数学开放题教学重在“开放”

诺贝尔物理学奖获得者谢尔盖·格拉肖认为，培养杰出科学人才的关键在于“让年轻人停止当学生，使他们开始成为物理学研究者”。他的话从一个角度说明了当前学校教育存在的弊端——教科书、学校及教师常常给学生设定了学习路径和找寻正确答案的方向。随着信息技术的飞速发展，社会形态越来越开放多元，随时都会碰到问题，不知道问题是否能够获解，有时甚至不知用什么方法解决。为了帮助学生实现“学用”结合，学校教育亟须更多地开放，让学生的学习更接地气，促进学生更积极主动地创新。学生是天生的创造者和探究者，从这个意义上说，以数学开放题为依托的开放课堂为学生问题解决能力的培养提供了另一种路径，笔者以苏教版义务教育教科书《数学》五年级上册“平行四边形面积”为例，谈谈自己的实践与体悟。

一、 探究思路开放：猜想与实验的无缝对接

猜想和实验是学习数学的两种重要方法。数学猜想是人们依据已有数学知识和经验，运用非逻辑的思维方法，凭借直觉而作出的假设和预测。它是人们探索数学规律、发现数学知识的手段和策略。数学研究更需要实验，数学家有时通过成百上千次的实验、观察、联系、归纳、类比、猜想才发现一个真理，最后用特有的严谨数学语言表达出来。教科书一般都把问题背景和探索过程省略了，这就需要学生在学习时进行必要的“时空穿越”，以亲临其境的姿态进行探寻。

从这个意义上说，教师应在教学过程中为学生提供丰富的现实背景，激发学生的学习积极性，引导学生从不同角度进行大胆猜想，并给予他们充足的自主探索、实验操作和合作交流时空，在问题解决过程中帮助学生积累广泛的数学活动经验，发展数感，提高探索、发现和创新能力。

课始，笔者用课件出示一个长方形花坛和一个正方形花坛，问学生会算这两幅图形的面积吗？因为没有标出相关数据，学生无法直接解答。在得到否定回答后，教师给这两幅图分别覆盖上方格图（每个方格边长1厘米），学生很自然地就能调用原有知识经验口答出两幅图的面积。这种通过数方格的方式推导平面图形面积的方法为学生的后续学习做了回顾、示范和铺垫。教师接着设疑，出示一个平行四边形，让学生猜想一下它的面积会用怎样的算式来计算呢？让学生充分发表自己的观点。因为受到长方形、正方形面积计算方法的影响，学生有可能出现三种不同的假设，即：6×5、6×4、5×4。教师及时抓住学生的疑惑，适时激发思考：这3种假设都正确吗？可能有几个正确算式？（提示：假设有可能都不对）教师指出：数学思考不能只停留在假设阶段，更重要的是要寻找方法验证假设，并顺势板书：假设—验证，为本课学习归纳出第一条路径。

这一过程从长方形、正方形的面积计算方法引入，引发学生对旧知识回顾，再出示一个平行四边形，让学生根据自身已有知识经验猜想，教师罗列出三种不同想法后，引导学生评判，从而进一步诱发学生进行校验，为学生搭建了概念学习的多元开放的探究架构。

二、 探究过程开放：特例与归纳的内在关联

波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学。”诚哉斯言，数学不是一门实验性的科学，故而在学习过程中不能将观察到的结果、实验性的验证作为判断数学命题真假的充分依据，但实验对数学发现及探求数学问题的解决思路起着重要作用。正如欧拉所言：“数学这门学科，需要观察，也需要实验。”

受长方形面积计算方法的定势和干扰，不少学生认为平行四边形的面积等于相邻两条边的乘积，这是学生认知中最大的障碍。为了突破这个难点，执教者对教科书进行了大胆重组，让学生放开手脚在猜想验证中自主探索，体现研究思路多元，研究方法开放。在学生猜想同一个平行四边形有三种不同的计算方法后，及时组织师生互动，让学生通过反思认识到这三种假设有可能一个都不对，也有可能只对一个。正所谓不愤不启，学生身处思维的困顿之中，教师启发、点拨学生可以用数方格的方法尝试实验。

师生合作用边长1厘米的小正方形铺一铺，实验发现图2中用20个完全一样的小正方形一个一个地铺平行四边形，无法铺满整个平行四边形，即平行四边形的面积比20cm2大。因此，5×4=20cm2是错误的。继续用小正方形铺，如图3所示铺上28个小正方形时，就会超出平行四边形，也就是说平行四边形的面积小于28cm2，故5×6=30 cm2也是错误的。剩下的假设——6×4=24cm2就一定正确吗？教师放手学生继续猜测。师生合作、讨论，寻找问题解决的办法，教师注意搜集整理学生想法，诱发学生思考，揭示转化策略，并和学生一道借助课件演示尝试通过剪、拼的方式，把图中多余部分平移、擦去后（图4），学生发现平行四边形的面积恰好是6×4=24cm2。教师适时与学生一起回顾6cm、4cm分别在图形中所担负的角色——它们分别为一组对应的底和高，从而概括出平行四边形的面积=底×高。到这儿似乎大功告成了，殊不知这个实验仅是一个个例，这个计算公式是否具有普适性，还需要进一步证明。拉普拉斯：“在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。”归纳和类比环节在过往的教学实践中常常被忽略。为了帮助学生亲历学习的整体过程，自觉经历知识的产生过程，笔者在教学时还设计了归纳、类比的环节，与上述猜、想实验环节遥相呼应，以数学的姿态逼近问题本质。

第一层次：思想渗透。出示图5，学生猜测后教师启发方法，课件演示验证，将学生懵懂的表象认知转化为清清晰的认知，即：把不规则图形通过剪、移、拼，转化成长方形，面积不变。

第二层次：数据实证。操作实验时，学生通过小组合作把一个平行四边形转化成长方形。教师给出活动小贴士：

选一选：从信封中任意选择一个平行四边形。

说一说：小声商量一下，我们小组准备怎样转化。

动动手：两人一组，剪一剪、移一移、拼一拼，我们有什么发现？

小组活动后展示交流，重点呈现同一图形不同小组不同的剪法，凸显转化效果相同，即通过剪、移、拼，把平行四边形转化成了长方形。让学生感悟开普勒的言论：数学就是研究千变万化中不变的关系。自然过渡到数据整理阶段，因为教师事先提供了5种不同的平行四边形，小组合作轻松完成表格的填写（表1）。对照表格中的数据，讨论并回答教科书第8页的三个思考题，从众多的事实中通过不完全归纳得出平行四边形的面积计算方法。

这样，通过实证的教学模式，引导学生参与猜测、动手操作、收集数据、分析数据的全过程，使学生在亲身体验和思考过程中，主动发现、建构知识，逐渐学会用数学眼光观察身边的事实，从层层递进中追根溯源，不断释疑明理，让数学知识以科学的形态出现，让学生在开放探究中深刻感悟到知识本质，体验到探索与发现的快乐，初步懂得孤证不一定为假，多证不一定为真的道理，最终实现基础知识习得、基本技能练习、数学思想方法渗透、基本活动经验积累的有机达成。

三、 练习视角开放：传统与创生的有机结合

苏步青先生认为学习数学要多做习题，边做边思索；先知其然，然后知其所以然。从这个角度看，基本知识习得、基本技能训练、基本思想方法内化、基本活动经验的反刍需要恰到好处的、适当的、开放性的练习。传统教学经验表明：新知识巩固的最佳路径是从不同维度设计指向性问题。一道好题的价值之一就在于它能产生其他一些好题，数学开放题作为一种答案不惟一的习题，自上世纪70年代出现后一直方兴未艾，日常数学学习中渗透开放题能有效撬动学生的数学思考模式，打开别样思路，促进学生思维发展，特别是学生的创造性思维培养。

基于这样的考量，笔者设计了三个层次的练习，即基本练习、变式练习和开放练习。在基本练习中增添变式的介入，从对第三个平行四边形面积的正确计算中强化平行四边形面积等于对应底乘对应高，全面透彻地掌握基本概念。

在变式练习中设计一个操作活动，将长方形木框通过拉动变形为平行四边形，给学生提供了另一扇观察变与不变的“窗户”。辨析中从另一个维度再次证明平行四边形的面积≠相邻两条边的乘积，强化教学难点认知。直观再现拉动前后周长不变、面积变小的事实，给学生充分表达自我感受及见解的机会，提供课件演示让模糊的感知变得更清晰，从而明晰两者变与不变的内在联系。

开放练习是本课设计的亮点之一，根据教科书编制特点及对教学重难点的理解，将传统数学习题改变问题呈现方式——“变封为开”，设计了“在方格图上画一个面积为12平方厘米的平行四边形”的练习题，以期通过综合开放题的练习实现对教学难点的深入突破。在日常数学课堂教学中植入开放题元素，努力实现开放题教学与常态课堂教学的有机融合，这是一个颇具挑战性的问题，对学生空间想象力、发散思维能力的要求较高，成为本课中学生数学思维深化的一个重要环节。学生在四年级时已有画平行四边形的经验，问题解决中的主要挑战来自于对等底等高平行四边形的理解不够熟练，囿于长方形的长期刺激所带来的底和高对应相等的平行四边形的认知局限等，限制了解决方案的数量。在这一过程中，学生的独立思考、小组的合作讨论、教师的适当点拨、师生的互动交流都能为丰富问题答案的呈现锦上添花，从而引导学生就某一底和高画出不同的平行四边形，也可从不同的底和高画出更为丰富的平行四边形。这样把数学开放题引入常态课堂教学，不仅为封闭的数学习题系统注入了一池活水，还可以更大力度地培养学生的创新意识和创新能力，进一步增强数学课堂的亲和度和时代色彩。

总之，从开放题到开放教学，不仅是研究的深化，也是一种时代趋势，更是一次前瞻转型。以开放课堂牵引学生能力向纵深发展，破解学生能力培养方式的瓶颈，以数学素养的提升为有效出发点及落脚点，能更好地致力于学生的健康、快乐成长。

参考文献

[1] 杨传冈.小学数学开放题教学行思[J].教育探索，2015（11）.

[2] 波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.

【责任编辑：陈国庆】