票日收益率的均值、方差、标准差和方差-协方差矩阵。

考虑到收益的稳定性，本文采用每支股票日收益率均值作为预期收益率。假设RP为组合收益，ri为第i支股票的收益，ai、aj为证券i、j的投资比例，为组合投资方差，为两支股票之间的协方差。根据均值-方差模型，并允许卖空，建立以下方程：

目标函数：min σ■■=∑∑aiajσij

RP=∑airi （2）

假设条件：1=∑ωi，ωi≥0，

运用Lingo求得最优解：

a1=0.2181，a2=0，a3=0，a4=0，a5=0.0775，a6=0.2539，a7=0.0328，a8=0.2364，a9=0.1813，a10=0

预期总收益：RP=0.0032

上述结果表明，在10支股票组成的股票池中，该投资组合要达到投资风险最小的同时收益最大，应把21.81%的资金用于投资贵州茅台，7.75%的资金用于投资招商证券，25.39%的资金用于投资云南白药，3.28%的资金用于投资比亚迪，23.64%的资金用于投资海天味业，18.13%的资金用于投资海澜之家。结合上述相关收益率统计量可以看出，贵州茅台的平均收益率虽然较低，但方差最小，可以保证比较稳定的收益;海澜之家的平均收益率最高，且方差也处于较低水平;其他筛选出的4支股票均属于在股票池中收益率较高且方差较小的股票。

四、投资组合评价

（一）Jensen指数

Sharpe在Markowitz证券投资组合理论的基础上，提出了资本资产定价模型（CAPM）。他在完全市场的假设下，建立了均衡状态下的期望收益率ri与β系数βi之间的关系，这一关系式表示为：

ri-rf = βi（rm-rf） （3）

其中rf是无风险利率，rm是市场的期望收益率，βi是公司i的β系数，称为系统风险，ri是公司i在均衡状态下的期望收益率。CAPM给出了在均衡状态下公司i的期望收益率和它的β系数之间的关系。β系数正好就是公司的期望超额收益率与市场组合的期望超额收益率之比，β越大从而公司的期望超额收益率也越大，同时系统性风险越大。

β系数的计算公式为：

β=Cov（ri，rm）/Var（rm） （4）

其中，Cov（ri，rm）表示i第证券和市场组合的协方差。由于ri、rm都是预期的收益率，是随机变量，因此只能通过适当的模型来估计βi。公式（3）是一个线性关系，可以用下面的线性模型来描述真实的市场：

ri，t=αi+βirm，t+εi，t，  t=1，…，T （5）

其中εi，t，t=1，…，T是一列独立同分布随机变量，εi，t～（0，σ2（εi）），σ2（εi）是常数，不依赖于时间t，这样就可以运用最小二乘方法估计出（3）式中的β系数。

首先，利用上述模型估计出投资组合的β系数。由于中证800指数综合反映沪深证券市场内大中小市值公司的整体状况，本文选用中证800指数计算收益率来代表市场收益率。利用计算整理好的市场收益率和上述股票投资组合的平均日收益率（2015年第一季度数据），进行经典计量回归，回归方程报告式为：

rt=-0.000440+0.423374rmt （6）

其中，β系数为β=0.423374。β系数小于1，证明此资产组合为防御性的资产组合。

其次，根据证券市场线（SML）计算投资组合的期望回报。期望回报计算公式为：

ER=rf+（rm-rf）×β （7）

投资组合的期望回报反映了市场的平均回报。其中，无风险利率rf由银行三个月定期存款年利率基准利率（换算为日利率）代替。代入数据得到，ER=0.000509。

再次，计算投资组合实际平均回报和期望回报之间的差异，即：

Jensen=rp-ER  （8）

其中，rp为期望收益率，本文将期望收益率定为加权平均收益率。代入数据可得，Jensen=0.003180。由于投资组合的Jensen指数大于0，说明该投资组合的风险回报率高于市场的平均风险回报率，表明其业绩是比较优良的。

（二）Treynor指数

Treynor指数用RVOL表示，也是利用SML为业绩评估构建一个基准组合。计算一个投资组合的收益波动比率，需要用组合的平均超额回报率除以其市场风险，公式如下：

RVOL=（rp-rf）/β （9）

其含义是指投资组合承担每个单位的市场风险所得超额收益。Treynor指数比较的基准是SML的斜率，公式如下：

KS=rm-rf （10）

由此得出RVOL=0.008583，KS=0.001637。由于RVOL大于KS，说明此投资组合承担每个单位的市场风险所得回报高于大盘，其业绩优于市场的总体表现。

[参 考 文 献]

[1]林清泉.金融工程（第二版）[M].北京：中国人民大学出版社，2009

[2]唐小我.现代组合预测和组合投资决策方法及应用[M].北京：科学出版社，2003

[责任编辑：潘洪志]