立序

荀步章

布鲁纳在《教育过程》中这样阐述认知主义教育思想：“任何学科的内核是其结构，而不是具体的技术细节；尽管结构的本质是简单的，但其存在形态却可以是复杂的；任何学科，都是以结构为中心的符号形式系统。”数学课程结构严密，数学课堂结构更具普适性，数学素材呈现的首要任务是立序。数学素材呈现的“序”如何遵循认知主义的教育思想，符合儿童认知规律，促进儿童思维发展呢？

一、 立素材发展之序，帮助儿童思维生长

数学素材呈现与学科的内核结构应保持一致，才能遵循儿童思考问题的本质。追求素材呈现的顺序与课堂发展顺序一致，不圃于具体的技术细节，才能帮助儿童思维更好生长。笔者以苏教版《数学》五年级下册“确定位置”为例，分析教材编排与课堂生成追求的结构。

1.承前：用数对确定位置的起点

小学生已有经验是用一个数确定位置，教材第一册第14页，老爷爷和小朋友排队买票，他们排成一列，以窗口为参照物，老爷爷排第一，戴帽孩子排第二。这些内容，儿童有相应的生活经验，教学只要激活儿童的生活经验，用数学的方式表述，学生就会在线性层面上说清“第几”。

2.需求：用数对确定位置的方法

一年级学习用“第几”确定位置后，教材第十册第15页，再一次学习用两个数确定位置。例题选取学生班级座位图，从学生熟悉的情境出发，问“小军坐在哪里？”学生回答时会出现几种不同表述：“小军坐在第4组第3个”，“小军坐在第3排第4个”等等，由于说法不一致，产生统一表述的必要性，通常规定，“竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数”。把学生座位图抽象成点图，小军坐在第4列第3行，让学生表示他的位置，并说一说为什么这样表示。

3.突破：用数对确定位置的超越

学会用数对确定位置后，常规的课堂练习是找数对与位置的对应关系。为了防止学生思维定势，需要设计一些开放性、挑战性的习题。如图1，已知A点用数对（3，2）表示，估计B、C两点分别用什么数对表示？让学生猜一猜、说一说怎样想的？再出示图2，学生恍然大悟，点B用数对（5，3）表示，部分学生能够猜出来。但点C的数对表示全班没有一名学生猜出来，因为它是用小数表示数对，即用（6.5，3.5）表示，学生又提出可不可以用分数表示？引发学生用不同方法表示数对的兴趣，并与后继学习有效对接。

4.延伸：“线→面→体”用数对确定位置升华

学生掌握了用数对确定位置后，还不能停留于此，拓展学生的思维十分必要。帮助学生梳理，在一条线上，如何表示一点（图3），从左向右数第4个，从右往左数第3个。由线到面，一排一排出示（图4），红色圆点如何表示？学生很快得到用数对表示为（4，2），简洁方便。再由面到体，一层一层出示（图5），共三层，在最上层找一个点涂上红色，用什么方法表示呢？有学生提出用三个数来表示，思维得到了生长。

二、 立素材需求之序，促进儿童思维成长

布鲁纳说：“学习结构，就是要学习事物是如何关联的。”一节课的时间虽短，但其结构存在形态却可以是多样的。高等数学与幼儿数学在结构上是一致的，但存在形态上具有很大差别。比如低年级“求差问题”，教师出示图6问学生：“苹果比梨多几个？”学生回答：“多2个。”“为什么？”教师接着问。学生回答：“就是多2个。”

教师的设计意图是：“苹果和梨是一一对应的，右边多出来的两个，就是苹果比梨多的两个。”然而学生心里怎样想？“一眼就能看出多2个，这还要问吗？”教材是静态文本的“终结”呈现，过程的设计需要教师来“创造”。因此，设计素材呈现顺序时可以考虑采用“倒序”的方式。出示图7，教师问：“苹果多，还是梨多？”学生慢慢地数，然后回答：“苹果有9个，梨有7个，苹果比梨多2个。”教师追问：“数的感觉怎样？”学生说：“很麻烦，容易错。”教师继续追问：“有好办法吗，让人一眼就看出来，苹果比梨多几个？”学生想到把苹果和梨分别排成一排。教师再出示图8，“现在看一看，苹果和梨一样多吗？”教师说。学生连忙反对：“不对呀，苹果比梨多2个呢！”教师说：“看起来一样呀！我们把苹果和梨对齐以后放的。”学生激动起来了，“不能这样放，要把苹果和梨一个一个对齐了，一下子就能看出苹果比梨子多2个了。”教师再出示图6。

教材中静态的素材，要呈现怎样的顺序，让学生经历怎样的思维，才能使学生的数学思想油然而生，这些都值得每一位数学教师认真反复地思考。这里素材采用“倒序”的方式，先“立序”后“编材”，帮学生建立“一一对应”的思想，从“无序”到“有序”，从“有序”到“一一对应”，螺旋上升，而不是硬塞给学生。课堂上先呈现给学生一组杂乱的苹果和梨的摆放图，让他们通过数一数的方法解决问题，但感到数得麻烦，产生摆成一排比一比的心理需求。接着，教师按学生要求把苹果和梨子排成一排，但不是一个对着一个，而是仅仅把水果两端对齐，感觉到还不够“工整”，产生“一一对应”的需求。学生在这一过程中，慢慢体悟到数学的思考方法，积累数学活动经验，发展数学思维能力，形成数学思想方法。

三、 立素材验证之序，提升儿童思维能力

在《教育过程》中，布鲁纳一直强调要重视儿童高级思维能力的开发，如顿悟与直觉思维等，它们在科学发现中起着重要作用，应得到充分的关注。如教学“乘法交换律和结合律”时，学生通过自学教材了解乘法交换律用字母表示为“a×b=b×a”，教师采用展示学生思考结果的方式呈现课堂结构。教师问：“你们有方法证明吗？”学生说：“可以举例子。”而且举出了不同的例子：1×2=2×1、2×3=3×2、5×6=6×5。教师接着问：“例子举得完吗？有多少个？”学生说：“举不完，有无数个。”教师说：“我们猜想出来的规律，需要通过不同路径来验证。刚才，同学们举了很多例子，还有其他办法验证吗？其实，我们很早就明白这个道理了，看图9，停车场停12辆汽车，如何计算呢？”学生答：“可以用4×3=12（辆），也可以用3×4=12（辆）。”教师：“根据这幅图，验证乘法交换律，一排停a辆车，一共有b排，停车场的车辆一共有多少辆？可以用（a×b）辆，也可以用（b×a）辆，结果应该是一样的。”

乘法交换律教学一般是从教学情境出发，由算式引发思考，学生举例发现交换律的规律。而上述教学从规律本身出发，提出猜想，这个乘法交换律对吗？如何验证？通过大量举例发现规律的确定性，然而只是不完全归纳法。验证运算律还可以通过不同路径，从学生常见的情境出发，采用不同计算方法再次验证乘法交换律，使学生确信并深刻感受到，规律是客观存在的，并且是被经常运用的。由此推广到乘法结合律教学，教师说：“乘法还有什么运算定律？”学生答：“乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）。”教师说：“你们有方法证明吗？”学生举例：（1×2）×3=1×（2×3）、（2×3）×4=2×（3×4）、（5×6）×10=5×（6×10）。教师问：“例子举得完吗？有多少个？”学生答：“举不完，有无数个。”教师又出示三年级学习乘法时做过的一道题目，一共有多少箱苹果，怎么列式？

学生答：“5×3×4。”教师说：“先求什么？再求什么？”学生：“先求第一排有15箱，再求4排一共多少箱。”“还可以用5×4×3，先求第一层有20箱，再求3层一共多少箱。”“还可以竖着求，4×3×5，先求一列12箱，再求5列一共多少箱。”教师小结：“其实，大家在列式的过程中，就存在着乘法结合律：（5×3）×4=5×（3×4）。”结合学生已有体验，挖掘教材素材，让学生进一步体验不同列式，根据算式意义，发现、运用乘法结合律。教材中的三维立体图，采用数形结合的方法，求一共多少箱苹果，学生从已有认知结构中提取经验，并积累发展活动经验，形成直观模型，提升数学思维能力。

小学数学课堂教学以素材为载体、结构为中心、符号为系统，这是推动学科发展最重要的动力，教学的重心要放在培养学生的学科内驱力上，而不能仅凭外在刺激与奖励等外在驱动手段。

【责任编辑：陈国庆】