一道抛物线定直线问题的再探究

2016-05-11郑剑晖

中学数学研究(江西) 2016年4期

一道抛物线定直线问题的再探究

福建省莆田第五中学(351100)郑剑晖

《数学通讯》2014年第5、6期(上半月)文[1]由2014年《福建省高考“集结号”最后冲刺模拟卷》中的一道压轴题给出了抛物线焦点与准线的关联性质及推广，即结论1、2、3、4，并发现了抛物线另一优美性质，即结论5、6. 读后颇受启发，但觉意犹未尽.本文拟对这些结论进行推广，并进一步探究抛物线在这一相同条件下的另一些优美性质. 先把结论1～6抄录如下：

已知点A、B为抛物线C：y2=2px(p>0)上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，直线l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，点P为直线l1、l2的交点.

结论1 若直线AB过抛物线C的焦点F，则动点P在抛物线C的准线上.

结论2若动点P在抛物线C的准线上，则直线AB过抛物线C的焦点F.

结论3 若直线AB过定点Q(a,0)(a>0),则动点P在定直线x=-a(a>0)上.

结论4若动点P在定直线x=-a(a>0)上，则直线AB过定点Q(a,0).

结论5若直线AB过抛物线C的焦点F，则以AB为直径的圆过点P.

结论6若以AB为直径的圆过点P，则直线AB过抛物线C的焦点F.

以上结论揭示了抛物线C的焦点与准线、类焦点与类准线的关联性质，下面对以上性质进行推广和再探究.

一、再探究1：探究结论的推广

上述结论1、2分别是结论3、4的特殊情况，而结论3与结论4、结论5与结论6互为逆命题 .能否把结论3、4，结论5、6推广到更一般的情形？

先看结论3、4，若把其中直线AB所过的“定点Q(a,0)”推广为“定点Q(a,b)”，那么动点P是否在某定直线上？

设动点P(x0, y0)，则切点弦AB所在直线的方程为y0y=p(x+x0). 若直线AB过定点Q(a,b)(b2<2pa)，则有by0=p(a+x0)，即p(x0+a)-by0=0.这表明动点P(x0, y0)在定直线p(x+a)-by=0上；反之，若点P(x0, y0)在定直线p(x+a)-by=0(b2<2pa) (在抛物线外部(不含焦点的区域)的部分)上，则有p(x0+a)-by0=0,即px0=by0-ap.代入直线AB的方程y0y=p(x+x0)，得y0y=px+by0-ap，即y0(y-b)=p(x-a).这表明直线AB过定点Q(a,b).由此可把结论3、4推广为：

已知点A、B为抛物线C：y2=2px(p>0)上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，直线l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，点P为直线l1、l2的交点.

结论7直线AB过定点Q(a,b)(b2<2pa)，则动点P在定直线p(x+a)-by=0上.

结论8若动点P在定直线p(x+a)-by=0(b2<2pa)上,则直线AB过定点Q(a,b).

特别地，当b=0时，结论7、8分别为结论3、4.

对于结论5、6 ，其中“以AB为直径的圆过点P”，即两切线l1、l2的斜率k1、k2满足k1k2=-1.若把其中直线AB所过的“焦点F”推广为“类焦点Q(a,0)”，那么两切线l1、l2的斜率k1、k2应满足什么条件？