浅谈高中数学教学中数形结合的应用

展江平

摘 要：数形结合法作为高中数学教学过程中经常应用的一种方法与思想，可以帮助学生理解抽象概念，把握问题本质，让抽象的数学知识变得直观、明了。在高中数学教学中应用数形结合法，不但是学生学习的需求，也是教师教学的需求。

关键词：高中数学 数形结合 应用

数形结合法在高中数学教学中起着十分重要的作用，以数学问题所具备的的条件与结论的内在关系为依据，分析代数意义，揭示几何意义，其实质是通过直观的图形来展示晦涩难懂的数学语言，将抽象思维、形象思维结合起来，培养学生思维的形象性，将问题化繁为简，更加易于学习。这种数学方法是经过长期实践而总结出来的，在数学教学中的应用也十分广泛。

一、数形结合在教学应用中存在的问题

1.数形结合思想观念不强

教师具备较强的数形结合观念可以在很大程度上提升教学效果。但在现实教学中，很多数学教师仍关注教材知识的讲解，更注重解题过程的逻辑推导，而对于数形结合这种技巧和方法则不够重视。其原因是由于教师的疏忽，学生对数形结合法的运用较少，掌握得不够熟练，影响了学生掌握知识、解答题目的效率和质量。

2.与数学理论知识脱离

数学是一门抽象学科，学生要借助各种方法和手段来充分理解数学知识。数形结合法就是其中的一种，但很多学生在运用数形结合法时往往用不好，得不到想要的结果，这是因对数学理论知识掌握得不够扎实而造成的。虽然学生具备了一定的逻辑思维能力，但对教材知识仍不熟悉，不能做到理论与实践的有效结合，必然对数形结合法的运用带来阻碍。

3.对辅助教学手段不够重视

很多数学教师在教学过程中不够重视对信息教学手段的运用，面对复杂难解的数学问题，还只局限于传统的“粉笔式”教学。目前，多媒体技术已引入课堂，作为数学教师也要与时俱进，充分利用现代教学手段，如使用多媒体演示图形及作图过程，等等，让学生对数形结合法更感兴趣，理解得更深刻。

二、教学中数形结合问题的解决对策

（一）增强数形结合的思想观念

对于人教版高中教材“集合的运算”一节，学生在刚刚接触这节内容时，必然会对集合与集合之间存在的关系理解困难。教师可运用数形结合法，让学生通过字面去理解“交、并、补”的概念，之后再给出“维恩图”，让学生更直观地感受，最后由教师用集合的语言加以阐述，将数形结合思想充分运用起来。

比如，“假设有两个集合，它们是M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}与N={（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，那么集合M∩N里面有几个元素？”答案是2个。在分析这道题时，如果仅仅依靠数量关系进行解题，无论是在思路上还是在步骤上都会比较烦琐，如果运用数形结合思想，经过认真审题后就会发现x2+y2=1代表的是圆，x2-y=0则是抛物线，这个问题就可转化为“第一个方程式所表示的圆和第二个方程式所表示的抛物线，两者之间有几个交点？”的问题，这样一来，答案就可以通过画图而得出。

此外，教师还应该充分认识到数形结合的优势，重点关注数形结合这种教学方式，勤于探索和思考，在教学中要有意识地运用这种方法，并积极引导学生运用该方法来解决问题。同时，教师要辨识哪些问题运用数形结合法解决会更便于学生理解，将数形结合思想落到实处，加强对教材内容的探究，将数形结合法渗透到知识中去。

（二）帮助学生衔接数学理论知识

高中数学对于一部分学生而言是比较难的，想要学好则需具备较强的逻辑思维能力，要将数学原理与实际应用有效结合。在现实教学中，很多学生都是“死学习”，如教材中关于“三角函数”的知识，教学目标要求学生熟练掌握正弦、余弦定理，并能够举一反三。学生往往死记硬背，解题时又不知从何入手。但利用数形结合法，可先将题目中的三角形画出来，再思考相关公式，就会找到解决问题的办法了。

1.数形结合与函数解析式的衔接

函数知识是高中数学的重点和难点，帮助学生学好函数至关重要。在函数中，图像具备几何特征，将其与函数性质相结合，解释函数的各种基本属性，如定义域、单调性、周期性等，体现了数形结合。对于函数图像，需要学生定形定性地全方位观察和绘制，熟练掌握函数图像的对称变换和平移变换。解题过程中，要以数的特征为依据，构建相匹配的几何图形，利用规律和特征来解决问题。也可以把图形信息转化为代数信息，将图形的推理部分弱化。于是，要解决图形相关的问题，就变成了解决数量关系的问题。

比如，“已知双曲线x2-4y2=4与直线y=k（x+）有且只有一个公共点，k的不同取值有几个？”这道题根据数形结合法，第一步要画出双曲线的图形，并画出渐近线，根据图形和题意得出直线过定点（- ，0），得出双曲线渐近线方程，根据这个方程分析得出过这个定点且与渐近线平行直线和双曲线有一个公共点，这时k就有两个不同的值，再进一步分析过该点与双曲线相切的直线也只有一个公共点，k又有两个不同取值，所以k有四个不同取值。

再比如，“方程sin2x=sinx，在区间x∈（0，2π）之间有多少个解？”答案是3个解。在分析的过程中，若单纯利用数学解题方法也可以得出答案，但需要进行一次计算，在计算的过程中可能会因为马虎而遗漏结果。如果利用数形结合法，首先就要在同一个坐标系里画出这两个三角函数图像，之后通过观察就能得出正确答案，相比较起来，后者更简便、准确。

2.数形结合与数学基本概念的衔接

高中数学新课标要求：数学课程要让学生获取数学知识与技能，理解数学的概念及其结论的本质。随着我国教育改革的不断深入，高中数学也在与时俱进，其中“双基”的变化较为明显。

比如，概率与倒数、算法等成为高中数学教学中的基础知识；立体几何中，教师可以从不同角度来展开教学；对于不等式知识的教学，则更加注重其几何背景及应用，等等，这都说明数形结合思想与方法在我国高中数学教学中的突出地位，应用广泛。高中数学知识较为抽象，在概念教学方面，教师要重视其来源与走向，引导学生通过实例来理解抽象概念。

3.数形结合与解析几何的衔接

解析几何知识是常考内容，因为这部分知识可以充分考查学生的能力。学生在求解的过程中应运用数形结合思想来解题。学生要扎实地掌握数形结合法，具有一定的基础知识与基本技巧。作为高中数学教师，要充分运用数形结合法，加强对学生的引导，使学生对教材知识理解得更深入。

在解析几何中遇到轨迹方程问题时，运用数形结合法来解题是非常适合的。比如，“抛物线y2=4x上有两个动点a和b，这两个点都不是原点，已知ao垂直于ob，om垂直于ab，求m的轨迹方程，并说明这是什么曲线？”这道题目要从ab直线方程入手，首先要设其直线方程为x=ay+b（a≠0），将其代入曲线方程y2=4x中，得出y2-4ay-4b=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），列出方程组y1+y2=4a，y1y2=-4b，根据题目已知条件得出x1x2+y1y2=0，最终推断出ab恒过定点p（4，0），设点m（x，y），根据题目条件推断出其轨迹是圆。教师可利用多媒体为学生展示出相应图例，以便于学生理解。

（三）运用多媒体展现数形结合的方法

多媒体在我国高中课堂上已被广泛引进，作为教师应了解多媒体的优势，并熟练掌握运用多媒体的方法，在运用数形结合法解题时，可以通过多媒体将正确图形、作图步骤、分析过程展现出来，对于学生有困惑、不理解的地方，教师要及时讲解，借助多媒体与数形结合法，帮助学生直观地理解和分析问题，更深入地掌握知识，激发学生的学习兴趣。

在讲解解析几何中的不等式问题时，教师也可以利用多媒体将不等式化解出来的曲线方程呈现给学生。比如，不等式y= -x2+ x+x2>4，求解。

（1）不等式变形得出y= -x2>4- x-x2，另得出y1= -x2，y2=4- x-x2。

（2）将这两个式子再次变形得出x2+y12=16（y1≥0），（x-4）2+（y2-4）2=16（y2≤4）。

（3）通过观察得知这两个式子表示的都是半圆，于是通过多媒体为学生展示出坐标系中的这两个半圆，答案就非常明了了。

三、结语

在高中数学教学中有效运用数形结合法，能将复杂的问题简单化，将抽象的问题直观化，这就是数形结合法的优势所在，也是优化解题途径的重要方法。数形结合这种思想其本质就是数和形的转换，将直观的形象与复杂的数据巧妙地结合在一起，让学生更加容易解题。教师应努力钻研教材，教学中应注意渗透数形结合思想，帮助学生培养良好的学习和思考习惯，让数形结合思想成为学生分析与解决问题的必备工具。

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